Tensor metric

În matematică și mai precis în geometria diferențială , un tensor metric este un câmp tensorial care caracterizează geometria unui distribuitor . Folosind tensorul metric este posibil să se definească noțiunile de distanță , unghi, lungimea unei curbe, a unei geodezice sau a unei curburi .

Definiții

Produs scalar nedegenerat în orice moment

Un tensor metric este un câmp tensorial $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ definit pe o varietate diferențiată , de tip $(0,2)$ ${\ displaystyle (0,2)}$ $(0,2)$ , simetric șinedegenerat în orice punct.

Prin urmare, tensorul definește în fiecare punct unprodus scalar nedegenerat între vectorii spațiului tangent în punct.

Coordonatele

Un tensor este denumit în coordonate ca $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ . Pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a varietății, a fixat o hartă locală, tensorul în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este deci reprezentată printr-o matrice simetrică $g_{ij}(x)$ ${\ displaystyle g_ {ij} (x)}$ $g _ {{ij}} (x)$ cu alt determinant decât zero. Ca toate câmpurile tensoriale, matricea se schimbă într-un mod diferențial ca $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în interiorul cardului.

Etichetă

Deoarece determinantul nu dispare niciodată, semnătura matricei $g_{ij}(x)$ ${\ displaystyle g_ {ij} (x)}$ $g _ {{ij}} (x)$ este la fel pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ dacă colectorul este conectat .

Dacă semnătura este de tip $(n,0)$ ${\ displaystyle (n, 0)}$ $(n, 0)$ , adică, dacă produsul scalar este definit ca pozitiv peste tot, tensorul induce o metrică asupra soiului, care este, prin urmare, numit soiul Riemannian . Dacă tensorul nu este definit pozitiv, varietatea se numește pseudo-Riemanniană .

Multiple Riemanniene sunt cele mai studiate în geometrie diferențială . La nivel local, o varietate Riemanniană este similară cu un spațiu euclidian , deși poate fi foarte diferită la nivel global. Pe de altă parte, spațiu-timp în relativitatea generală este descris ca un soi pseudoriemannian particular, cu semnătură $(1,3)$ ${\ displaystyle (1,3)}$ $(1.3)$ . O astfel de varietate este similară local cu spațiul-timp Minkowski .

Exemple

Metrică euclidiană

Spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este dotat cu metrica euclidiană , care poate fi descrisă de un tensor metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Spațiul tangent al fiecărui punct este identificat în mod natural cu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . În ceea ce privește această identificare, tensorul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este matricea de identitate pentru fiecare punct al spațiului.

Soi cufundat

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o varietate diferențiată în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Tensorul metric euclidian induce un tensor metric pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : este același produs scalar , restricționat la fiecare punct al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la subspațiul vectorilor tangenți a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Deoarece tensorul euclidian este definit pozitiv, la fel este și tensorul indus și, prin urmare, fiecare soi cufundat în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ are o structură riemanniană multiplă .

De exemplu, tensorul indus pe sfera unitară, scris în coordonate sferice $(\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle (\ theta, \ phi)}$ $(\ theta, \ phi)$ , este dat de

g=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{array}}\right]

{\ displaystyle g = \ left [{\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & \ sin ^ {2} \ theta \ end {array}} \ right]}

g = \ left [{\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & \ sin ^ {2} \ theta \ end {array}} \ right]

și pot fi rezumate în formă

ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}.}

ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}.

Spațiul-timp al lui Minkowski

Spațiul- timp al lui Minkowski este spațiul $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ echipat cu tensorul

g={\begin{bmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\

{\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} -c ^ {2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \}

g = {\ begin {bmatrix} -c ^ {2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end { bmatrix}} \

care poate fi rezumată în formă

ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}.}

ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}.

Constanta $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii . Tensorul se obține ca singura soluție de coordonate care satisface invarianța distanței dintre două puncte pentru toate sistemele de referință, adică sistemul cu două ecuații prin setarea: $ds=ds'$ ${\ displaystyle ds = ds '}$ $ds = ds '$ .

Tensorul Minkowski corespunde unui plan fără obstacole sau curburi. Geodezele sale sunt linii drepte, dar schimbarea semnului de timp introduce particularitatea că acestea nu mai corespund celei mai scurte distanțe dintre două puncte, ci celei mai lungi.

Indicii unui tensor

Tensor metric conjugat

La tensorul metric $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ este asociat un tensor de tip analog $(2,0)$ ${\ displaystyle (2,0)}$ $(2.0)$ , notat cu aceeași literă, dar cu indicii în partea de sus $g^{ij}.$ ${\ displaystyle g ^ {ij}.}$ ${\ displaystyle g ^ {ij}.}$ Tensorul este definit în coordonate ca matricea inversă a lui $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ (această definiție nu depinde de alegerea coordonatelor; în unele contexte se efectuează și transpunerea ). Acest tensor este uneori numit tensor metric conjugat . Relația dintre cei doi tensori poate fi scrisă după cum urmează:

g_{\nu \mu }g^{\mu \gamma }=\delta _{\nu }^{\gamma }

{\ displaystyle g _ {\ nu \ mu} g ^ {\ mu \ gamma} = \ delta _ {\ nu} ^ {\ gamma}}

g _ {{\ nu \ mu}} g ^ {{\ mu \ gamma}} = \ delta _ {\ nu} ^ {\ gamma}

scris cu notația lui Einstein , unde tensorul $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este delta Kronecker definită de

\delta _{\nu }^{\gamma }={\begin{cases}1&\mathrm {se} \ \nu =\gamma \\0&\mathrm {altrimenti} \end{cases}}

{\ displaystyle \ delta _ {\ nu} ^ {\ gamma} = {\ begin {cases} 1 & \ mathrm {se} \ \ nu = \ gamma \\ 0 & \ mathrm {else} \ end {cases}} }

\ delta _ {\ nu} ^ {\ gamma} = {\ begin {cases} 1 & {\ mathrm {se}} \ \ nu = \ gamma \\ 0 & {\ mathrm {else}} \ end {cases} }

Creșterea și scăderea indicilor

Același subiect în detaliu: Creșterea și scăderea indicilor .

Un tensor metric, pe lângă introducerea conceptelor geometrice precum lungimile și unghiurile, permite simplificarea unor notații și structuri. Prin intermediul tensorului este posibil să se identifice spațiile tangente și cotangente ale unui distribuitor.

Mai general, tensorul metric poate fi utilizat pentru a „coborî” sau „a ridica” indicii după bunul plac într-un tensor, de exemplu prin transformarea vectorilor în covectori și invers. Acest lucru se face prin contractarea adecvată cu tensori $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ Și $g^{ij}$ ${\ displaystyle g ^ {ij}}$ $g ^ {{ij}}$ . De exemplu, un vector $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {\ mu}$ se transformă într-un covector

A_{\nu }=g_{\nu \mu }A^{\mu }.

{\ displaystyle A _ {\ nu} = g _ {\ nu \ mu} A ^ {\ mu}.}

A _ {\ nu} = g _ {{\ nu \ mu}} A ^ {\ mu}.

Alternativ,

A^{\mu }=g^{\mu \gamma }A_{\gamma }.

{\ displaystyle A ^ {\ mu} = g ^ {\ mu \ gamma} A _ {\ gamma}.}

A ^ {\ mu} = g ^ {{\ mu \ gamma}} A _ {\ gamma}.

Bibliografie

(RO) JL Synge și A. Schild, Tensor calcul, mai întâi Dover Publications 1978 ediție, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2 .
(EN) JR Tyldesley, O introducere în Tensor Analiza: Pentru Ingineri și Aplicată Oamenii de știință, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5 .
(EN) DC Kay, Tensor Calculul, Outlines Schaum lui, McGraw Hill (SUA), 1988, ISBN 0-07-033484-6 .
(RO) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemanniană Geometrie, 1994.
(EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Fundamentele Differential Geometrie, vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (ediția nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică