Divergenţă

In vector diferential calcul , divergență este un câmp scalar care măsoară tendința unui câmp vectorial divergent sau converg spre un punct în spațiu .

Valoarea divergența unui vector $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ într - o anumită poziție este dată de un operator diferențial , notat prin $\nabla \cdot$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot}$ $\ Nabla \ cdot$ sau $\operatorname {div}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {div}}$ $\ Operatorname {div}$ , Care dă o cantitate scalară $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$ $\ Nabla \ cdot \ mathbf {F}$ (sau $\operatorname {div} \mathbf {F} )$ ${\ Displaystyle \ operatorname {div} \ mathbf {F})}$ $\ Operatorname {div} \ mathbf {F})$ . În coordonate carteziene această cantitate este suma derivatelor parțiale ale componentelor $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ de-a lungul direcțiilor axelor.

De exemplu, dacă luăm în considerare un câmp vectorial în două dimensiuni , care reprezintă viteza apei conținută într - un rezervor (secționat vertical) , care este golit, divergența are o valoare negativă în vecinătatea scurgerii (presupunând al doilea la centrul bazinului). Departe de scurgere, aceasta presupune o valoare aproape de zero, deoarece viteza apei este aproape constantă. Dacă presupunem apă incompresibil, într-o regiune în care nu există nici puțuri în care este descărcat, nici sursele din care este introdus, divergența este zero peste tot. Un câmp vectorial cu zero , divergență pretutindeni se spune ca solenoid . Un exemplu de câmp vectorial solenoidali este câmpul magnetic , stabilit de ecuațiile lui Maxwell . De fapt, pentru câmpul magnetic nu există surse statice ( poli magnetici ).

Definiție

Divergența este o cantitate scalară care determină tendința liniilor de curgere ale unui câmp vectorial ca să rezulte o sursă sau o sucursală off () de la ea divergente. Acest comportament poate fi descris prin luarea în considerare o regiune a spațiului și observarea fluxului ( de ieșire sau de intrare) a câmpului vectorial prin suprafața (închis) , care delimitează această regiune: dacă fluxul este iesire, in care se comporta în câmp ca și în cazul în care în interiorul regiunii există a fost un „izvor“, în timp ce în cazul în care intră este ca și cum ar exista un „bine“. Definirea divergență a unui câmp este obținut prin considerarea cazului în care regiunea îngustează spațiu pentru a deveni un punct: aceasta este limita, pentru volumul regiunii tinde la zero, de raportul dintre fluxul câmpului prin suprafață și volumul în sine.

Formal, fără a se referi la un anumit sistem de coordonate , divergența unui câmp vectorial $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ în punctul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este egal cu debitul de $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ peste buna graniță $S(V)$ ${\ Displaystyle S (V)}$ $S (V)$ a unei regiuni spațiale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , Împărțită la volumul $|V|$ ${\ Displaystyle | V |}$ $| V |$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , În măsura în care mărimea regiunii scade până ce coincide cu punctul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Asta este, este integrala :

\operatorname {div} \,\mathbf {F} (p)=\lim _{V\rightarrow \{p\}}{1 \over |V|}\int _{S(V)}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} }\;dS

{\ Displaystyle \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} (p) = \ lim _ {V \ rightarrow \ {p \}} {1 \ peste | V |} \ int _ {S (V)} { \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n}} \; dS}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} (p) = \ lim _ {V \ rightarrow \ {p \}} {1 \ peste | V |} \ int _ {S (V)} { \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n}} \; dS}

unde este $\mathbf {n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ Mathbf {n}$ este vectorul unitate normală la suprafață $S(V)$ ${\ Displaystyle S (V)}$ $S (V)$ și din ea. Definiția de mai sus este o formulare a teoremei divergență , potrivit căreia fluxul $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ prin suprafața închisă $S(V)$ ${\ Displaystyle S (V)}$ $S (V)$ coincide cu integrala divergența $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ a jucat în volumul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . ^[1]

Prin această definiție, divergențe cu privire la sensul unui spațial derivat al unui câmp vectorial, adica prin aceasta un fel de relație incremental pe un set de definiții care tinde la zero. Valoarea nulă , apoi reușește să descrie conservator a câmpului $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ când aceasta reprezintă o viteză câmp. Când luăm în considerare transportul de materie, de exemplu, viteza particulelor se face pentru a corespunde câmpului vectorial, și pentru a descrie conservarea materiei folosim teorema divergență: ne permite să se stabilească faptul că variația în timp a densității de materie la interior $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este egal cu fluxul de intrare sau de ieșire prin intermediul materiei $S(V)$ ${\ Displaystyle S (V)}$ $S (V)$ . Acest lucru este descris local prin ecuația de continuitate .

O funcție vectorială și divergență sale reprezentate ca un câmp scalar (roșu indică o mai mare, verde indică mai puțin).

