0,999 ...

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Impresia artistului despre egalitatea dintre 0.999 ... și 1

În matematică , notația zecimală periodică 0,999 ... , scrisă și: sau sau , denotă numărul real 1 .

Cu alte cuvinte, notațiile „0,999…” și „1” reprezintă același număr real . De-a lungul timpului, au fost obținute numeroase dovezi ale acestei identități , la diferite niveluri de rigoare matematică, adoptând diferite dezvoltări ale sistemului de numere reale, presupuneri și contexte istorice și vizând diferite audiențe.

În ultimele decenii, cercetătorii din domeniul predării matematicii au studiat receptivitatea studenților la această egalitate. Deși a fost mult timp acceptată de matematicieni și predată în manuale, mulți studenți o susțin sau o resping, cel puțin inițial [1] . Mulți sunt îndrumați să accepte egalitatea de manuale, profesori și raționamente aritmetice. Motivele studenților pentru a nega sau afirma egalitatea se bazează de obicei pe o anumită intuiție eronată despre numerele reale; de exemplu, că fiecare număr real are o reprezentare zecimală unică, că există alte infinitesimale decât zero sau că extensia 0.999 ... are un termen.

Non-unicitatea acestei reprezentări nu se limitează la sistemul zecimal. Același fenomen se întâmplă în toate bazele întregi , iar matematicienii au cuantificat, de asemenea, diferitele moduri de scriere 1 în baze non-întregi. Acest fenomen nu este limitat doar la numărul 1: orice număr rațional non- zero având o reprezentare zecimală limitată poate fi scris într-o formă care are perioada 9. Forma zecimală limitată este adoptată mai des pentru simplitate, iar acest lucru contribuie la ideea greșită că aceasta este singura reprezentare. De fapt, odată ce periodicitățile sunt permise, toate sistemele de numere poziționale conțin un număr infinit de numere cu reprezentări duale. De exemplu 28.3287 este egal cu 28.3286999 ... și 28.3287000. Aceste reprezentări duale au fost folosite pentru a înțelege mai bine modelele din reprezentările zecimale ale fracțiilor și în structura unui fractal simplu, setul Cantor . Acest lucru trebuie luat în considerare pentru a studia gradul de infinit ( cardinalitate ) al mulțimii numerelor reale.

Pot fi construite sisteme numerice în care nu mai există această identitate, ci doar în afara sistemelor convenționale de numerotare reală utilizate în matematica elementară.

Introducere

0.999 ... este un număr scris în sistemul de numerotare zecimal și una dintre cele mai simple demonstrații că acest număr este egal cu unul se bazează pe proprietățile aritmetice ale acestui sistem. O mare parte din aritmetica zecimală - adunare , scădere , înmulțire , divizare și comparație - folosește manipulări la nivel de cifră, care sunt foarte asemănătoare cu cele utilizate pentru numere întregi . Ca și în cazul numerelor întregi, două zecimale finite cu cifre diferite sunt numere diferite (zerourile periodice sunt ignorate). Mai exact, orice număr sub forma 0,99 ... 9, unde 9 are un sfârșit, este puțin mai mic decât 1.

Interpretarea greșită a semnificației utilizării „...” ( puncte de suspendare ) în 0.999 ... duce la neînțelegerea egalității sale la 1. Utilizarea punctelor, în acest caz, este diferită de cea făcută în limbaj sau în scripturi, cum ar fi ca 0.99 ... 9, unde punctele specifică faptul că o porțiune finită nu este scrisă. Notația 0,999 ... poate fi interpretată ca un număr numai utilizând conceptul matematic de limită . În consecință, în utilizarea convențională a matematicii, valoarea atribuită notației "0,999 ..." este numărul real care este limita secvenței (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; ...).

Aceasta nu este singura notație în care, spre deosebire de cazul numerelor întregi și zecimale finite, se întâmplă ca același număr să poată fi reprezentat în moduri diferite. Același lucru se întâmplă în utilizarea fracțiilor , cu care există nu numai două posibilități echivalente, ci infinite, așa cum se vede în următorul exemplu: 13 = 26 = 412 etc. Zecimale infinite, totuși, pot reprezenta același număr doar în două moduri, dintre care unul trebuie să se încheie într-o serie infinită de nouă, în timp ce cealaltă trebuie să se termine (sau, altfel spus, trebuie să fie formată dintr-o serie de zerouri periodice. anumit punct înainte).

Există multe dovezi că 0.999 ... = 1, cu nivele variabile de consistență matematică. O scurtă schiță a unei dovezi coerente poate fi descrisă pur și simplu în următorii termeni: Să presupunem că două numere reale sunt identice dacă și numai dacă diferența lor este egală cu zero. Majoritatea oamenilor ar fi de acord că diferența dintre 0,999 ... și 1, dacă există, trebuie să fie foarte mică. Având în vedere convergența secvenței descrise mai sus, putem arăta că dimensiunea acestei diferențe trebuie să fie mai mică decât orice mărime pozitivă și se poate arăta că singurul număr real cu această proprietate este 0. Deoarece diferența este 0, rezultă că numerele 1 și 0,999 ... sunt identice. Același principiu explică, de asemenea, de ce 0,333 ... = 13 , 0,111 ... = 19 etc.

Scepticismul în predare

Studenții la matematică resping adesea egalitatea dintre 0,999 ... și 1, cu motive care variază de la aspectul lor diferit la îndoieli cu privire la conceptul de limită și dezacorduri cu privire la natura infinitesimalelor . Există mulți factori comuni care contribuie la confuzie:

  • Elevii sunt adesea „legați mental de noțiunea că un număr poate fi reprezentat într-un fel și doar unul în zecimal”. Vederea a două reprezentări zecimale diferite, care reprezintă totuși același număr, li se pare un paradox , amplificat văzând numărul 1 aparent bine cunoscut în joc. [2]
  • Unii studenți interpretează 0.999… (sau notație similară) ca o serie numeroasă, dar finită, de 9, posibil cu o lungime variabilă și nespecificată. Dacă ar accepta un șir infinit de nouă, s-ar aștepta totuși la un ultim de 9 „până la infinit”. [3]
  • Intuitia și învățăturile ambigue îi determină pe elevi să se gândească la limita unei secvențe mai degrabă ca la un tip de proces infinit decât la o valoare precisă, întrucât o secvență nu trebuie să-și atingă limita. În cazul în care elevii acceptă diferența dintre o secvență de numere și limita acesteia, ei pot citi „0.999…” ca semnificație a secvenței și nu ca limită a acesteia. [4]
  • Unii studenți cred că 0.999 ... are o valoare fixă ​​mai mică de 1 dintr-un infinitesimal, altul decât zero.
  • Unii studenți consideră că valoarea unei serii convergente este cel mult o aproximare și, prin urmare .

Aceste idei sunt greșite în contextul numerelor reale standard, deși unele pot fi valabile în alte sisteme de numerotare, fie că sunt inventate pentru utilitatea lor matematică generală sau ca o modalitate instructivă de a avea contraexemple prin care să înțeleagă mai bine 0.999 ....

Multe dintre aceste idei au fost colectate de profesorul David Tall, care a studiat caracteristicile predării și cunoașterii care duc la unele dintre neînțelegerile întâlnite la elevii săi. Intervievându-i pe elevii săi pentru a înțelege de ce majoritatea dintre ei respingeau inițial egalitatea, el a constatat că „studenții au continuat să concepă 0,999 ... ca o secvență de numere care se apropie din ce în ce mai mult de 1 și nu ca o valoare fixă, deoarece„ nu a explicat câte cifre există 'sau' este cel mai apropiat număr zecimal mai mic de 1 '". [5]

Dintre dovezile elementare, înmulțirea cu 0,333 ... = 13 cu 3 este aparent cea mai bună pentru a convinge elevii reticenți că 0,999 ... = 1. Cu toate acestea, când se confruntă cu conflictul lor dintre certitudinea primei ecuații și incertitudinea în al doilea rând, unii studenți încep să nu mai creadă în corectitudinea primului sau pur și simplu să devină frustrați. [6] Mai mult, metodele de verificare mai sofisticate nu mai sunt eficiente: studenții perfect capabili să aplice definiții coerente pot cădea în imagini intuitive atunci când sunt surprinși de un rezultat al matematicii avansate, inclusiv 0,999 ... De exemplu, un student la analiza matematică a reușit să demonstreze că 0,333 ... = 13 folosind o definiție a limitei superioare , dar a insistat că 0,999 ... <1 pe baza înțelegerii sale recente a diviziunilor lungi. [7] Alții au reușit să demonstreze că 13 = 0,333 ..., dar, în comparație cu dovada fracționată , insistă că logica înlocuiește calculele matematice.

Matematicianul Josef Mazur spune povestea unui genial student la calcul care „a sfidat aproape tot ce am spus în clasă, dar nu s-a îndoit niciodată de calculatorul său” și care a ajuns să creadă că sunt necesare nouă cifre pentru a face matematică. Inclusiv calculul rădăcinii pătrate din 23. Elevul s-a simțit inconfortabil cu un mic argument că 9.99 ... = 10, numindu-l „proces sălbatic imaginar cu creștere infinită”. [8]

Ca parte a „ Teorii APOS ” a lui Ed Dubinsky despre predarea matematică, Dubinsky și colaboratorii săi (2005) au propus că percepția lui 0.999 ... ca un șir nedeterminat, dar finit, cu o distanță infinit de mică de la 1, dezvăluie studenților unde „nu [o procesul de înțelegere completă a infinitelor zecimale este încă construit. " Ceilalți studenți care au dezvoltat un proces complet de înțelegere a numărului 0.999 ... pot fi incapabili să „încapsuleze” acel proces într-o „concepție a obiectului”, cum ar fi concepția aceluiași, poate avea valoarea 1, și astfel văd procesul 0.999 .. incompatibil cu valoarea 1. Dubinsky și colab. au legat, de asemenea, această capacitate de încapsulare de a vedea 13 ca un număr ca oricare altul și de a-l trata cu un set de numere naturale în ansamblu. [9]

Demonstrații

Algebră

Fracții

Un motiv pentru care infinitele zecimale sunt o extensie necesară a celor finite este reprezentarea fracțiilor. Folosind diviziunea, o fracție simplă de numere întregi precum 13 devine un număr periodic, 0,333 ..., în care cifrele se repetă la infinit. Acest număr zecimal duce la o dovadă rapidă de 0,999 ... = 1. Înmulțirea de 3 ori 3 dă 9 pe fiecare cifră, deci 3 × 0,333 ... este egal cu 0,999 ... Și 3 × 13 este egal cu 1, deci 0,999 ... = 1. [10]

O altă formă a acestei dovezi înmulțește 19 = 0,111 ... cu 9.

O versiune și mai simplă a aceleiași dovezi se bazează pe următoarele ecuații:

Deoarece ambele fracții sunt valabile, pentru proprietatea tranzitivă 0,999 ... trebuie să fie egală cu 1. În mod similar 33 = 1 și 33 = 0,999 ... Deci 0,999 ... trebuie să fie egal cu 1.

Manipularea figurilor

Un alt tip de dovadă se potrivește mai ușor cu alte zecimale periodice. Când un număr în notație zecimală este înmulțit cu 10 cifrele nu se schimbă, dar separatorul zecimal este mutat cu o poziție spre dreapta. Deci 10 × 0,999 ... este egal cu 9,999 ..., care este mai mare decât 9 decât numărul inițial.

Pentru a vedea acest lucru, considerați că scăderea lui 0,999 ... de la 9,999 ... poate continua cifră cu cifră; în fiecare cifră după separatorul zecimal rezultatul este 9 - 9, adică 0. Dar zerourile periodice nu schimbă un număr, deci diferența este exact 9. Pasul final folosește algebra. Să se numească numărul zecimal în cauză, 0,999…, c . Apoi 10 c - c = 9. Acest lucru este același cu a spune 9 c = 9. Împărțirea ambelor părți la 9 completează proba: c = 1. [10] Scris ca o succesiune de ecuații:

Valabilitatea manipulării figurilor din cele două dovezi de mai sus nu trebuie luată prin credință sau prin axiomă; rezultă din relația fundamentală dintre zecimale și numerele pe care le reprezintă. Cu siguranță această relație (care poate fi dezvoltată în mai multe moduri echivalente) stabilește deja că zecimalele 0,999 ... și 1,000 ... ambele reprezintă același număr.

De asemenea, putem oferi o dovadă absurdă în acest sens:

Analiză reală

Întrucât întrebarea din 0.999 ... nu se referă la dezvoltarea formală a matematicii, ea poate fi amânată până când cineva dovedește teoremele clasice ale analizei reale . O cerință este caracterizarea numerelor reale care pot fi scrise în notație zecimală, care constau dintr-un semn (opțional), o secvență finită a oricărui număr de cifre care formează partea întreagă, un separator zecimal și o secvență de cifre care formează partea fracțională. În scopul de a discuta 0.999 ..., partea întreagă poate fi rezumată ca b 0 astfel încât să aibă o expansiune zecimală cu forma:

Este vital ca partea fracțională, spre deosebire de partea întreagă, să nu se limiteze la un număr finit de cifre. Aceasta este onotație pozițională , deci, de exemplu, 5 din 500 contribuie de zece ori mai mult decât 5 din 50 și 5 din 0,05 contribuie cu o zecime din 5 din 0,5.

Serii și secvențe infinite

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: sistemul numeric zecimal .

Poate că cea mai obișnuită dezvoltare a seturilor zecimale este de a le defini ca sume de serii infinite . În general:

Pentru 0.999 ... putem aplica teorema convergenței mai puternică pe serii geometrice : [11]

De sine asa de

Din moment ce 0.999 ... este o sumă astfel încât să aibă un raport comun de , teorema are nevoie de puțină muncă pentru a demonstra problema:

Această demonstrație (care este de fapt egală cu 9,999 10 ...) apare în 1770 în cartea Elements of Algebra (Elemente de algebră) a lui Euler . [12]

Limite: gama de unități, inclusiv secvența zecimală de bază-4 care converge la una (.3, .33, .333, ...).

Suma unei serii geometrice este ea însăși un rezultat mai vechi decât Euler. Un derivat tipic al secolului al XVIII-lea a folosit un termen de manipulare completat similar cu dovada algebrică dată mai sus și în 1811 cartea An Introduction to Algebra Bonnycastle (An Introduction to Algebra) folosește un argument similar pentru serii geometrice pentru a justifica aceeași manevră la 0.999 ... [13] O reacție din secolul al XIX-lea împotriva unor astfel de metode de însumare liberală a dus la definiția care domină și astăzi: suma unei serii este definită ca limita succesiunii sumelor sale parțiale. O dovadă corespunzătoare a teoremei calculează în mod explicit acea secvență; poate fi găsit în orice introducere bazată pe dovezi la calcul sau analiză. [14]

O secvență ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) are ca limită x dacă distanța | x - x n | devine arbitrar mic pe măsură ce n crește. Enunțul 0.999 ... = 1 poate fi interpretat și dovedit ca o limită:

[15]

Ultimul pas - acel lim 110 n = 0 - este adesea justificat de axioma că numerele reale au proprietatea arhimedeană . Acest mod de gândire către 0.999 ... bazat pe limite este adesea exprimat în termeni mai evocatori decât precisi. De exemplu, cartea universității aritmetice din 1846 (The University Arithmetic) explică: „0,999 +, continuat la infinit = 1, deoarece fiecare adăugare a unui 9 aduce valoarea mai aproape de 1”; cartea din 1895 pentru școli Aritmetică (Aritmetică pentru școli) spune: „... când se ia un număr mare de 9, diferența dintre 1 și 0,99999 ... devine de neconceput mică”. [16] Astfel de euristici sunt deseori interpretate de studenți ca implicând faptul că 0,999 ... este mai mic decât 1.

Intervalele imbricate și extremele superioare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Interval (matematică) .
Intervalele imbricate: baza 3, 1 = 1.000 ... = 0.222 ...

Definiția seriei de mai sus este un mod simplu de a defini numărul real exprimat printr-o periodicitate zecimală. O abordare complementară este adaptată procesului invers: pentru un număr real dat definim / definim expansiunile zecimale care îi dau numele.

Dacă se știe că un număr real x este inclus în intervalul închis [0, 10] (este mai mare sau egal cu 0 și mai mic sau egal cu 10), ne putem imagina împărțind acel interval în 10 părți care se suprapun doar în limitele lor: [0, 1], [1, 2], [2, 3] până la [9, 10]. Numărul x trebuie să aparțină unuia dintre ele; dacă aparține lui [2, 3] cifra „2” este înregistrată și intervalul este împărțit în [2, 2,1], [2,1, 2,2]…, [2,8, 2,9] , [2,9, 3]. Continuând acest proces, obținem o succesiune infinită de intervale imbricate , clasificate printr-o succesiune infinită de cifre b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , ... și putem scrie:

x = b 0 , b 1 b 2 b 3 ...

În acest formalism, faptul că 1 = 1.000 ... și 1 = 0.999 ... reflectă faptul că 1 se află atât în ​​[0, 1], cât și în [1, 2], permițând astfel alegerea ambelor subintervaluri pentru a-și găsi cifrele. Pentru a ne asigura că această notație nu abuzează de semnul "=", avem nevoie de o modalitate de reconstituire a unui număr real unic pentru fiecare zecimală. Acest lucru se poate face dincolo de granițe, dar alte interpretări insistă asupra argumentului de ordonare. [17]

O alegere directă este teorema intervalului imbricat , care garantează, având în vedere o succesiune de intervale închise imbricate ale căror lungimi devin în mod arbitrar mici, intervalele conțin exact un număr real la intersecția lor. Deci, b 0 , b 1 b 2 b 3 ... este definit ca fiind singurul număr conținut în toate intervalele [ b 0 , b 0 + 1], [ b 0 . b 1 , b 0 . b 1 + 0,1] și așa mai departe. 0.999 ... este atunci singurul număr real care se află în toate intervalele [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1] și [0.99 ... 9, 1] pentru fiecare șir finit de 9. Deoarece 1 este un element al fiecăruia dintre aceste intervale, 0,999 ... = 1. [18]

Teorema intervalului imbricat se găsește de obicei într-o trăsătură mai fundamentală a numerelor reale: existența unei limite superioare . Pentru a exploata aceste obiecte în mod direct, am putea defini b 0 , b 1 b 2 b 3 ... ca fiind limita superioară a seriei de aproximări { b 0 , b 0 . b 1 , b 0 . b 1 b 2 , ...}. [19] Se poate arăta apoi că această definiție (sau definiția intervalelor imbricate) este în concordanță cu procedura de subdiviziune, implicând din nou 0,999 ... = 1. Tom Apostol concluzionează:

Faptul că un număr real ar putea avea două reprezentări zecimale diferite este pur și simplu o reflectare a faptului că două grupuri diferite de numere reale pot avea aceeași margine superioară.

Numere reale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Construcția numerelor reale .

Unele abordări definesc în mod explicit numerele reale pentru a fi cu siguranță structuri construite pe numere raționale , folosind teoria mulțimilor . Numerele naturale - 0, 1, 2, 3 și așa mai departe - încep cu 0 și continuă să crească, astfel încât fiecare număr să aibă un succesor. Putem extinde numerele naturale cu negativele lor pentru a obține toate numerele întregi și pentru a extinde în continuare relațiile, dând numere raționale . Aceste sisteme numerice sunt însoțite de aritmetica adunării, scăderii, multiplicării și divizării. Mai subtil, acestea includ sortarea , astfel încât să poată compara un număr cu altul și să fie mai mici, mai mari sau egale.

Pasul de la numere raționale la numere reale este o extensie suplimentară. Există cel puțin două moduri celebre de a realiza acest lucru, ambele publicate în 1872: secțiunile Dedekind și Succesiunile Cauchy . Dovezi că 0,999 ... = 1 folosind direct aceste construcții nu se găsesc în manualele de analiză reală, unde tendința modernă din ultimele decenii a fost de a utiliza analiza axiomatică. Chiar și atunci când este oferită o construcție, aceasta este de obicei aplicată pentru a demonstra axiomele numerelor reale, care apoi susțin dovezile de mai sus. Cu toate acestea, mai mulți autori își exprimă ideea că începutul cu o construcție este mai adecvat din punct de vedere logic, iar dovezile rezultate sunt mai independente. [20]

Secțiuni din Dedekind

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: secțiunea Dedekind .

În abordarea lui Dedekind cu secțiuni , fiecare număr real x este definit ca setul infinit al tuturor numerelor raționale mai mici decât x . [21] În special, numărul real 1 este ansamblul tuturor numerelor raționale care sunt mai mici de 1. [22] Fiecare reprezentare zecimală pozitivă determină cu ușurință o secțiune din Dedekind: ansamblul numerelor raționale mai mici decât o parte a reprezentării. Prin urmare, numărul real 0,999 ... este mulțimea numerelor raționale r astfel încât r <0 sau r <0,9 sau r <0,99 sau r mai mic decât un alt număr al formei . [23] Fiecare element de 0,999 ... este mai mic de 1, deci este un element al numărului real 1. În schimb, un element al unuia este un număr rațional , Ceea ce implică . Deoarece 0.999 ... și 1 conțin aceleași numere raționale, acestea sunt același set, deci: 0.999 ... = 1.

Definiția numerelor reale ca secțiuni Dedekind a fost publicată de Richard Dedekind în 1872 . [24] Abordarea de mai sus privind atribuirea unui număr real fiecărei reprezentări zecimale este cauzată de un articol descriptiv intitulat „0.999 ... este egal cu 1?” („Este 0.999… = 1?”) De Fred Richman în revista Mathematics , care se adresează profesorilor de matematică colegiali, în special nivelului junior / senior și studenților acestora. [25] Richman observă că luarea secțiunilor Dedekind în orice subset dens de numere raționale duce la aceleași rezultate; în special el folosește fracții zecimale , pentru care dovada este mai imediată: „Deci vedem că în definiția tradițională a numerelor reale, ecuația 0.9 * = 1 este construită de la început”. [26] O altă modificare a procedurii conduce la o structură diferită pe care Richman este mai interesată să o descrie; vezi mai jos Sisteme numerice alternative .

Secvențe cauchy

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: succesiunea Cauchy .

O altă abordare a construirii numerelor reale folosește ordonarea raționalelor mai puțin direct. În primul rând, distanța dintre x și y este definită ca valoarea absolută | x - y |, unde valoarea absolută | z | este definit ca maximul lui z și - z , deci niciodată negativ. Atunci realele sunt definite ca secvențe de raționale care, pe baza acestei distanțe, au proprietățile secvenței Cauchy . Aceasta este, în secvența ( x 0 , x 1 , x 2 , ...), o mapare de la numerele naturale la cele raționale; pentru fiecare rațional pozitiv δ există un N astfel încât | x m - x n | <δ pentru fiecare m , n > N. (Distanța dintre termeni devine mai mică decât orice rațional pozitiv). [27]

Dacă ( x n ) și ( y n ) sunt două secvențe Cauchy, atunci ele pot fi definite egale ca numere reale dacă secvența ( x n - y n ) are o limită de 0. Trunchierea numărului zecimal b 0 , b 1 b 2 b 3 ... generează o succesiune de raționale Cauchy; aceasta este luată pentru a defini valoarea reală a numărului. [28] Prin urmare, în acest formalism sarcina este de a arăta că succesiunea numerelor raționale

are o limită de 0. Având în vedere al n-lea termen al secvenței, pentru n = 0,1,2, ... trebuie deci să dovedim că

Această limită este evidentă; [29] o posibilă dovadă este că pentru ε = a / b > 0 putem lua N = b în definiția limitei unei secvențe . Deci mai avem 0.999 ... = 1.

La definizione dei numeri reali come successioni di Cauchy fu pubblicata separatamente da Eduard Heine e Georg Cantor , entrambi nel 1872. [24] L'approccio sopra descritto per le espansioni decimali, assieme alla dimostrazione che 0,999… = 1, segue da vicino il lavoro del 1970 di Griffiths & Hilton, A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation ( Un testo completo di matematica classica: Un'interpretazione contemporanea ). Il libro è scritto specificamente per offrire un diverso modo di guardare, in chiave contemporanea, a concetti familiari. [30]

Generalizzazioni

Le dimostrazioni dell'uguaglianza 0,999… = 1 si possono generalizzare immediatamente in due modi. Primo, ogni numero diverso da zero con notazione decimale finita (equivalente agli infiniti zeri periodici) ha una controparte con 9 periodici. Per esempio 0,24999… eguaglia 0,25, esattamente come nel caso particolare considerato. Questi numeri sono esattamente le frazioni decimali, e sono fitti. [31]

Secondo, un teorema paragonabile si applica su ogni radice o base. Per esempio in base 2 (il Sistema numerico binario ) 0,111… è uguale a 1, mentre in base 3 ( sistema numerico ternario ) 0,222… è uguale a 1. I libri di testo di analisi reale solitamente saltano l'esempio di 0,999… e presentano una o entrambe queste generalizzazioni dall'inizio. [32]

Esistono rappresentazioni alternative di 1 anche con basi non intere. Per esempio nella base aurea , le due rappresentazioni standard sono 1,000… e 0,101010… e vi sono infinite rappresentazioni che includono degli 1 adiacenti. Generalmente, per quasi tutti i q tra 1 e 2 c'è una quantità non numerabile di rappresentazioni di 1 in base q . D'altra parte vi è un insieme non numerabile di q (inclusi tutti i numeri naturali più grandi di 1) per i quali vi è soltanto una rappresentazione di 1 in base- q , oltre alla triviale 1,000…. Questo risultato fu ottenuto da Paul Erdős , Miklos Horváth e István Joó attorno al 1990. Nel 1998 Vilmos Komornik e Paola Loreti determinarono la più piccola di queste basi, la costante di Komornik-Loreti q = 1,787231650…. In questa base 1 = 0,11010011001011010010110011010011…; le cifre sono date dalla successione di Thue-Morse che non ha ripetizioni. [33]

Una generalizzazione più estesa viene fatta con i sistemi numerici posizionali più generici . Anch'essi hanno rappresentazioni multiple e in un certo senso le difficoltà sono persino peggiori. Per esempio: [34]

  • Nel sistema ternario bilanciato ,
  • Nel sistema fattoradico 1 = 1,000… = 0,1234….

Marko Petkovšek ha dimostrato che tali ambiguità sono conseguenze necessarie dell'uso di un sistema posizionale: per un qualsiasi sistema simile che definisce tutti i numeri reali, il set di reali con rappresentazioni multiple è sempre denso. Egli chiama la dimostrazione "un esercizio istruttivo nella topologia degli insiemi di punti elementare"; richiede il vedere gli insiemi di valori posizionali come spazi di Stone e notare che le loro rappresentazioni reali sono date da funzioni continue . [35]

Applicazioni

Un'applicazione di 0,999… come rappresentazione di 1 avviene nella teoria dei numeri . Nel 1802 H. Goodwin pubblicò un'osservazione sull'apparizione di serie di numeri 9 nelle rappresentazioni decimali ripetitive delle frazioni i cui denominatori sono numeri primi certi. Esempi includono:

  • 17 = 0,142857142857… e 142 + 857 = 999.
  • 173 = 0,0136986301369863… e 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy dimostrò un risultato generale su tali frazioni, ora chiamato teorema di Midy , nel 1836. La pubblicazione era oscura e non è chiaro se la sua dimostrazione coinvolgesse direttamente 0,999…, ma almeno una dimostrazione moderna di WG Leavitt lo fa. Se si riesce a dimostrare che un decimale della forma 0, b 1 b 2 b 3 … è un intero positivo, allora deve essere 0,999… che diviene allora la sorgente dei 9 nel teorema. [36] Ricerche in questa direzione possono motivare concetti quali il Massimo comun divisore , l' aritmetica modulare , il numero di Fermat , l' ordine degli elementi di un gruppo e la reciprocità quadratica . [37]

Posizioni di 14 , 23 e 1 nell'insieme di Cantor

Tornando all'analisi reale, l'analogo in base-3 0,222… = 1 gioca un ruolo chiave nella caratterizzazione di uno dei più semplici frattali , l' insieme di Cantor :

La cifra n -esima della rappresentazione riflette la posizione del punto nello stadio n -esimo della costruzione. Per esempio il punto ²⁄ 3 è dato dalla usuale rappresentazione di 0,2 o 0,2000…, poiché giace alla destra della prima cancellazione e alla sinistra di ogni altra cancellazione successiva. Il punto 13 è rappresentato non come 0,1 ma come 0,0222…, poiché giace alla sinistra della prima cancellazione e alla destra di ogni cancellazione successiva. [38]

I nove periodici ritornano in un altro dei lavori di Georg Cantor. Devono essere presi in considerazione per costruire una dimostrazione valida, applicando il suo argomento diagonale del 1891 alle rappresentazioni decimali, della non numerabilità dell'intervallo unitario. Tale dimostrazione deve essere in grado di dichiarare certe coppie di numeri reali diverse in base alle loro rappresentazioni decimali, bisogna quindi evitare coppie come 0,2 e 0,1999…. Un semplice metodo rappresenta tutti i numeri con rappresentazioni non terminanti; il metodo opposto esclude i nove periodici. [39] Una variante che probabilmente si avvicina di più all'argomentazione originale di Cantor usa la base 2 e, convertendo rappresentazioni in base-3 nella base-2, si può anche dimostrare la non numerabilità dell'insieme di Cantor. [40]

Sistemi numerici alternativi

Nonostante i numeri reali formino un sistema numerico estremamente utile, la decisione di interpretare la frase "0,999…" come qualcosa che descrive un numero reale è in ultima forma una convenzione e Timothy Gowers lamenta in Matematica: una breve introduzione ( Mathematics: A Very Short Introduction ) che l'identità risultante 0,999… = 1 sia anch'essa una convenzione:

Tuttavia essa non è assolutamente una convenzione arbitraria, poiché nel non adottarla si viene forzati oa inventare nuovi strani oggetti o ad abbandonare alcune delle regole familiari dell'aritmetica. [41]

Si possono definire altri sistemi numerici usando diverse regole o nuovi oggetti; in alcuni di tali sistemi numerici le dimostrazioni sopracitate dovrebbero essere reinterpretate e si potrebbe scoprire che, in un dato sistema numerico, 0,999… e 1 non siano identici. Tuttavia molti sistemi numerici sono estensioni – piuttosto che alternative indipendenti – del sistema numerico reale, quindi 0,999… = 1 continua a sussistere. Anche in simili sistemi numerici, però, è utile esaminare sistemi numerici alternativi, non solo per come si comporta 0,999… (se, di fatto, un numero espresso come "0,999…" sia significativo e non ambiguo), ma anche il comportamento del relativo fenomeno. Se tale fenomeno differisce da quelli nel sistema numerico reale, allora almeno una delle assunzioni costruite nel sistema deve fallire.

Infinitesimi

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Infinitesimo .

Alcune dimostrazioni che 0,999… = 1 si affidano alla proprietà archimedea dei numeri reali standard: non ci sono infinitesimi diversi da zero. Ci sono strutture algebriche ordinate matematicamente coerenti, incluse le varie alternative ai reali standard, che non sono Archimedee. Il significato di 0,999… dipende da quale struttura viene usata. Per esempio i numeri duali includono un nuovo elemento infinitesimo ε, analogo all'unità immaginaria i nei numeri complessi eccetto che ε² = 0. La struttura risultante è utile nella differenziazione automatica . I numeri duali possono avere un ordine lessicografico , nel qual caso i multipli di ε diventano elementi non archimedei. [42] Si noti tuttavia che, come estensione dei numeri reali, i numeri duali possiedono ancora l'eguaglianza 0,999… = 1. Relativamente a ciò, mentre ε esiste nei numeri duali, allora esiste anche ε/2 e quindi ε non è "il più piccolo numero duale positivo" e, di fatto come nei reali, non esiste un tale numero.

Un altro modo per costruire alternative ai reali standard è usare la teoria del topos e logiche alternative piuttosto che la teoria degli insiemi e della logica classica (che è un caso particolare). Per esempio l' analisi infinitesima ha infinitesimi senza reciproci . [43]

L' analisi non standard è ben conosciuta per includere un sistema numerico con un vettore pieno di infinitesimi (e di loro inversi), che fornisce un approccio differente e forse più intuitivo al calcolo . [44] AH Lightstone fornì uno sviluppo delle rappresentazioni decimali non standard nel 1972 nel quale ogni numero reale esteso in (0, 1) ha una rappresentazione decimale estesa unica: una sequenza di cifre 0, ddd…;…ddd… numerata dai numeri reali estesi. In questo formalismo ci sono due rappresentazioni naturali di 0,333…, nessuna delle quali differisce da 13 di un infinitesimo:

0.333…;…000… non esiste, mentre
0.333…;…333… = 13 esattamente. [45]

La teoria del gioco combinatorio fornisce reali alternative, come l'infinito Rosso-Blu di Hackenbush , tanto per fare uno specifico esempio. Nel 1974 , Elwyn Berlekamp ha descritto una corrispondenza fra le stringhe di Hackenbush e l'espansione binaria dei numeri reali, motivata dall'idea della compressione dei dati . Per esempio, il valore della stringa di Hackenbush LRRLRLRL… è 0,010101 2 … = 13 . Comunque, il valore di LRLLL… (corrispondente a 0.111… 2 ) è infinitamente più piccolo di 1. La differenza fra i due è che il numero surreale 1ω , dove ω è il primo numero ordinale ; il gioco relativo è LRRRR… o 0.000… 2 . [46]

Nella cultura di massa

Con l'ascesa di Internet i dibattiti su 0,999… sono usciti dalle classi e sono comuni su newsgroup e forum , inclusi molti che nominalmente hanno ben poco a che fare con la matematica. Nel newsgroup sci.math la discussione su 0,999… è uno sport popolare ed è una delle domande che trovano risposta nelle sue FAQ . [47] La FAQ spiega brevemente la dimostrazione 13 , la moltiplicazione per 10, i limiti e allude anche alle successioni di Cauchy.

Un'edizione del 2003 del The Straight Dope (una colonna opinionistica pubblicata su oltre trenta giornali americani) discute su 0,999… attraverso 13 e limiti, parlando di idee sbagliate:

Il primate resiste ancora in noi dicendo: 0,999~ non rappresenta davvero un numero allora, ma un processo . Per trovare un numero dobbiamo fermare il processo ea tal punto il concetto 0,999~ = 1 cade a pezzi.
Fesserie. [48]

Il The Straight Dope cita una discussione sulla sua bacheca che è venuta da una non meglio identificata "altra bacheca … più che altro sui videogiochi". Nello stesso spirito, la questione di 0,999… è diventata un argomento talmente popolare nei primi sette anni del forum Battle.net della Blizzard Entertainment che la compagnia rilasciò un "comunicato" il 1º aprile 2004:

Siamo molto contenti di chiudere il libro su questo argomento una volta per tutte. Abbiamo assistito al patema e alla preoccupazione riguardo al fatto che 0,999~ sia o no uguale a 1; e siamo fieri che la seguente dimostrazione risolve finalmente e definitivamente il problema per i nostri clienti. [49]

Vengono poi offerte due dimostrazioni, basate sui limiti e sulla moltiplicazione per 10.

Note

  1. ^ Conflitti fra numeri reali e numeri decimali
  2. ^ Bunch, p. 119; Tall e Schwarzenberger, p. 6. L'ultimo suggerimento è dovuto a Burrell (p. 28): «Forse il più rassicurante di tutti i numeri è 1,… Così è particolarmente sconvolgente quando qualcuno tenta di dimostrare che 0,9~ è uguale a 1.»
  3. ^ Tall e Schwarzenberger, pp. 6–7; Tall, 2000, p. 221.
  4. ^ Tall e Schwarzenberger, p. 6; Tall, 2000, p. 221.
  5. ^ Tall, 2000, p. 221.
  6. ^ Tall, 1976, pp. 10–14.
  7. ^ Pinto e Tall, p. 5, Edwards e Ward, pp. 416–417.
  8. ^ Mazur, pp. 137–141.
  9. ^ Dubinsky et al. , pp. 261–262
  10. ^ a b cf. con la versione binaria dello stesso argomento in Silvanus P. Thompson , Calculus made easy , St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0 .
  11. ^ Rudin pag. 61, teorema 3.26; J. Stewart pag. 706.
  12. ^ Euler pag. 170.
  13. ^ Grattan-Guinness pag. 69; Bonnycastle pag. 177.
  14. ^ Per esempio, J. Stewart, p. 706, Rudin, p. 61, Protter e Morrey, p. 213, Pugh, p. 180, JB Conway, p. 31.
  15. ^ Il limite segue, ad esempio, da Rudin, p. 57, Teorema a3.20e. Per un approccio più diretto, vedere anche Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
  16. ^ Davies, p. 175; Smith and Harrington, p. 115.
  17. ^ Beals, p. 22; I. Stewart, p. 34.
  18. ^ Bartle and Sherbert, pp. 60–62; Pedrick, p. 29; Sohrab, p. 46.
  19. ^ Apostol, pp. 9, 11–12; Beals, p. 22; Rosenlicht, p. 27.
  20. ^ La storica sintesi è riportata da Griffiths e Hilton (p. xiv) nel 1970 e ancora da Pugh (p. 10) nel 2001; ambedue attualmente preferiscono l'enunciato di Dedekind degli assiomi. Per l'uso degli enunciati nei libri di testo, si veda Pugh, p. 17 o Rudin, p. 17. Per i punti di vista sulla logica, Pugh, p. 10, Rudin, p. ix, o Munkres, p. 30
  21. ^ Enderton (pag. 113) qualifica questa descrizione: «L'idea dietro le sezioni di Dedekind è che un numero reale x può essere definito dando un insieme infinito di razionali, in particolare tutti i razionali minori di x . Definiremo in effetti x come l'insieme dei razionali minori di x . Per evitare la circolarità nella definizione, bisogna essere in grado di caratterizzare gli insiemi dei razionali ottenibile in questo modo…»
  22. ^ Rudin, pp. 17-20, Richman, p. 399, o Enderton, p. 119. Per essere precisi, Rudin, Richman ed Enderton chiamano questa sezione 1*, 1 e 1 R rispettivamente; tutti e tre la identificano con il numero reale 1 tradizionale. Da notare che ciò che Rudin ed Enderton chiamano sezione di Dedekind, Richman la chiama una "sezione di Dedekind non principale".
  23. ^ Richman pag. 399.
  24. ^ a b JJ O'Connor and EF Robertson, History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert , su MacTutor History of Mathematics , 1º ottobre 2005. URL consultato il 30 agosto 2006 (archiviato dall' url originale il 29 settembre 2007) .
  25. ^ Mathematics Magazine:Guidelines for Authors , su maa.org , Mathematical Association of America . URL consultato il 23 agosto 2006 .
  26. ^ Richman, pp. 398–399.
  27. ^ Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences", p. 386.
  28. ^ Griffiths & Hilton, pp. 388, 393
  29. ^ Griffiths & Hilton pagg. 395
  30. ^ Griffiths & Hilton, pp. viii, 395.
  31. ^ Petkovšek, p. 408.
  32. ^ Protter and Morrey, p. 503; Bartle and Sherbert, p. 61.
  33. ^ Komornik e Loreti, p. 636.
  34. ^ Kempner, p. 611; Petkovšek, p. 409.
  35. ^ Petkovšek, pp. 410–411.
  36. ^ Leavitt 1984 pag. 301.
  37. ^ Lewittes, pp. 1–3; Leavitt 1967, pp. 669, 673; Shrader-Frechette, pp. 96–98.
  38. ^ Pugh, p. 97; Alligood, Sauer e Yorke, pp. 150–152. Protter e Morrey, p. 507 e Pedrick p. 29 assegnano questa descrizione come esercizio.
  39. ^ Maor, p. 60 e Mankiewicz, p. 151 rividero il metodo precedente; Mankiewicz lo attribuì a Cantor, ma la primaria origine è incerta. Munkres (p. 50) accennò al metodo più recente.
  40. ^ Rudin, p. 50; Pugh, p. 98.
  41. ^ Gowers, p. 60.
  42. ^ Berz, pp. 439–442
  43. ^ John L. Bell, An Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis ( PDF ), 2003. URL consultato il 29 giugno 2006 .
  44. ^ Per una piena trattazione di numeri non standard vedere per esempio Robinson's Non-standard Analysis .
  45. ^ Lightstone pagg. 245–247. Non esplora la possibilità dei 9 periodici nella parte standard della rappresentazione.
  46. ^ Berlekamp, Conway, e Guy (pp. 79–80, 307–311) discutono 1 e 13 e touch on 1ω . Il gioco per 0,111… 2 fu seguito direttamente dalla Regola di Berlekamp, ed è discusso da AN Walker, Hackenstrings e the 0,999… 1 FAQ , su maths.nott.ac.uk , 1999. URL consultato il 29 giugno 2006 (archiviato dall' url originale il 16 giugno 2006) .
  47. ^ Come osservato da Richman (pag. 396). Hans de Vreught, sci.math FAQ: Why is 0.9999… = 1? , su faqs.org , 1994. URL consultato il 29 giugno 2006 .
  48. ^ Cecil Adams , Una questione infinita: perché non fa .999~ = 1? , in The Straight Dope , Chicago Reader , 11 luglio 2003. URL consultato il 6 settembre 2006 .
  49. ^ Blizzard Entertainment Announces .999~ (Repeating) = 1 , in Press Release , Blizzard Entertainment, 1º aprile 2004. URL consultato il 3 settembre 2006 (archiviato dall' url originale il 4 novembre 2009) .

Bibliografia

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica