257-gono

În geometrie , 257-gono este un poligon cu 257 laturi, la fel de multe unghiuri și vârfuri.

257-gono regulat

Un 257-gono se spune că este regulat dacă are toate unghiurile și toate laturile congruente.

Unghiuri caracteristice

Unghiul central:

{\frac {2\pi }{257}}={\frac {360^{\circ }}{257}}\simeq 1{,}4^{\circ }

{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {257}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {257}} \ simeq 1 {,} 4 ^ {\ circ}}

\ frac {2 \ pi} {257} = \ frac {360 ^ \ circ} {257} \ simeq 1 {,} 4 ^ \ circ

Colț intern:

\pi -{\frac {2\pi }{257}}=180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{257}}\simeq 178{,}6^{\circ }

{\ displaystyle \ pi - {\ frac {2 \ pi} {257}} = 180 ^ {\ circ} - {\ frac {360 ^ {\ circ}} {257}} \ simeq 178 {,} 6 ^ { \ circ}}

\ pi - \ frac {2 \ pi} {257} = 180 ^ \ circ - \ frac {360 ^ \ circ} {257} \ simeq 178 {,} 6 ^ \ circ

Side și perimetru

Latura, calculată în funcție de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cercului circumscris, este dat de:

l=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2\pi }{257}}\right)\simeq 0{,}024447583

{\ displaystyle l = 2 \ cdot r \ cdot \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {2 \ pi} {257}} \ right) \ simeq 0 {,} 024447583 }

l = 2 \ cdot r \ cdot \ sin \ left (\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {2 \ pi} {257} \ right) \ simeq 0 {,} 024447583

Perimetrul este:

P=257\cdot l\simeq r\cdot 6{,}28302883

{\ displaystyle P = 257 \ cdot l \ simeq r \ cdot 6 {,} 28302883}

P = 257 \ cdot l \ simeq r \ cdot 6 {,} 28302883

cu o diferență de aproximativ 24 ppm în raport cu circumferința razei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Zonă

A=257\cdot r^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{257}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{257}}\right)\simeq 3{,}1405756\cdot r^{2}

{\ displaystyle A = 257 \ cdot r ^ {2} \ cdot \ sin \ left ({\ frac {180 ^ {\ circ}} {257}} \ right) \ cdot \ cos \ left ({\ frac {180 ^ {\ circ}} {257}} \ right) \ simeq 3 {,} 1405756 \ cdot r ^ {2}}

A = 257 \ cdot r ^ 2 \ cdot \ sin \ left (\ frac {180 ^ \ circ} {257} \ right) \ cdot \ cos \ left (\ frac {180 ^ \ circ} {257} \ right) \ simeq 3 {,} 1405756 \ cdot r ^ 2

Informații istorice

Regularul de 257 gono este un poligon construibil cu riglă și busolă : în 1796 Carl Friedrich Gauss a demonstrat că construcția unui poligon regulat se poate face geometric doar dacă numărul său $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ de laturi este de tipul

N=2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}

{\ displaystyle N = 2 ^ {k} {p_ {1}} {p_ {2}} \ cdots {p_ {s}}}

N = 2 ^ k {p_1} {p_2} \ cdots {p_s}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este un număr întreg negativ și factorii $p_{1},p_{2},\ldots$ ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots}$ sunt primii Fermat distincti (în acest caz $k=0,s=1,p_{s}=257$ ${\ displaystyle k = 0, s = 1, p_ {s} = 257}$ ${\ displaystyle k = 0, s = 1, p_ {s} = 257}$ ).

Singurele prime Fermat cunoscute până în prezent sunt 3, 5, 17, 257 și 65537. În ceea ce privește construcția triunghiului (echilateral) și a pentagonului (regulat), soluția fusese găsită deja în lumea antică (vezi Elements of Euclid ). Gauss a arătat că căutarea oricăruia dintre parametrii caracteristici ai acestor poligoane regulate (unghiul central, lungimea laterală sau proiecția unui vârf pe una dintre axe) poate fi urmărită înapoi la rezolvarea unei serii de ecuații de gradul II; și aceasta este o sarcină care poate fi efectiv realizată folosind doar o margine și o busolă.

Gauss s-a limitat la demonstrarea acestei fezabilități, fără a indica totuși metode de construcție specifice. În 1832 Friedrich Julius Richelot a publicat un studiu de 194 de pagini în care a demonstrat construcția reală a 257-gono.

Constructie

Construcția geometrică a 257-gono obișnuit. Liniile de construcție sunt afișate în albastru; operații de bisectare în verde; în cele din urmă, în roșu, cercurile Carlyle, cu indicarea parametrilor lor geometrici (centru și rază sau diametru) și a rezultatelor intermediare.

Această secțiune pune în practică construcția descrisă de Duane W. DeTemple în articolul său „Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions”.

Pe scurt, procedura descoperită de Gauss și pusă în practică în diferite moduri de Richelot, DeTemple și alții, se bazează pe faptul că vârfurile 257-gon-ului regulat înscrise într-un cerc de rază unitară pot fi determinate prin rezolvarea ciclotomiei. ecuaţie

z^{257}=1,

{\ displaystyle z ^ {257} = 1,}

z ^ {257} = 1,

ale cărei rădăcini sunt date de expresie

r^{n}=e^{2\pi i{\frac {n}{257}}},

{\ displaystyle r ^ {n} = e ^ {2 \ pi i {\ frac {n} {257}}},}

r ^ n = e ^ {2 \ pi i \ frac {n} {257}},

pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ intre si $256$ ${\ displaystyle 256}$ ${\ displaystyle 256}$ . Deoarece suma tuturor rădăcinilor este egală cu, dacă scădem din total $r^{0}=1$ ${\ displaystyle r ^ {0} = 1}$ ${\ displaystyle r ^ {0} = 1}$ , suma rădăcinilor rămase este egală cu $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ .

Rădăcinile altele decât $r^{0}$ ${\ displaystyle r ^ {0}}$ $r ^ {0}$ acestea sunt separate în mod convenabil în două grupuri disjuncte de 128 rădăcini fiecare. Indicând cu $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ Și $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ suma rădăcinilor din primul și respectiv al doilea grup, este clar că $A_{0}+A_{1}=-1$ ${\ displaystyle A_ {0} + A_ {1} = - 1}$ ${\ displaystyle A_ {0} + A_ {1} = - 1}$ . Determinarea valorilor $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ Și $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ necesită o relație suplimentară, care poate fi găsită prin înmulțirea celor două seturi de rădăcini. Acum, tocmai datorită modului în care au fost aleși membrii fiecărui grup, îl avem înmulțind cu $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ Și $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ primești o sumă de $16384$ ${\ displaystyle 16384}$ ${\ displaystyle 16384}$ termeni, care pot fi grupați în $64$ ${\ displaystyle 64}$ ${\ displaystyle 64}$ serie completa de radacini intre $r^{1}$ ${\ displaystyle r ^ {1}}$ ${\ displaystyle r ^ {1}}$ Și $r^{256}$ ${\ displaystyle r ^ {256}}$ ${\ displaystyle r ^ {256}}$ ; după cum am văzut, fiecare dintre aceste serii de rădăcini are valoarea ca sumă $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ , prin urmare, produsul calculat se dovedește a fi valid $-64$ ${\ displaystyle -64}$ ${\ displaystyle -64}$ .

Suma cunoscută ( $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ ) și produs ( $-64$ ${\ displaystyle -64}$ ${\ displaystyle -64}$ ) de valori $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ Și $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ , valorile în sine pot fi găsite algebric (grație rezoluției unei ecuații de gradul doi) sau, ca în cazul în cauză, geometric printr-un cerc Carlyle .

Fiecare dintre cele două serii de 128 rădăcini este împărțită la rândul său în două serii de 64: veți avea $A_{0}=B_{0}+B_{2}$ ${\ displaystyle A_ {0} = B_ {0} + B_ {2}}$ ${\ displaystyle A_ {0} = B_ {0} + B_ {2}}$ Și $A_{1}=B_{1}+B_{3}$ ${\ displaystyle A_ {1} = B_ {1} + B_ {3}}$ ${\ displaystyle A_ {1} = B_ {1} + B_ {3}}$ . De asemenea, în acest caz, produsele acestor perechi pot fi calculate $B_{0}B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {0} B_ {2}}$ ${\ displaystyle B_ {0} B_ {2}}$ Și $B_{1}B_{3}$ ${\ displaystyle B_ {1} B_ {3}}$ ${\ displaystyle B_ {1} B_ {3}}$ din sume de 64 rădăcini: cu aceeași procedură descrisă mai sus, se obțin valorile numerice ale acestora $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ . Procedăm în același mod pentru a obține valorile sumei grupurilor de 32, 16, 8, 4 și 2 rădăcini fiecare.

Cu toate acestea, pentru construcția 257-gono nu este necesar să se găsească toate rădăcinile: este suficient să se găsească una dintre sumele a două rădăcini, de exemplu suma lui r ^{1 și} r ²⁵⁶ , care sunt simetrice cu respectul spre axa absciselor. Datorită formulei lui Euler se pare imediat că

$r^{1}+r^{256}=e^{2\pi i{\frac {1}{257}}}+e^{2\pi i{\frac {256}{257}}}=2\cos \left(2\pi {\frac {1}{257}}\right),$ ${\ displaystyle r ^ {1} + r ^ {256} = e ^ {2 \ pi i {\ frac {1} {257}}} + e ^ {2 \ pi i {\ frac {256} {257} }} = 2 \ cos \ left (2 \ pi {\ frac {1} {257}} \ right),}$ ${\ displaystyle r ^ {1} + r ^ {256} = e ^ {2 \ pi i {\ frac {1} {257}}} + e ^ {2 \ pi i {\ frac {256} {257} }} = 2 \ cos \ left (2 \ pi {\ frac {1} {257}} \ right),}$

sau, echivalent, jumătate din această sumă coincide cu abscisa lui $r^{1}$ ${\ displaystyle r ^ {1}}$ ${\ displaystyle r ^ {1}}$ . În consecință, odată cunoscută această sumă, toate vârfurile 257-gono pot fi ușor determinate.

Animația arată căutarea valorilor sumelor primelor 2 grupuri de 128 rădăcini ( $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ ), apoi din cele 4 grupuri de 64 ( $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ ), din 8 din 32 ( $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ ) și cele 16 grupuri de 16 rădăcini ( $D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ $D_n$ ). Pentru a găsi o singură pereche de rădăcini în acest moment nu este necesar să continuați cu căutarea tuturor celor 32 de grupuri de 8 rădăcini: doar 6 sunt suficiente, care oferă valorile ( $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ ) necesar pentru a găsi valoarea sumelor a două grupuri de 4 rădăcini ( $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ ) și în cele din urmă a două rădăcini duble ( $G_{n}$ ${\ displaystyle G_ {n}}$ $G_ {n}$ ). În animație, această din urmă operație dă de două ori cosinusul unghiurilor $2\pi /257$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 257}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 257}$ Și $16\cdot 2\pi /257$ ${\ displaystyle 16 \ cdot 2 \ pi / 257}$ ${\ displaystyle 16 \ cdot 2 \ pi / 257}$ ; a doua dintre cele două valori este utilizată pentru desenul 257-gono, deoarece este mult mai ușor de vizualizat.

Pentru fiecare pas, se efectuează următoarele operații:

găsim suma și valorile produselor a două grupuri de rădăcini;
Cercul lui Carlyle este desenat ;
intersectează acest cerc cu axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Intersecțiile obținute sunt valorile sumei fiecărui grup de rădăcini.

Întregul proces necesită să desenați în total 24 de cercuri Carlyle.

Curiozitate

Este remarcabil faptul că, deși majoritatea poligoanelor obișnuite nu pot fi construite cu rigla și busola, ele sunt în schimb cele care au următoarele numere consecutive ca număr de laturi:

255, din moment ce 255 = 3 × 5 × 17 (unghiul din centrul 255-gono poate fi găsit prin suprapunerea unui pentadecagon și un heptadecagon )
256, ca 256 = 2 ⁸ și, prin urmare, 256-gon poate fi obținut prin bisecții succesive.
257, deoarece 257 este un prim Fermat.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, 257-gon , în MathWorld , Wolfram Research.
(EN) Duane W. Detemple, Carlyle and the Circles of Simplicity Lemoine Poligonal Constructions , în Amer. Matematica. Lunar , vol. 98, nr. 2, 1991, pp. 97-108.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Poligoane
Poligoane după numărul de laturi	Triunghi (3) · Cadrilater (4) · Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagonon (7) · Octagon (8) · nonagon (9) · Decagon (10) · hendecagon (11) · Dodecagon (12) · tridecagon (13) · tetradecagon (14) · pentadecagon (15) · hexadecagon (16) · heptadecagon (17) · octadecagon (18) · enneadecagon (19) · icosagon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontagon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · chiliagon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triunghiuri	Bazat pe laturi: Triunghi echilateral · Triunghi isoscel · Triunghi scalen · Conform unghiurilor: Triunghi dreptunghiular · Triunghi ascuțit · Triunghi obuz
Cadrilaterale	Pătrat · dreptunghi · Paralelogram · Rhombus · Trapez · Kite
Poligoane stelare	Pentagramă · Hexagramă · Eptagramma · Ottagramma · Eneagramă · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Alții	Poligon regulat · Poligon echilateral · Poligon echivalen