Avand in vedere o perioada de trei-dimensional spațiu euclidian , cu versors $\mathbf {i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {i}}$ $\ Mathbf I$ , $\mathbf {j}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {j}}$ $\ Mathbf j$ Și $\mathbf {k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ Mathbf k$ referitoare la axele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , Divergența unei continue și diferențiabilă câmp vectorial $\mathbf {F} =F_{1}\mathbf {i} +F_{2}\mathbf {j} +F_{3}\mathbf {k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = {1} F_ \ mathbf {i} + F_ {2} \ mathbf {j} + F_ {3} \ mathbf {k}}$ ${\ Mathbf {F}} = {1} F_ {\ i} mathbf + F_ {2} {\ mathbf j} + F_ {3} {\ mathbf k}$ este funcția scalară:

\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ frac {\ parțial F_ {1}} {\ x}} + parțial {\ frac {\ parțial F_ {2}} {\ y parțial}} + {\ frac {\ parțial F_ {3}} {\ parțial z}}}

\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ frac {\ F_1 parțială} {\ x parțial} + \ frac {\ F_2 parțială} {\ y parțial} + \ frac {\ F_3 parțial} {\ parțial z}

notaţia $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$ $\ Nabla \ cdot {\ mathbf {F}}$ are o funcționalitate mnemonic, ca punct reprezintă produsul scalar operațiunea între operatorul nabla și câmpul $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf F$ : Aplicarea în mod formal definițiile celor două operanzi și produsul scalar, rezultatul este definiția $\operatorname {div} \,\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {div} \, \ mathbf {F}}$ $\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F}$ , Dar în mod clar acest lucru este un abuz de notație și nu un produs scalar bine definit. ^[2] Rămânerea în coordonate carteziene, divergența unui câmp tensorial ${\underline {\underline {\varepsilon }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}}}$ $\ Underline {\ underline {\ varepsilon}}$ al doilea ordin , care poate fi diferențiată cu continuitate este un domeniu tensor al primei comenzi: ^[3]

{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\,(\mathbf {\underline {\underline {\varepsilon }}} )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varepsilon _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \varepsilon _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \varepsilon _{zx}}{\partial z}}\\[6pt]{\frac {\partial \varepsilon _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \varepsilon _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \varepsilon _{zy}}{\partial z}}\\[6pt]{\frac {\partial \varepsilon _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \varepsilon _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \varepsilon _{zz}}{\partial z}}\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {div}}} \ (\ mathbf {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}}) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial \ varepsilon _ {xx }} {\ x parțial}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {yx}} {\ parțial y}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {zx}} {\ parțial z}} \\ [6pt] {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {xy}} {\ x parțial}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {yy}} {\ y parțial}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {zy}} {\ parțial z}} \\ [6pt] {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {xz}} {\ parțial x}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {yz}} {\ y parțial}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {}} {zz \ parțial z}} \ end {bmatrix}}}

\ Overrightarrow {\ operatorname {div}} \, ({\ mathbf {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}}}) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{xx}} } {\ x parțial}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{yx}}} {\ parțial y}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{zx}}} {\ parțial z} } \\ [6pt] {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{xy}}} {\ parțial x}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{yy}}} {\ y parțial}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{zy}}} {\ parțial z}} \\ [6pt] {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{xz}}} {\ x parțial}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{yz}}} {\ y parțial}} + {\ frac {\ parțial \ varepsilon _ {{}}} zz {\ z parțial}} \ end {bmatrix}}

Luând în considerare în loc un câmp vectorial exprimate coordonate cilindrice $\mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{z}F_{z}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta },$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {e} _ {r} F_ {r} + \ mathbf {e} _ {z} F_ {z} + \ mathbf {e} _ {\ theta} F _ { \ theta}}$ $\ Mathbf F = \ mathbf e_r F_r + \ mathbf e_z F_z + \ mathbf e_ \ theta F _ {\ theta},$ , Divergența este: ^[4]

\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parțial} {\ r parțial}} ( rF_ {r}) + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parțial F _ {\ theta}} {\ parțial \ theta}} + {\ frac {\ parțial F_ {z}} {\ z parțial}}}

\ Operatorname {div} \, \ mathbf F = \ nabla \ cdot \ mathbf F = \ frac1r \ frac {\ parțial} {\ r parțial} (rF_r) + \ frac1r \ frac {\ F_ parțial \ theta} {\ parțial \ theta} + \ frac {\ parțial F_z} {\ parțial z}

În cele din urmă, în coordonate sferice , cu $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ unghiul față de axa $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ rotație în jurul axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , Divergența este: ^[5]

\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}F_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ parțial r}} (r ^ {2} F_ {r}) + {\ frac {1} {r \ păcătui \ theta}} {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ theta}} (\ păcatul \ theta \, F _ {\ theta}) + {\ frac {1} {r \ păcătui \ theta}} {\ frac {\ parțial F _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}}}

\ Operatorname {div} \ {\ mathbf F} = \ nabla \ cdot {\ mathbf F} = {\ frac 1 {r ^ {2}}} {\ frac {\ parțial} {\ r parțial}} (r ^ {2} F_ {r}) + {\ frac 1 {r \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ theta}} (\ păcatul \ theta \, F _ {\ theta}) + {\ frac {1 r \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial F _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}}

Generalizări

Divergenta este un caz special al derivatului exterior , atunci când acesta din urmă hărți 2-formă într - un 3-formă în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Luați în considerare o 2-formă:

j=F_{1}\ dy\wedge dz+F_{2}\ dz\wedge dx+F_{3}\ dx\wedge dy,

{\ Displaystyle j = F_ {1} \ dy \ pană dz + F_ {2} \ dz \ pană dx + F_ {3} \ dx \ pană dy,}

j = F_ {1} \ dy \ pană dz + F_ {2} \ dz \ pană dx + F_ {3} \ dx \ pană dy,

care, de exemplu, în cazul transportului de material, măsoară creșterea particulelor care traversează suprafața pe unitatea de timp într-un fluid de densitate $\rho =1dx\wedge dy\wedge dz$ ${\ Displaystyle \ rho = 1DX \ pană dy \ pană dz}$ $\ Rho = 1 dx \ pană dy \ pană dz$ care se deplasează cu viteza locală $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ . derivatul său extern $d j$ ${\ Displaystyle dj}$ $dj$ este dat de:

dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot \mathbf {F} )\rho

{\ Displaystyle dj = \ stânga ({\ frac {\ parțial F_ {1}} {\ parțial x}} + {\ frac {\ parțial F_ {2}} {\ parțial y}} + {\ frac {\ parțial F_ {3}} {\ z parțial}} \ dreapta) dx \ pană dy \ pană dz = (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \ rho}

dj = \ stânga (\ frac {\ F_1 parțială} {\ x parțial} + \ frac {\ F_2 parțială} {\ y parțială} + \ frac {\ F_3 parțial} {\ parțial z} \ dreapta) dx \ pană dy \ pană dz = (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \ rho

Divergența $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf {F}$ Prin urmare, poate fi exprimată ca:

\nabla \cdot \mathbf {F} =\star {\mathbf {d} }{\star {\mathbf {F} ^{\flat }}}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ stea {\ mathbf {d}} {\ stea {\ mathbf {F} ^ {\ plat}}}}

\ Nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ stea {\ mathbf d} {\ stea {\ mathbf {F} ^ \ plat}}

unde este $\flat$ ${\ displaystyle \ flat}$ $\ apartament$ desemnează una dintre cele două izomorfismele muzicale , e $\star$ ${\ displaystyle \ star}$ $\ stea$ denotă dualul Hodge .

Luați în considerare o varietate de dimensiuni $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu o formă de volum $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , De exemplu un riemannian sau Lorentzian soi . Având în vedere un câmp vectorial $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , Definește o $n-1$ ${\ Displaystyle n-1}$ $n-1$ formă $j=i_{X}\mu$ ${\ Displaystyle j = I_ {X} \ mu}$ $mu j = i_X \$ obținut prin contractarea $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . divergenţa $\operatorname {div} (X)$ ${\ Displaystyle \ operatorname {div} (X)}$ $\ Operatorname {div} (X)$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în comparație cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este definit prin:

dj=\operatorname {div} (X)\mu .

{\ Displaystyle dj = \ operatorname {div} (X) \ mu.}

dj = \ operatorname {div} (X) \ mu.

Prin exploatarea derivatul Lie ${\mathcal {L}}_{X}\mu$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {x} \ mu}$ $\ mathcal {L} _x \ mu$ poti sa scrii:

{\mathcal {L}}_{X}\mu =\operatorname {div} (X)\mu .

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ mu = \ operatorname {div} (X) \ mu.}

{\ Mathcal {L}} _ {X} \ mu = \ operatorname {div} (X) \ mu.

Pe o varietate riemannian sau Lorentzian divergență în ceea ce privește forma de volum poate fi calculat în funcție de conexiunea Levi-Civita $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ :

\operatorname {div} (X)=\nabla \cdot X=X_{;a}^{a},

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (X) = \ nabla \ cdot X = X _ {; o} ^ {a},}

\ Operatorname {div} (X) = \ nabla \ cdot X = X _ {{; o}} ^ {a},

unde a doua expresie este 1-formă contracția $\nabla X$ ${\ Displaystyle \ nabla X}$ $\ Nabla X$ la valori într-un câmp vectorial cu ea însăși.

Divergențele pot fi de asemenea generalizate la tensori . În notație lui Einstein divergența unui vector contravariant $F^{\mu }$ ${\ Displaystyle F ^ {\ mu}}$ $F ^ \ mu$ este dat de:

\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu }.

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ nabla _ {\ mu} F ^ {\ mu}.}

\ Nabla \ cdot {\ mathbf {F}} = \ nabla _ {\ mu} F ^ {\ mu}.

unde este $\nabla _{\mu }$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$ $\ Nabla_ \ mu$ este derivatul covariantă . Într-un mod echivalent, unii autori definesc divergența unui tensor mixt prin „muzical notația #“, care este, în cazul în care $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un tip Tensor $(p,q)$ ${\ Displaystyle (p, q)}$ $(P, q)$ , cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ indicele contravariance e $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ covarianței, atunci divergența $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este tipul de tensorul $(p,q-1)$ ${\ Displaystyle (p, q-1)}$ $(P, q-1)$ :

(\operatorname {div} T)(Y_{1},\dots ,Y_{q-1})=\operatorname {tr} (X\mapsto \#(\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\dots ,Y_{q-1})).

{\ Displaystyle (\ operatorname {div} T) (Y_ {1}, \ dots, Y_ {q-1}) = \ operatorname {tr} (X \ mapsto \ # (\ nabla T) (X, \ cdot, Y_ {1}, \ dots, Y_ {q-1})).}

(\ Operatorname {div} T) (Y_ {1}, \ dots, Y _ {{q-1}}) = \ operatorname {tr} (X \ mapsto \ # (\ nabla T) (X, \ cdot, Y_ {1}, \ dots, Y _ {{q-1}})).

teorema de descompunere

Același subiect în detaliu: teorema lui Helmholtz .

Un suficient regulat câmp vectorial este complet determinat atunci când divergența și sa rotor în fiecare punct al domeniului său sunt cunoscute. Într-adevăr, se poate demonstra că fiecare flux constant $\mathbf {v} (\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {r})}$ $\ Mathbf v (\ mathbf r)$ , Care este diferențiabilă de cel puțin două ori în ${\mathbb {R} }^{3}$ ${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {3}}$ ${\ Mathbb R} ^ 3$ și că anulează suficient de repede pentru $|\mathbf {r} |\to \infty$ ${\ Displaystyle | \ mathbf {r} | \ a \ infty}$ $| \ Mathbf r | \ A \ infty$ , Pot fi descompuse într - o irrotational parte $\mathbf {E} (\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r})}$ $\ Mathbf E (\ mathbf r)$ și un solenoid parte $\mathbf {B} (\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r})}$ $\ Mathbf B (\ mathbf r)$ .

Pentru partea irrotational:

\mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} )

{\ Displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ Phi (\ mathbf {r})}

\ Mathbf E = - \ nabla \ Phi (\ mathbf r)

cu:

\Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \,\mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}

{\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r} „\; {\ frac {\ operatorname {div} \, \ mathbf {v} (\ mathbf {r} ')} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}}}

\ Phi ({\ mathbf {r}}) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {3}}} \ {{\ rm {d}}} ^ {3} {\ mathbf r} „\ ; {\ frac {\ operatorname {div} \ {\ mathbf {v}} ({\ mathbf {r}} „)} {4 \ pi | {\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}} „|}}

Pentru partea solenoid este suficient pentru a înlocui potențialul scalar în expresiile anterioare $\Phi (\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r})}$ $\ Phi (\ mathbf r)$ cu un potențial vector $\mathbf {A} (\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r})}$ $\ Mathbf A (\ mathbf r)$ , Gradientul $-\nabla \Phi$ ${\ Displaystyle - \ nabla \ Phi}$ $- \ nabla \ Phi$ cu rotorul $\nabla \times \mathbf {A}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {A}}$ $\ Nabla \ ori \ mathbf {A}$ Și $\operatorname {div} \,\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {div} \, \ mathbf {v}}$ $\ Operatorname {div} \, \ mathbf {v}$ cu $\nabla \times \mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {v}}$ $\ Mathbf nabla \ ori \ {v}$ . Acesta este un caz special al descompunerii Helmholtz sau Helmholtz teoremă.

Proprietate

Același subiect în detaliu: identități vectoriale .

Divergențele este un operator liniar , adică.:

\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )\qquad \forall a,b\in \mathbb {R}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (a \ mathbf {F} + b \ mathbf {G}) = a \; \ operatorname {div} (\ mathbf {F}) + b \; \ operatorname {div} (\ mathbf {G}) \ prototipurilor \ forall a, b \ în \ mathbb {R}}

\ Operatorname {div} (a \ mathbf {F} + b \ mathbf {G}) = a \; \ operatorname {div} (\ mathbf {F}) + b \; \ operatorname {div} (\ mathbf {G }) \ prototipurilor \ forall a, b \ în \ R

pentru fiecare pereche de câmpuri vectoriale $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf F$ Și $\mathbf {G}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G}}$ $\ Mathbf G$ , Care are următoarele proprietăți:

Există o regulă de produs , astfel încât , dacă $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este o funcție de prim rang într-un domeniu de scalari și $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf F$ un câmp vectorial, atunci:

\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} )

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ varphi \ mathbf {F}) = \ operatorname {grad} (\ varphi) \ cdot \ mathbf {F} + \ varphi \; \ operatorname {div} (\ mathbf {F} )}

\ Operatorname {div} (\ varphi \ mathbf {F}) = \ operatorname {grad} (\ varphi) \ cdot \ mathbf {F} + \ varphi \; \ operatorname {div} (\ mathbf {F})

care poate fi scris și ca:

\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} )

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {F}) = (\ nabla \ varphi) \ cdot \ mathbf {F} + \ varphi \; (\ nabla \ cdot \ mathbf {F})}

\ Nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {F}) = (\ nabla \ varphi) \ cdot \ mathbf {F} + \ varphi \; (\ nabla \ cdot \ mathbf {F})

Divergența produsului vectorial este:

\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\mathbf {G} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {F} )\;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {G} )

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ mathbf {F} \ ori \ mathbf {G}) = \ mathbf {G} \ cdot \ operatorname {rot} (\ mathbf {F}) \ - \; \ mathbf { F} \ cdot \ operatorname {rot} (\ mathbf {G})}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ mathbf {F} \ ori \ mathbf {G}) = \ mathbf {G} \ cdot \ operatorname {rot} (\ mathbf {F}) \ - \; \ mathbf { F} \ cdot \ operatorname {rot} (\ mathbf {G})}

care poate fi scris și ca:

\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\mathbf {G} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )-\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {F} \ ori \ mathbf {G}) = \ mathbf {G} \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf {F}) - \ mathbf {F} \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf {G})}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {F} \ ori \ mathbf {G}) = \ mathbf {G} \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf {F}) - \ mathbf {F} \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf {G})}

Laplacianul unui câmp scalar este divergenta gradientului său:

\operatorname {div} (\nabla \varphi )=\nabla ^{2}\varphi

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ nabla \ varphi) = \ nabla ^ {2} \ varphi}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ nabla \ varphi) = \ nabla ^ {2} \ varphi}

Divergența rotorului oricărui câmp vectorial în 3 dimensiuni este zero:

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf {F}) = 0}

\ Nabla \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf {F}) = 0

Exemple

Coordonate polare plane

Coordonate polare

În $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ Mathbb {R} ^ 2$ putem introduce alte sisteme de referință , cum ar fi polare unul:

{\begin{cases}x=\rho \cos \phi \\y=\rho \sin \phi \end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} x = \ rho \ cos \ phi \\ y = \ rho \ păcat \ phi \ end {cazuri}}}

{\ Begin {cazuri} x = \ rho \ cos \ phi \\ y = \ rho \ păcat \ phi \ end {cazuri}}

Unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ reprezintă coordonata radială e $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ reprezintă coordonate unghiular.

Să presupunem că vrem să efectueze divergența unei funcții vectoriale:

\mathbf {F} (\rho ;\phi )=F_{\rho }\,\mathbf {e} _{\rho }+F_{\phi }\,\mathbf {e} _{\phi }

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ rho; \ phi) = F _ {\ rho} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + F _ {\ phi} \, \ mathbf {e} _ { \ phi}}

{\ Mathbf {F}} (\ rho; \ phi) = F _ {{\ rho}} \ {\ mathbf {e}} _ {{\ rho}} + F _ {{\ phi}} \, {\ mathbf {e}} _ {{\ phi}}

puteți scrie produsul scalar dintre cele două cantități vectoriale:

\nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{\rho }{\frac {\partial }{\partial \rho }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\cdot \left(F_{\rho }\,\mathbf {e} _{\rho }+F_{\phi }\,\mathbf {e} _{\phi }\right)

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ stânga (\ mathbf {e} _ {\ rho} {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ rho}} + \ mathbf {e} _ {\ phi } {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ phi}} \ dreapta) \ cdot \ stânga (F _ {\ rho} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + F _ {\ phi} \, \ mathbf {e} _ {\ phi} \ dreapta)}

\ Nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ stânga (\ mathbf {e} _ {\ rho} \ frac {\ partial} {\ parțial \ rho} + \ mathbf {e} _ {\ phi} \ frac {1 } {\ rho} \ frac {\ parțial} {\ parțial \ phi} \ dreapta) \ cdot \ stânga (F _ {\ rho} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + F _ {\ phi} \, \ mathbf {e} _ {\ phi} \ dreapta)

după ce a amintit că:

\left(d\mathbf {l} \,\right)_{\hat {\rho }}=d\rho \qquad \left(d\mathbf {l} \,\right)_{\hat {\phi }}=\rho \,d\phi

{\ Displaystyle \ stânga (d \ mathbf {l} \, \ dreapta) _ {\ hat {\ rho}} = d \ rho \ prototipurilor \ stânga (d \ mathbf {l} \, \ dreapta) _ {\ hat {\ phi}} = \ rho \, d \ phi}

\ Stânga (d \ mathbf {l} \, \ dreapta) _ \ hat {\ rho} = d \ rho \ prototipurilor \ stânga (d \ mathbf {l} \, \ dreapta) _ \ hat {\ phi} = \ rho \, d \ phi

Rularea produsului obține:

\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {e} _{\rho }\cdot \left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \rho }}\,\mathbf {e} _{\rho }+F_{\rho }{\frac {\partial \,\mathbf {e} _{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \rho }}\,\mathbf {e} _{\phi }+F_{\phi }{\frac {\partial \,\mathbf {e} _{\phi }}{\partial \rho }}\right)\,+

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ mathbf {e} _ {\ rho} \ cdot \ stânga ({\ frac {\ parțial F _ {\ rho}} {\ parțial \ rho}} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + F _ {\ rho} {\ frac {\ parțial \, \ mathbf {e} _ {\ rho}} {\ parțial \ rho}} + {\ frac {\ parțial F_ {\ phi}} {\ parțial \ rho}} \, \ mathbf {e} _ {\ phi} + F _ {\ phi} {\ frac {\ parțial \, \ mathbf {e} _ {\ phi} } {\ parțial \ rho}} \ dreapta) \, +}

\ Nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ mathbf {e} _ {\ rho} \ cdot \ stânga (\ frac {\ parțial F _ {\ rho}} {\ parțial \ rho} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + F _ {\ rho} \ frac {\ parțial \, \ mathbf {e} _ {\ rho}} {\ parțial \ rho} + \ frac {\ parțial F _ {\ phi}} { \ parțial \ rho} \, \ mathbf {e} _ {\ phi} + F _ {\ phi} \ frac {\ parțial \, \ mathbf {e} _ {\ phi}} {\ parțial \ rho} \ dreapta ) \, +

+\,{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {e} _{\phi }\cdot \left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \phi }}\,\mathbf {e} _{\rho }+F_{\rho }{\frac {\partial \,\mathbf {e} _{\rho }}{\partial \phi }}+{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}\,\mathbf {e} _{\phi }+F_{\phi }{\frac {\partial \,\mathbf {e} _{\phi }}{\partial \phi }}\right)

{\ Displaystyle + \ {\ frac {1} {\ rho}} \, \ mathbf {e} _ {\ phi} \ cdot \ stânga ({\ frac {\ parțial F _ {\ rho}} {\ parțial \ phi}} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + F _ {\ rho} {\ frac {\ parțial \, \ mathbf {e} _ {\ rho}} {\ parțial \ phi}} + {\ _ {\ phi}} {\ parțial \ phi} frac {\ parțială F} \, \ mathbf {e} _ {\ phi} + F _ {\ phi} {\ frac {mathbf \ parțial \, \ { e} _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}} \ dreapta)}

+ \ {\ Frac {1} {\ rho}} \ {\ mathbf {e}} _ {{\ phi}} \ cdot \ stânga ({\ frac {\ parțial F _ {{\ rho}}} {\ parțial \ phi}} \ {\ mathbf {e}} _ {{\ rho}} + F _ {{\ rho}} {\ frac {\ parțial \ {\ mathbf {e}} _ {{ \ rho}}} {\ parțial \ phi}} + {\ frac {\ parțial F _ {{\ phi}}} {\ parțial \ phi}} \ {\ mathbf {e}} _ {{\ phi} } + F_ {{\ phi}} {\ frac {\ parțial \ {\ mathbf {e}} _ {{\ phi}}} {\ parțial \ phi}} \ dreapta)

Se remarcă faptul că două dintre cele patru derivați de vectori sunt zero. De fapt, ca $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ versorul $\mathbf {e} _{\rho }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {\ rho}}$ $\ Mathbf {e} _ {\ rho}$ aceasta nu schimbă orientarea (nici modulul său, fiind o unitate de vector) și derivatul său în ceea ce privește $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ acesta va fi, prin urmare, nulă. De asemenea $\mathbf {e} _{\phi }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {\ phi}}$ $\ Mathbf {e} _ {\ phi}$ nu va varia atunci când $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ . Cei doi derivați rămași în loc se găsesc:

{\frac {\partial \mathbf {e} _{\rho }}{\partial \phi }}={\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\cos \phi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \phi \,\mathbf {e} _{y}\right)=-\sin \phi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \phi \,\mathbf {e} _{y}=\mathbf {e} _{\phi }

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ mathbf {e} _ {\ rho}} {\ parțial \ phi}} = {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ phi}} \ stânga (\ cos \ phi \ , \ mathbf {e} _ {x} + \ păcatul \ phi \, \ mathbf {e} _ {y} \ dreapta) = - \ păcat \ phi \, \ mathbf {e} _ {x} + \ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {y} = \ mathbf {e} _ {\ phi}}

{\ Frac {\ parțial {\ mathbf {e}} _ {{\ rho}}} {\ parțial \ phi}} = {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ phi}} \ stânga (\ cos \ phi \ {\ mathbf {e}} _ {x} + \ păcatul \ phi \ {\ mathbf {e}} _ {y} \ dreapta) = - \ păcatul \ phi \ {\ mathbf {e}} _ {x} + \ cos \ phi \ {\ mathbf {e}} _ {y} = {\ mathbf {e}} _ {{\ phi}}

{\frac {\partial \,\mathbf {e} _{\phi }}{\partial \phi }}={\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(-\sin \phi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \phi \,\mathbf {e} _{y}\right)=-\cos \phi \,\mathbf {e} _{x}-\sin \phi \,\mathbf {e} _{y}=-\mathbf {e} _{\rho }

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \, \ mathbf {e} _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}} = {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ phi}} \ stânga (- \ păcat \ phi \, \ mathbf {e} _ {x} + \ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {y} \ dreapta) = - \ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {x} - \ păcat \ phi \, \ mathbf {e} _ {y} = - \ mathbf {e} _ {\ rho}}

{\ Frac {\ parțial \ {\ mathbf {e}} _ {{\ phi}}} {\ parțial \ phi}} = {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ phi}} \ stânga (- \ păcat \ phi \ {\ mathbf {e}} _ {x} + \ cos \ phi \ {\ mathbf {e}} _ {y} \ dreapta) = - \ cos \ phi \ {\ mathbf {e }} _ {x} - \ păcatul \ phi \ {\ mathbf {e}} _ {y} = - {\ mathbf {e}} _ {{\ rho}}

și înlocuind:

\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}\left(F_{\rho }+{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}\right)

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ frac {\ parțial F _ {\ rho}} {\ parțial \ rho}} + {\ frac {1} {\ rho}} \ stânga (F _ {\ rho} + {\ frac {\ parțial F _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}} \ dreapta)}

\ Nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ frac {\ parțial F _ {\ rho}} {\ parțial \ rho} + \ frac {1} {\ rho} \ stânga (F _ {\ rho} + \ frac {\ parțial F _ {\ phi}} {\ parțial \ phi} \ dreapta)

divergență în coordonate polare devine astfel scalar:

\nabla \cdot \mathbf {F} (\rho ;\phi )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \!\left(\rho F_{\rho }\right)}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} (\ rho; \ phi) = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parțial \ \ stânga (\ rho F _ {\ rho}! \ dreapta)} {\ parțial \ rho}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parțial F _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}}}

\ Nabla \ cdot {\ mathbf {F}} (\ rho; \ phi)! = {\ Frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parțial \ \ stânga (\ rho F _ {{\ rho} } \ dreapta)} {\ parțial \ rho}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parțial F _ {{\ phi}}} {\ parțial \ phi}}

coordonate sferice

În $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ alte sisteme de referință pot fi introduse, cum ar fi coordonate sferice:

{\begin{cases}x=\rho \sin \theta \cos \phi \\y=\rho \sin \theta \sin \phi \\z=\rho \cos \theta \end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} x = \ rho \ păcat \ theta \ cos \ phi \\ y = \ rho \ păcat \ theta \ păcatul \ phi \\ z = \ rho \ cos \ theta \ end {cazuri} }}

{\ Begin {cazuri} x = \ rho \ păcat \ theta \ cos \ phi \\ y = \ rho \ păcat \ theta \ păcatul \ phi \\ z = \ rho \ cos \ theta \ end {cazuri}}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ reprezintă coordonata radială, $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ reprezintă coordonate unghiular față de axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ reprezintă coordonate unghiular față de axa $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . În mod similar cu cazul anterior, este suficient pentru a proiecta diferențial pe noile coordonate:

\left(d\mathbf {l} \right)_{\hat {\rho }}=d\rho \qquad \left(d\mathbf {l} \right)_{\hat {\phi }}=\rho \sin \theta \,d\phi \qquad \left(d\mathbf {l} \right)_{\hat {\theta }}=\rho \,d\theta

{\ Displaystyle \ stânga (d \ mathbf {l} \ dreapta) _ {\ hat {\ rho}} = d \ rho \ prototipurilor \ stânga (d \ mathbf {l} \ dreapta) _ {\ hat {\ phi} } = \ rho \ păcatul \ theta \, d \ phi \ prototipurilor \ stânga (d \ mathbf {l} \ dreapta) _ {\ hat {\ theta}} = \ rho \, d \ theta}

\ Stânga (d {\ mathbf {l}} \ dreapta) _ {{\ hat {\ rho}}} = d \ rho \ prototipurilor \ stânga (d {\ mathbf {l}} \ dreapta) _ {{\ hat {\ phi}}} = \ rho \ păcatul \ theta \, d \ phi \ prototipurilor \ stânga (d {\ mathbf {l}} \ dreapta) _ {{\ hat {\ theta}}} = \ rho \, d \ theta

Astfel, dacă:

\mathbf {F} (\rho ,\theta ,\phi )=F_{\rho }\ {\hat {\rho }}+F_{\theta }\ {\hat {\theta }}+F_{\phi }\ {\hat {\phi }}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ rho, \ theta \ phi) = F _ {\ rho} \ {\ hat {\ rho}} + F _ {\ theta} \ {\ hat {\ theta}} + F_ {\ phi} \ {\ hat {\ phi}}}

\ Mathbf {F} (\ rho, \ theta \ phi) = F _ {\ rho} \ \ hat {\ rho} + F _ {\ theta} \ \ hat {\ theta} + F _ {\ phi} \ \ hat {\ phi}

divergență în coordonate sferice devine scalar:

\nabla \cdot \mathbf {F} (\rho ,\theta ,\phi )=

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} (\ rho, \ theta \ phi) =}

\ Nabla \ cdot \ mathbf {F} (\ rho, \ theta \ phi) =

={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial (\rho ^{2}\,F_{\rho })}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho \sin \theta }}{\frac {\partial (\sin \theta \ F_{\theta })}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\rho \sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}=

{\ Displaystyle = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial (\ rho ^ {2} \, F _ {\ rho})} {\ parțial \ rho}} + {\ frac {1} {\ rho \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial (\ păcat \ theta \ F _ {\ theta})} {\ parțial \ theta}} + {\ frac {1} { \ rho \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial F _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}}} =

= {\ Frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial (\ rho ^ {2} \, F _ {{\ rho}})} {\ parțial \ rho}} + { \ frac {1} {\ rho \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial (\ păcat \ theta \ F _ {{\ theta}})} {\ parțial \ theta}} + {\ frac {1} {\ rho \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial F _ {{\ phi}}} {\ parțial \ phi}} =

={\frac {1}{\rho ^{2}}}\left(2\rho F_{\rho }+\rho ^{2}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho \sin \theta }}\left(\cos \theta F_{\theta }+\sin \theta {\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\rho \sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}=

{\ Displaystyle = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ stânga (2 \ rho F _ {\ rho} + \ rho ^ {2} {\ frac {\ parțial F _ {\ rho} } {\ parțial \ rho}} \ dreapta) + {\ frac {1} {\ rho \ păcatul \ theta}} \ stânga (\ cos \ theta F _ {\ theta} + \ păcatul \ theta {\ frac {\ F_ parțiale {\ theta}} {\ parțial \ theta}} \ dreapta) + {\ rho \ păcat {\ frac {1} \ theta}} {\ frac {\ parțial F _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}}} =

= {\ Frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ stânga (2 \ rho F _ {{\ rho}} + \ rho ^ {2} {\ frac {\ parțial F _ {{\ rho} }} {\ parțial \ rho}} \ dreapta) + {\ rho \ păcat {\ frac {1} \ theta}} \ stânga (\ cos \ theta F _ {{\ theta}} + \ păcatul \ theta {\ frac {\ parțial F _ {{\ theta}}} {\ parțial \ theta}} \ dreapta) + {\ frac {1} {\ rho \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial F _ {{\ phi}}} {\ parțial \ phi}} =

={\frac {2F_{\rho }}{\rho }}+{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho \tan \theta }}F_{\theta }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\rho \sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}

{\ Displaystyle = {\ frac {2F _ {\ rho}} {\ rho}} + {\ frac {\ parțial F _ {\ rho}} {\ parțial \ rho}} + {\ frac {1} {\ rho \ tan \ theta}} F _ {\ theta} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parțial F _ {\ theta}} {\ parțial \ theta}} + {\ frac { 1} {\ rho \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial F _ {\ phi}} {\ parțial \ phi}}}

= {\ Frac {2F _ {{\ rho}}} {\ rho}} + {\ frac {\ parțial F _ {{\ rho}}} {\ parțial \ rho}} + {\ frac {1} { \ rho \ tan \ theta}} F _ {{\ theta}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parțial F _ {{\ theta}}} {\ parțial \ theta}} + {\ frac {1} {\ rho \ păcatul \ theta}} {\ frac {\ parțial F _ {{\ phi}}} {\ parțial \ phi}}

Divergenta rotorului

În $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ divergența rotorului din orice clasă câmp vectorial $C^{2}$ ${\ Displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ este întotdeauna egal cu.

Într-adevăr, fie că este vorba $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ Mathbf F$ un câmp vectorial de clasă $C^{2}$ ${\ Displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ :

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla \cdot \left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\,,\,{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}\,,\,{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)=

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ stânga ({\ frac {\ parțial F_ {3}} {\ y parțial}} - {\ frac {\ parțial F_ {2}} {\ parțial z}} \ ,, \ {\ frac {\ parțial F_ {1}} {\ z parțial}} - {\ frac {\ parțial F_ {3}} {\ x parțial} } \ ,, \ {\ frac {\ parțial F_ {2}} {\ x parțial}} - {\ frac {\ parțial F_ {1}} {\ y parțial}} \ dreapta) =}

\ Nabla \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf F) = \ nabla \ cdot \ stânga (\ frac {\ F_3 parțială} {\ y parțial} - \ frac {\ F_2 parțial} {\ parțial z} \ ,, \ , \ frac {\ F_1 parțial} {\ z parțial} - \ frac {\ F_3 parțială} {\ x parțial} \ ,, \, \ frac {\ F_2 parțială} {\ x parțial} - \ frac {\ F_1 parțială } {\ y parțial} \ dreapta) =

={\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial y\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial z\partial y}}=

={\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial y\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial z\partial y}}=

= \frac{\partial^{2} F_3}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} F_2}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^{2} F_1}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^{2} F_3}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^{2} F_2}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^{2} F_1}{\partial z \partial y} =

={\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial z\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial y\partial x}}=0

={\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial z\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial y\partial x}}=0

={\frac {\partial ^{{2}}F_{1}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{{2}}F_{1}}{\partial z\partial y}}+{\frac {\partial ^{{2}}F_{2}}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{{2}}F_{2}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{{2}}F_{3}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{{2}}F_{3}}{\partial y\partial x}}=0

Poiché la funzione è di classe $C^{2}$ $C^{2}$ $C^2$ secondo il teorema di Schwarz le derivate miste sommandosi si annullano (se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Schwarz, infatti, l'ordine di derivazione è indifferente).

Note

^ Eric Weisstein, MathWorld - Divergence Theorem , su mathworld.wolfram.com , 2010.
^ Scrivendo le "componenti" di $\nabla$ $\nabla$ $\nabla$ davanti a quelle di $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf{F}$ non si sta eseguendo un prodotto tra componenti, ma si stanno applicando gli operatori alle componenti di $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf{F}$ . Tale prodotto formale non soddisfa le proprietà del prodotto scalare, ad esempio la scrittura $\mathbf {F} \cdot \nabla$ $\mathbf {F} \cdot \nabla$ ${\mathbf {F}}\cdot \nabla$ non ha alcun significato, nonostante il prodotto scalare sia simmetrico.
^ Copia archiviata ( PDF ), su elektro.dtu.dk . URL consultato il 29 maggio 2013 (archiviato dall' url originale il 5 aprile 2012) .
^ Cylindrical coordinates at Wolfram Mathworld
^ Spherical coordinates at Wolfram Mathworld

Bibliografia

( EN ) Jess H. Brewer, DIVERGENCE of a Vector Field , su Vector Calculus , 7 aprile 1999. URL consultato il 28 settembre 2007 (archiviato dall' url originale il 23 novembre 2007) .
( EN ) Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review , New York, Dover Publications, pp. 157–160, ISBN 0-486-41147-8 .
( EN ) Kaplan, W. The Divergence of a Vector Field. §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185–186, 1991.
( EN ) Morse, PM and Feshbach, H. The Divergence. In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34–37, 1953.
( EN ) Schey, HM Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus , 3rd ed. New York: WW Norton, 1997.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su divergenza

Collegamenti esterni

( EN ) Eric Weisstein, MathWorld - Divergence , su mathworld.wolfram.com , 2010.
( EN ) LP Kuptsov, Divergence , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Jess H. Brewer's HyperReference - Divergence of a Vector Field , su musr.phas.ubc.ca . URL consultato il 25 maggio 2013 (archiviato dall' url originale il 23 novembre 2007) .

Controllo di autorità	GND ( DE ) 4528420-9

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[mathworld-1] Eric Weisstein, MathWorld - Divergence Theorem , su mathworld.wolfram.com , 2010.

[2] Scrivendo le "componenti" di $\nabla$ $\nabla$ $\nabla$ davanti a quelle di $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf{F}$ non si sta eseguendo un prodotto tra componenti, ma si stanno applicando gli operatori alle componenti di $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf{F}$ . Tale prodotto formale non soddisfa le proprietà del prodotto scalare, ad esempio la scrittura $\mathbf {F} \cdot \nabla$ $\mathbf {F} \cdot \nabla$ ${\mathbf {F}}\cdot \nabla$ non ha alcun significato, nonostante il prodotto scalare sia simmetrico.

[3] Copia archiviata ( PDF ), su elektro.dtu.dk . URL consultato il 29 maggio 2013 (archiviato dall' url originale il 5 aprile 2012) .

[4] Cylindrical coordinates at Wolfram Mathworld

[5] Spherical coordinates at Wolfram Mathworld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]