3-sfera

Proiecția stereografică a elementelor sferei 3: paralele (în roșu), meridiane (în albastru) și hipermeridieni (în verde). Toate curbele sunt cercuri (unele cu rază infinită, deci linii drepte), iar în proiecție par să se intersecteze întotdeauna în unghiuri drepte.

3-sfera este o figură geometrică în spațiul euclidian cu 4 dimensiuni , în special este analogul în acest spațiu al sferei . Este definit ca locusul punctelor echidistante de un punct fix.

3-sfera este adesea numită hipersferă , chiar dacă același termen indică toate n- sferele cu n ≥3.

Așa cum sfera obișnuită, numită și 2-sferă, este o suprafață bidimensională ( varietate ) care acționează ca o margine a bilei tridimensionale, sfera 3 este o varietate tridimensională care acționează ca o margine a Bila cu 4 dimensiuni.

Definiție

În ceea ce privește coordonatele , o 3-sferă centrată în C ( C ₀ , C ₁ , C ₂ , C ₃ ) și având raza r este setul de puncte x ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) în spațiul R ⁴ astfel încât

\sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {3} (x_ {i} -C_ {i}) ^ {2} = (x_ {0} -C_ {0}) ^ {2} + (x_ { 1} -C_ {1}) ^ {2} + (x_ {2} -C_ {2}) ^ {2} + (x_ {3} -C_ {3}) ^ {2} = r ^ {2} .}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {3} (x_ {i} -C_ {i}) ^ {2} = (x_ {0} -C_ {0}) ^ {2} + (x_ { 1} -C_ {1}) ^ {2} + (x_ {2} -C_ {2}) ^ {2} + (x_ {3} -C_ {3}) ^ {2} = r ^ {2} .}

3-sfera unitară sau S ^{3 se numește cea} cu centrul la origine și raza unității:

S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.

{\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {(x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ in \ mathbb {R} ^ {4}: x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 1 \ right \}.}

{\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {(x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ in \ mathbb {R} ^ {4}: x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 1 \ right \}.}

Dacă considerăm R ⁴ ca spațiul cu două coordonate complexe ( C ² ) sau cuaternion ( H ), 3-sfera unitară este dată de relația

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}

{\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {(z_ {1}, z_ {2}) \ in \ mathbb {C} ^ {2}: | z_ {1} | ^ {2} + | z_ { 2} | ^ {2} = 1 \ dreapta \}}

{\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {(z_ {1}, z_ {2}) \ in \ mathbb {C} ^ {2}: | z_ {1} | ^ {2} + | z_ { 2} | ^ {2} = 1 \ dreapta \}}

sau din

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :|q|=1\right\}.

{\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {q \ in \ mathbb {H}: | q | = 1 \ right \}.}

{\ displaystyle S ^ {3} = \ left \ {q \ in \ mathbb {H}: | q | = 1 \ right \}.}

Ultima definiție arată că sfera 3 este ansamblul tuturor cuaternioanelor unitare, adică cu modul egal cu unitate.

Proprietate

Proprietăți elementare

Volumul 3-dimensional (sau hiperare ) al sferei 3 cu raza r este egal cu

2\pi ^{2}r^{3}

{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2} r ^ {3}}

{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2} r ^ {3}}

în timp ce hipervolumul (volumul regiunii 4-dimensionale închise de sfera 3) se menține

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}r^{4}.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ pi ^ {2} r ^ {4}.}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ pi ^ {2} r ^ {4}.}

Fiecare intersecție ne-goală a unei 3-sfere cu un hiperplan tridimensional este o 2-sferă, adică o sferă convențională sau un singur punct (în cazul tangenței).

Proprietăți topologice

O 3-sferă este o varietate tridimensională compactă , conectată și fără margini. Este, de asemenea, un set simplu conectat : orice curbă închisă de pe suprafața sa poate fi limitată la un singur punct fără a părăsi sfera 3. Conform conjecturii Poincaré , demonstrată în 2003 de Grigorij Perel'man , sfera 3 (în afară de homeomorfism ) este singura figură cu aceste proprietăți.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică