1 - 3 + 9 - 27 + · · ·

În matematică , 1 - 3 + 9 - 27 + ... este o serie infinită ai cărei termeni sunt factorii succesivi ai a trei cu semne alternante . La fel ca o serie geometrică , este caracterizată printr-un prim termen, 1 și printr-o proporție comună, −3.

\sum _{i=0}^{\infty }(-3)^{i}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 3) ^ {i}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 3) ^ {i}}

Este posibil, cu un mic truc, să scrie seria ca diferența dintre alte două serii, separând puterile pare și impare:

1-3+9-27+\cdots =(1+9+\cdots )-(3+27+\cdots )

{\ displaystyle 1-3 + 9-27 + \ cdots = (1 + 9 + \ cdots) - (3 + 27 + \ cdots)}

{\ displaystyle 1-3 + 9-27 + \ cdots = (1 + 9 + \ cdots) - (3 + 27 + \ cdots)}

care corespunde

\sum _{i=0}^{\infty }(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i}-\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i+1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 3) ^ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 ^ {2i + 1}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 3) ^ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 ^ {2i + 1}}

.

Suma numărul 1

Să analizăm acum prima însumare: $\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 ^ {2i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 ^ {2i}}$ .

1) Pentru proprietățile puterilor putem scrie $3^{2i}=(3^{2})^{i}=9^{i}$ ${\ displaystyle 3 ^ {2i} = (3 ^ {2}) ^ {i} = 9 ^ {i}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {2i} = (3 ^ {2}) ^ {i} = 9 ^ {i}}$ făcând suma să devină $\sum _{i=0}^{\infty }9^{i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 9 ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 9 ^ {i}}$ ;

2) Punând un număr m ca punct final vom obține că: $\sum _{i=0}^{m}9^{i}={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m+1}-1)$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m} 9 ^ {i} = {\ frac {1} {8}} \ cdot (9 ^ {m + 1} -1)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m} 9 ^ {i} = {\ frac {1} {8}} \ cdot (9 ^ {m + 1} -1)}$

Suma numărul 2

Să analizăm acum a doua însumare: $\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i+1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 ^ {2i + 1}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 ^ {2i + 1}}$ .

1) Pentru proprietățile puterilor putem scrie $3^{2i+1}=3\cdot (3^{2})^{i}=3\cdot 9^{i}$ ${\ displaystyle 3 ^ {2i + 1} = 3 \ cdot (3 ^ {2}) ^ {i} = 3 \ cdot 9 ^ {i}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {2i + 1} = 3 \ cdot (3 ^ {2}) ^ {i} = 3 \ cdot 9 ^ {i}}$ făcând suma să devină $\sum _{i=0}^{\infty }3\cdot 9^{i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 \ cdot 9 ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 3 \ cdot 9 ^ {i}}$ , $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ îl poți scoate și obține $3\cdot \sum _{i=0}^{\infty }9^{i}$ ${\ displaystyle 3 \ cdot \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 9 ^ {i}}$ ${\ displaystyle 3 \ cdot \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} 9 ^ {i}}$ .

2) Punând un număr m ca punct final vom obține că: $3\cdot \sum _{i=0}^{m}9^{i}={\frac {3}{8}}\cdot (9^{m+1}-1)$ ${\ displaystyle 3 \ cdot \ sum _ {i = 0} ^ {m} 9 ^ {i} = {\ frac {3} {8}} \ cdot (9 ^ {m + 1} -1)}$ ${\ displaystyle 3 \ cdot \ sum _ {i = 0} ^ {m} 9 ^ {i} = {\ frac {3} {8}} \ cdot (9 ^ {m + 1} -1)}$ .

Suma parțială

Revenind la suma inițială putem discuta suma sa parțială.

Valoare impara

Cazul nr. 1: numărul este impar.

\sum _{i=0}^{1}(-3)^{i}=1-3=\sum _{i=0}^{0}3^{2i}-\sum _{i=0}^{0}3^{2i+1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {1} (- 3) ^ {i} = 1-3 = \ sum _ {i = 0} ^ {0} 3 ^ {2i} - \ sum _ { i = 0} ^ {0} 3 ^ {2i + 1}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {1} (- 3) ^ {i} = 1-3 = \ sum _ {i = 0} ^ {0} 3 ^ {2i} - \ sum _ { i = 0} ^ {0} 3 ^ {2i + 1}}

\sum _{i=0}^{3}(-3)^{i}=1-3+9-27=\sum _{i=0}^{1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{1}3^{2i+1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {3} (- 3) ^ {i} = 1-3 + 9-27 = \ sum _ {i = 0} ^ {1} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {1} 3 ^ {2i + 1}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {3} (- 3) ^ {i} = 1-3 + 9-27 = \ sum _ {i = 0} ^ {1} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {1} 3 ^ {2i + 1}}

\cdots

{\ displaystyle \ cdots}

\ cdots

\sum _{i=0}^{m}(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i+1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m} (- 3) ^ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ frac {m-1} {2}} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {\ frac {m-1} {2}} 3 ^ {2i + 1}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m} (- 3) ^ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ frac {m-1} {2}} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {\ frac {m-1} {2}} 3 ^ {2i + 1}}

Suma devine apoi: $\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i+1}={\frac {1}{8}}\cdot (3^{m+1}-1)-{\frac {3}{8}}\cdot (3^{m+1}-1)=-{\frac {1}{4}}\cdot (3^{m+1}-1)$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ frac {m-1} {2}} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {\ frac {m-1} {2} } 3 ^ {2i + 1} = {\ frac {1} {8}} \ cdot (3 ^ {m + 1} -1) - {\ frac {3} {8}} \ cdot (3 ^ {m +1} -1) = - {\ frac {1} {4}} \ cdot (3 ^ {m + 1} -1)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ frac {m-1} {2}} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {\ frac {m-1} {2} } 3 ^ {2i + 1} = {\ frac {1} {8}} \ cdot (3 ^ {m + 1} -1) - {\ frac {3} {8}} \ cdot (3 ^ {m +1} -1) = - {\ frac {1} {4}} \ cdot (3 ^ {m + 1} -1)}$

Mai exact, avem: $9^{{\frac {m-1}{2}}+1}=3^{m+1}$ ${\ displaystyle 9 ^ {{\ frac {m-1} {2}} + 1} = 3 ^ {m + 1}}$ ${\ displaystyle 9 ^ {{\ frac {m-1} {2}} + 1} = 3 ^ {m + 1}}$

Valoare egala

Cazul nr. 2: numărul este par.

\sum _{i=0}^{2}(-3)^{i}=1-3+9=\sum _{i=0}^{1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{0}3^{2i+1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {2} (- 3) ^ {i} = 1-3 + 9 = \ sum _ {i = 0} ^ {1} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {0} 3 ^ {2i + 1}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {2} (- 3) ^ {i} = 1-3 + 9 = \ sum _ {i = 0} ^ {1} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {0} 3 ^ {2i + 1}}

\sum _{i=0}^{4}(-3)^{i}=1-3+9-27+81=\sum _{i=0}^{3}3^{2i}-\sum _{i=0}^{2}3^{2i+1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {4} (- 3) ^ {i} = 1-3 + 9-27 + 81 = \ sum _ {i = 0} ^ {3} 3 ^ {2i } - \ sum _ {i = 0} ^ {2} 3 ^ {2i + 1}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {4} (- 3) ^ {i} = 1-3 + 9-27 + 81 = \ sum _ {i = 0} ^ {3} 3 ^ {2i } - \ sum _ {i = 0} ^ {2} 3 ^ {2i + 1}}

\cdots

{\ displaystyle \ cdots}

\ cdots

\sum _{i=0}^{m}(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{m-1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}3^{2i+1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m} (- 3) ^ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {m-2} 3 ^ {2i + 1}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m} (- 3) ^ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {m-2} 3 ^ {2i + 1}}

Suma devine apoi: $\sum _{i=0}^{m-1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}3^{2i+1}={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-1)-{\frac {3}{8}}\cdot (9^{m-1}-1)={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-3\cdot 9^{m-1}+2)$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {m-2} 3 ^ {2i + 1} = {\ frac {1 } {8}} \ cdot (9 ^ {m} -1) - {\ frac {3} {8}} \ cdot (9 ^ {m-1} -1) = {\ frac {1} {8} } \ cdot (9 ^ {m} -3 \ cdot 9 ^ {m-1} +2)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} 3 ^ {2i} - \ sum _ {i = 0} ^ {m-2} 3 ^ {2i + 1} = {\ frac {1 } {8}} \ cdot (9 ^ {m} -1) - {\ frac {3} {8}} \ cdot (9 ^ {m-1} -1) = {\ frac {1} {8} } \ cdot (9 ^ {m} -3 \ cdot 9 ^ {m-1} +2)}$ .

În general

Am obținut astfel formulele pentru a calcula suma în toate cazurile:

m ciudat = $-{\frac {1}{4}}\cdot (3^{m+1}-1)$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {4}} \ cdot (3 ^ {m + 1} -1)}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {4}} \ cdot (3 ^ {m + 1} -1)}$

m chiar = ${\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-3\cdot 9^{m-1}+2)$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {8}} \ cdot (9 ^ {m} -3 \ cdot 9 ^ {m-1} +2)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {8}} \ cdot (9 ^ {m} -3 \ cdot 9 ^ {m-1} +2)}$

Elemente conexe

1-2 + 3-4 ...

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică