Coerență (statistici)

În statistici , coerența este o proprietate de dorit a estimatorilor . Practic, un estimator este consecvent dacă, pe măsură ce informațiile cresc, adică mărimea eșantionului, distribuția probabilității sale este concentrată în corespondență cu valoarea parametrului care urmează să fie estimat.

Definiție

De sine $X=\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ ${\ displaystyle X = \ left \ {X_ {i} \ right \} _ {i = 1} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X = \ left \ {X_ {i} \ right \} _ {i = 1} ^ {n}}$ este un campion și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ marimea lui.

Un estimator $T_{n}(X)$ ${\ displaystyle T_ {n} (X)}$ ${\ displaystyle T_ {n} (X)}$ pentru un parametru $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ se spune că este consecvent într-un sens slab dacă, atunci când dimensiunea eșantionului tinde spre infinit, converge în probabilitate la valoarea parametrului:

\lim _{n\rightarrow \infty }P\left\{|T_{n}(X)-\vartheta |>\varepsilon \right\}=0\quad \forall \ \varepsilon >0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P \ left \ {| T_ {n} (X) - \ vartheta |> \ varepsilon \ right \} = 0 \ quad \ forall \ \ varepsilon> 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P \ left \ {| T_ {n} (X) - \ vartheta |> \ varepsilon \ right \} = 0 \ quad \ forall \ \ varepsilon> 0.}

Un estimator $T_{n}(X)$ ${\ displaystyle T_ {n} (X)}$ ${\ displaystyle T_ {n} (X)}$ pentru un parametru $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ se spune că este consecvent într-un sens puternic dacă, atunci când dimensiunea eșantionului tinde spre infinit, converge aproape sigur la valoarea parametrului.

Stare suficientă

În practică, nu este întotdeauna ușor să dovediți consistența unui estimator pe baza definiției prezentate mai sus. Este adesea mai ușor să folosiți următorul rezultat.

Stare suficientă pentru un estimator

T_{n}(X)

{\ displaystyle T_ {n} (X)}

{\ displaystyle T_ {n} (X)}

pentru un parametru

\vartheta

{\ displaystyle \ vartheta}

\ vartheta

este consecvent în sens slab este că:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\textrm {E}}[T_{n}(X)]=\vartheta$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ textrm {E}} [T_ {n} (X)] = \ vartheta}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ textrm {E}} [T_ {n} (X)] = \ vartheta}$ ( corectitudine asimptotică );
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\textrm {var}}\left(T_{n}(X)\right)=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ textrm {var}} \ left (T_ {n} (X) \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ textrm {var}} \ left (T_ {n} (X) \ right) = 0}$ .

Exemple

De sine $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ $X_ {1}, \ ldots, X_ {n}$ este un eșantion independent și distribuit identic și dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este media comună a lui X ( $\mu =E(X_{i})$ ${\ displaystyle \ mu = E (X_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mu = E (X_ {i})}$ ), apoi media eșantionului ${\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} (X_ {1} + \ cdots + X_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} (X_ {1} + \ cdots + X_ {n})}$ este un estimator consistent într-un sens puternic în virtutea legii puternice a numărului mare .

De sine $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ $X_ {1}, \ ldots, X_ {n}$ este un campion unde $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ au o medie comună $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , varianța comună finită și sunt necorelate, apoi media eșantionului ${\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} (X_ {1} + \ cdots + X_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} (X_ {1} + \ cdots + X_ {n})}$ este un estimator slab consistent în virtutea legii slabe a numărului mare .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică