Spirală

Reprezentarea grafică a unei spirale

O spirală , în matematică , este o curbă care se înfășoară în jurul unui anumit punct central sau axă , apropiindu-se progresiv sau îndepărtându-se, în funcție de modul în care curba este traversată.

Spirale bidimensionale

O spirală bidimensională poate fi descrisă folosind coordonatele polare și impunând acea rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este o funcție continuă și monotonă a $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Cercul ar fi văzut ca un caz degenerat (funcția nefiind strict monotonă, ci constantă).

Unele dintre cele mai proeminente tipuri de spirale bidimensionale includ:

Spirala arhimedeană : $r=a+b\theta$ ${\ displaystyle r = a + b \ theta}$ $r = a + b \ theta$
Spirala sau cloidoidul lui Cornu
Spirala lui Fermat : $r={\sqrt {\theta }}$ ${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ theta}}}$ $r = {\ sqrt {\ theta}}$
Spirala hiperbolică : $r=a/\theta$ ${\ displaystyle r = a / \ theta}$ $r = a / \ theta$
Lituo : $r=1/{\sqrt {\theta }}$ ${\ displaystyle r = 1 / {\ sqrt {\ theta}}}$ $r = 1 / {\ sqrt {\ theta}}$
Spirala logaritmică : $r=ab^{\theta }$ ${\ displaystyle r = ab ^ {\ theta}}$ $r = ab ^ {\ theta}$ ; aproximările acestei curbe se găsesc în natură.

Lungime

Rețineți funcția $r(\theta )$ ${\ displaystyle r (\ theta)}$ $r (\ theta)$ cu care variază modulul vectorului de poziție, este posibilă parametrizarea curbei în plan $X Da$ ${\ displaystyle XY}$ $X Y$ cu coordonate polare $(x,y)=(r\cos {\theta },r\sin {\theta })$ ${\ displaystyle (x, y) = (r \ cos {\ theta}, r \ sin {\ theta})}$ $(x, y) = (r \ cos {\ theta}, r \ sin {\ theta})$ , și apoi elaborați integralul curbiliniar pentru a determina lungimea $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ a curbei $C=(r\cos {\theta },r\sin {\theta })$ ${\ displaystyle C = (r \ cos {\ theta}, r \ sin {\ theta})}$ ${\ displaystyle C = (r \ cos {\ theta}, r \ sin {\ theta})}$ , în care ne amintim asta $r=f(\theta )$ ${\ displaystyle r = f (\ theta)}$ $r = f (\ theta)$ :

l=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}|C'(\theta )|\mathrm {d} \theta .

{\ displaystyle l = \ int \ limits _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} | C '(\ theta) | \ mathrm {d} \ theta.}

{\ displaystyle l = \ int \ limits _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} | C '(\ theta) | \ mathrm {d} \ theta.}

Derivarea funcției $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ avem asta

C'(\theta )=(r'(\theta )\cos {\theta }-r(\theta )\sin {\theta },r'(\theta )\sin {\theta }+r(\theta )\cos {\theta }),

{\ displaystyle C '(\ theta) = (r' (\ theta) \ cos {\ theta} -r (\ theta) \ sin {\ theta}, r '(\ theta) \ sin {\ theta} + r (\ theta) \ cos {\ theta}),}

{\ displaystyle C '(\ theta) = (r' (\ theta) \ cos {\ theta} -r (\ theta) \ sin {\ theta}, r '(\ theta) \ sin {\ theta} + r (\ theta) \ cos {\ theta}),}

și luând forma:

|C'(\theta )|={\sqrt {(r'(\theta )\cos {\theta }-r(\theta )\sin {\theta })^{2}+(r'(\theta )\sin {\theta }+r(\theta )\cos {\theta })^{2}}}={\sqrt {r'^{2}(\theta )(\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta })+r^{2}(\theta )(\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta })}}={\sqrt {r'^{2}(\theta )+r^{2}(\theta )}}.

{\ displaystyle | C '(\ theta) | = {\ sqrt {(r' (\ theta) \ cos {\ theta} -r (\ theta) \ sin {\ theta}) ^ {2} + (r ' (\ theta) \ sin {\ theta} + r (\ theta) \ cos {\ theta}) ^ {2}}} = {\ sqrt {r '^ {2} (\ theta) (\ cos ^ {2 } {\ theta} + \ sin ^ {2} {\ theta}) + r ^ {2} (\ theta) (\ cos ^ {2} {\ theta} + \ sin ^ {2} {\ theta}) }} = {\ sqrt {r '^ {2} (\ theta) + r ^ {2} (\ theta)}}.}

{\ displaystyle | C '(\ theta) | = {\ sqrt {(r' (\ theta) \ cos {\ theta} -r (\ theta) \ sin {\ theta}) ^ {2} + (r ' (\ theta) \ sin {\ theta} + r (\ theta) \ cos {\ theta}) ^ {2}}} = {\ sqrt {r '^ {2} (\ theta) (\ cos ^ {2 } {\ theta} + \ sin ^ {2} {\ theta}) + r ^ {2} (\ theta) (\ cos ^ {2} {\ theta} + \ sin ^ {2} {\ theta}) }} = {\ sqrt {r '^ {2} (\ theta) + r ^ {2} (\ theta)}}.}

Integrându-se astfel între colțuri $\theta _{1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta_1$ Și $\theta _{2}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ $\ theta_2$ expresia găsită, care ar fi modulul tangentei la curba spirală, dă lungimea curbei în sine:

l=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {r^{2}(\theta )+r'^{2}(\theta )}}\mathrm {d} \theta .

{\ displaystyle l = \ int \ limits _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} {\ sqrt {r ^ {2} (\ theta) + r '^ {2} (\ theta )}} \ mathrm {d} \ theta.}

{\ displaystyle l = \ int \ limits _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} {\ sqrt {r ^ {2} (\ theta) + r '^ {2} (\ theta )}} \ mathrm {d} \ theta.}

Spirale tridimensionale

Ca și în cazul bidimensional, $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este o funcție continuă și monotonă a $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . În cazul spiralelor tridimensionale simple, a treia variabilă, $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ (înălțime) este o funcție continuă și monotonă a $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , în timp ce în cazul spiralelor compuse tridimensionale, cum ar fi spirala sferică descrisă mai jos, $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ crește odată cu $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ pe de o parte, cu privire la un anumit punct și scade pe de altă parte.

Elica și vortexul pot fi privite ca tipuri tridimensionale de spirale.

Spirală sferică

O spirală sferică ( linia rotundă ) este curba pe o sferă trasată de o navă care călătorește de la un pol la altul, menținând în același timp un unghi fix (dar nu un unghi drept) față de meridiane, adică menținând aceeași direcție. Curba are rotații infinite, cu distanță descrescătoare pe măsură ce se apropie de fiecare dintre poli.

Bibliografie

Cook, T., 1903. Spirale în natură și artă . Natura 68 (1761), 296.
Cook, T., 1979. Curbele vieții . Dover, New York.
Habib, Z., Sakai, M., 2005. Curbele de tranziție spirală și aplicațiile lor . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 - 206.
Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Tranziție cubică echitabilă între două cercuri cu un cerc în interior sau tangent la celălalt . Algoritmi numerici 51, 461–476 [1] ^{[ link rupt ]} .
Harary, G., Tal, A., 2011. Spirala 3D naturală . Computer Graphics Forum 30 (2), 237 - 246 [2] .
Xu, L., Mold, D., 2009. Curbe magnetice: curbe estetice controlate de curbură folosind câmpuri magnetice . În: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. Asociația Eurographics [3] .
Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Proiectarea curbelor corecte folosind piese de curbură monotonă . Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515-527 [4] .
A. Kurnosenko. Aplicarea inversării pentru a construi spirale plane, raționale, care satisfac datele G2 Hermite în două puncte . Computer Aided Geometric Design, 27 (3), 262-280, 2010 [5] .
A. Kurnosenko. Interpolare Hermit G2 în două puncte cu spirale prin inversarea hiperbolei . Computer Aided Geometric Design, 27 (6), 474-481, 2010.
Miura, KT, 2006. O ecuație generală a curbelor estetice și a afinității sale de sine . Proiectare și aplicații asistate de computer 3 (1-4), 457-464 [6] .
Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivarea unei formule generale de curbe estetice . În: a 8-a Conferință internațională despre oameni și computere (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japonia, pp. 166 - 171 [7] .
Meek, D., Walton, D., 1989. Utilizarea spiralelor Cornu în desenarea curbelor plane de curbură controlată . Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 69–78 [8] .
Farin, G., 2006. Curbe Bézier de clasa A. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573-581 [9] .
Farouki, RT, 1997. Curbe de tranziție chintice pitagoreice-hodografice ale curburii monotone . Proiectare asistată de computer 29 (9), 601-606.
Yoshida, N., Saito, T., 2006. Segmente de curbă estetică interactive . Visual Computer 22 (9), 896–905 [10] .
Yoshida, N., Saito, T., 2007. Curbele cvasi-estetice în forme raționale cubice Bézier . Proiectare și aplicații asistate de computer 4 (9-10), 477-486 [11] .
Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Ecuații parametrice analitice ale curbelor log-estetice în termeni de funcții gamma incomplete . Proiectare geometrică asistată de computer 29 (2), 129 - 140 [12] .
Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Montarea curbei de tranziție multispirală G2 care unește două linii drepte , Computer-Aided Design 44 (6), 591-596 [13] .
Ziatdinov, R., 2012. Familia superspiralelor cu curbură complet monotonă dată în termeni de funcție hipergeometrică Gauss . Computer Aided Geometric Design 29 (7): 510-518 [14] .
Ziatdinov, R., Miura KT, 2012. Despre varietatea spiralelor plane și aplicațiile lor în proiectarea asistată de computer . Cercetător european 27 (8-2), 1227-1232 [15] .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « spirală »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în spirală

linkuri externe

(EN) Spirala lui Fermat pe Mathworld pe mathworld.wolfram.com.
( ES ) The Espiral de Alberto Durero ^{[ link rupt ]} , pe diegovelazquez.110mb.com .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4182346-1

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică