3-varietate

Un colector 3 hiperbolic văzut din interior.

În geometrie , o varietate 3 este o varietate diferențiată a dimensiunii 3. În mod informal, este un „ univers posibil”: un spațiu tridimensional care este similar local cu spațiul tridimensional așa cum este perceput de ființa umană, a cărui structură globală este totuși , poate fi foarte diferit și greu de înțeles.

Studiul 3-colectorilor este o ramură importantă a topologiei cu dimensiuni reduse . Are legături puternice cu teoria nodurilor și geometria hiperbolică . Instrumentele utilizate în studiul 3-colectorilor sunt numeroase: printre ele, grupul fundamental (care captează o mare parte a structurii colectorului), studiul suprafețelor (în special suprafețele incompresibile ) și geometria hiperbolică.

Definiție

Un 3-soi este o varietate diferențiată sau topologică de dimensiune 3. Adjectivul „topologic” sau „diferențiat” este utilizat, atunci când este necesar, pentru a specifica ce soi este; în adevăr, diferența dintre cele două noțiuni în dimensiune 3 este minimă: o varietate diferențiabilă este de asemenea topologic (acest lucru este valabil în toate dimensiunile), și vice - versa fiecare colector topologic poate fi dotat cu o singură structură diferențiabilă , cu excepția cazului Difeomorfism (aceasta este doar valabil în mărimea 2 și 3). Din acest motiv, adjectivul este în general omis.

În mod similar, un soi cu 3 granițe este un soi de graniță de mărimea 3. Adesea, chiar și un soi cu 3 granițe este pur și simplu numit 3-soi .

Exemple

În interiorul spațiului euclidian

Spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este un 3-soi. Fiecare subset deschis al spațiului euclidian este, de asemenea, o varietate de 3. De exemplu, mingea

B^{3}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}<1\}

{\ displaystyle B ^ {3} = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} <1 \ }}

B ^ {3} = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} <1 \}

sau complementara unui nod .

Spațiul tridimensional conține, de asemenea, multe soiuri 3 cu margini. De exemplu, discul închis

D^{3}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}

{\ displaystyle D ^ {3} = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 1 \}}

D ^ {3} = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 1 \}

a cărui margine este sfera bidimensională

S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}

{\ displaystyle S ^ {2} = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ }}

S ^ {2} = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \}

Un corp cu mâner de gen 2.

sau torul solid , a cărui margine este torul . Mai general, un mâner , a cărui margine este o suprafață pivotantă în general arbitrară.

Cu toate acestea, spațiul euclidian nu conține varietăți închise , adică compacte și fără margini.

Minge

Cea mai simplă varietate 3 care nu este conținută în spațiul euclidian este sfera tridimensională (uneori numită hipersferă )

S^{3}={\big \{}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1{\big \}}.

{\ displaystyle S ^ {3} = {\ big \ {} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ | \ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 1 {\ big \}}.}

S ^ {3} = {\ big \ {} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ | \ x_ {1 } ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 1 {\ big \}}.

Este un 3-colector închis simplu conectat .

Spații lenticulare

Spațiile lenticulare sunt cele 3 manifolduri închise având cel mai simplu grup fundamental. Spațiul lenticular $L(p,q)$ ${\ displaystyle L (p, q)}$ $L (p, q)$ este o varietate 3 definită ca spațiul coeficient al lui $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ printr-o acțiune a grupului ciclic $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}$ . Spațiul este definit pentru fiecare pereche de coprime întregi $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ . Este o varietate închisă, al cărei grup fundamental este $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}$ .

Pentru $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ colectorul 3 este sfera $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ , în timp ce pentru $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ este spațiul proiectiv tridimensional real $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {R})}$ .

Taur

Un alt colector 3 care generalizează colectoare cu dimensiuni inferioare este torul tridimensional

S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.

{\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1} \ times S ^ {1}.}

S ^ {1} \ times S ^ {1} \ times S ^ {1}.

Grupul său de bază este $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ . Mai general, produsul unei suprafețe cu circumferința $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ este o 3-varietate cu un grup fundamental infinit.

Vizualizare

O suprafață poate fi vizualizată cu ușurință printr-un desen și, dacă este orientabilă, poate fi descrisă în întregime în spațiul tridimensional. De asemenea, este descris mai puțin decât homeomorfismul pur și simplu prin genul său.

Descrierea și vizualizarea unui 3-manifold este mai dificilă. Nu există o generalizare simplă a noțiunii de gen, care le poate clasifica cu ușurință. Prin urmare, există diverse tehnici pentru construirea și descrierea completă a unui distribuitor cu 3.

Triangulaţie

Fiecare varietate compactă de 3 admite o triangulare . Prin urmare, poate fi descris într-un mod combinator , dintr-o listă de date care descrie tetraedrul și modalitățile prin care fețele triunghiulare ale acestora sunt identificate în perechi. Această descriere combinatorie a fost utilizată încă din anii 1980 în diferite programe de calculator .

Chirurgie Dehn

Un link în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ (mai precis, în $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ ), în care fiecărei componente i se atribuie un număr rațional , descrie o varietate cu 3. Aceasta este varietatea obținută prin operația lui Dehn efectuată pe legătură: operația constă în îndepărtarea unui tor solid în jurul fiecărei componente a legăturii, obținut prin „ungerea” ușoară a componentei (torul solid este un mic înconjurător tubular al acestuia) și lipirea din nou a torului solid de-a lungul unei alte hărți. Alegerea hărții depinde de numărul rațional.

Diagrama Heegaard

Fiecare 3-soi se poate obține prin lipirea a două corpuri cu mânere $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ Și $H_{2}$ ${\ displaystyle H_ {2}}$ $H_2$ având același gen de -a lungul marginii, prin intermediul unui homeomorfism

\psi \colon \partial H_{1}\to \partial H_{2}.

{\ displaystyle \ psi \ colon \ partial H_ {1} \ to \ partial H_ {2}.}

{\ displaystyle \ psi \ colon \ partial H_ {1} \ to \ partial H_ {2}.}

Această construcție se numește descompunere Heegaard . Descompunerea poate fi descrisă prin desen $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ și specificând pe margine câteva curbe care mărginesc un disc în interior $H_{2}$ ${\ displaystyle H_ {2}}$ $H_2$ .

Descompunerea și geometrizarea

Prin teorema de uniformizare Riemann , fiecare suprafață admite o structură completă a varietății Riemanniene cu curbură secțională constantă +1, 0 sau -1. Fiecare suprafață are, așadar, o structură multiplă eliptică , plană sau hiperbolică .

O standardizare similară există și pentru colectoarele cu 3: conjecturată de William Thurston la începutul anilor 1980 , a fost demonstrată de Grigori Perelman în 2002 . Geometrizarea lui Thurston afirmă că fiecare colector 3 se descompune de-a lungul sferelor și torurilor în bucăți care admit o metrică omogenă . Descompunerea de-a lungul sferelor și taurilor, deja cunoscută în anii șaptezeci , constă din teorema Kneser-Milnor pentru suma conectată (sferele) și descompunerea JSJ (taurii).

Sferele lungi

Același subiect în detaliu: teorema lui Kneser-Milnor .

Descompunerea de-a lungul sferelor este afirmată de teorema Kneser-Milnor . Teorema afirmă că comportamentul varietăților 3 în ceea ce privește operația sumă conectată este similar comportamentului numerelor întregi față de produs: este de fapt analogul teoremei fundamentale a algebrei .

Teorema afirmă că fiecare colector 3 orientabil este închis $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ admite o singură scriere ca sumă conectată

M=M_{1}\#\ldots \#M_{k}

{\ displaystyle M = M_ {1} \ # \ ldots \ #M_ {k}}

M = M_ {1} \ # \ ldots \ #M_ {k}

de varietate $M_{i}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$ $Pe mine}$ prime , adică soiuri care nu sunt scrise la rândul lor ca o sumă non-trivială conectată.

Tauri lungi

Același subiect în detaliu: Descompunerea JSJ .

Descompunerea lungă a tori este cunoscută sub numele de descompunere JSJ , numită după matematicienii Jaco, Shalen și Johannson care au descris-o în anii 1970. Fiecare primă cu 3 manifolduri conține un set de tauri incompresibili $T_{1},\ldots ,T_{h}$ ${\ displaystyle T_ {1}, \ ldots, T_ {h}}$ $T_ {1}, \ ldots, T_ {h}$ , cu proprietatea care

orice alt tor incompresibil este disjunct de acestea după o izotopie adecvată,
Setul este maxim în raport cu proprietatea 1.

Geometrizare

Același subiect în detaliu: conjectura de geometrizare a lui Thurston .

Taurii de descompunere JSJ separă mai întâi o varietate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în multe blocuri. Fiecare bloc este un distribuitor compact, a cărui margine este o uniune de tori disjuncti. Conjectura de geometrizare a lui Thurston afirmă că interiorul fiecăruia dintre aceste blocuri admite o metrică Riemanniană omogenă . Există trei tipuri metrice Riemanniene de acest tip în dimensiune: 3 dintre acestea sunt geometrie eliptică, plană și hiperbolică.

Conjectură Poincaré

Același subiect în detaliu: conjectura lui Poincaré .

Conjectura Poincaré este un caz special al conjecturii Thurston și, prin urmare, a fost dovedită și de Perelman în 2002 . Conjectura afirmă că $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ este singurul colector cu 3 culori închis care este conectat pur și simplu.

Exemple

Eliptice

3-manifolduri eliptice închise sunt tocmai toate 3-manifolduri cu un grup fundamental finit. Dintre acestea, sfera, spațiul proiectiv și, în general, orice spațiu lenticular. Mai general, o astfel de varietate se obține ca un coeficient de $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ printr-un grup de izometrii ale $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ care acționează într-un mod liber și corespunzător discontinuu. Grupul de izometrie al $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ este grupul ortogonal special $SO(4)$ ${\ displaystyle SO (4)}$ $SO (4)$ , și toate subgrupurile sale de acest tip au fost clasificate de John Milnor în anii 1960 .

Hiperbolic

Studiul 3-colectorilor hiperbolici, care a apărut cu lucrările lui Thurston la sfârșitul anilor 1970 , este considerat de departe cel mai interesant dintre matematicieni. Dintre cele 8 geometrii omogene, cea hiperbolică se arată a fi cea mai bogată. În timp ce soiurile celorlalte 7 geometrii au fost deja clasificate încă din anii 1950 , nu există încă o clasificare satisfăcătoare a varietăților hiperbolice.

Se obține un colector 3 hiperbolic ca coeficient al spațiului hiperbolic $\mathbb {H} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {3}}$ ${\ mathbb H} ^ {3}$ printr-un grup de izometrii care acționează într-un mod liber și corespunzător discontinuu. Grupul de izometrii care păstrează orientarea $\mathbb {H} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {3}}$ ${\ mathbb H} ^ {3}$ este izomorf pentru grupul transformărilor Möbius , un grup important în analiza complexă și geometria proiectivă .

Apartament

Varietatea $S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1} \ times S ^ {1}}$ $S ^ {1} \ times S ^ {1} \ times S ^ {1}$ admite (ca orice produs al unui număr arbitrar de cercuri) o structură plată a colectorului; se obține prin citarea spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ prin grupul de izometrii dat de traducerile întregi pe cele trei axe.

Alte geometrii

Varietatea $\Sigma \times S^{1}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ times S ^ {1}}$ $\ Sigma \ times S ^ {1}$ obținut ca produs al unei suprafețe $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ de gen mai mare decât unul și de o circumferință admite una dintre cele 5 valori omogene rămase.

Bibliografie

William Jaco, Lectures on 3-manifold topology , ISBN 0-8218-1693-4 .
William Thurston , Geometrie și topologie tridimensională. Vol. 1 , Seria matematică Princeton, nr. 35, Princeton University Press, 1997, ISBN 0-691-08304-5 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe 3 varietăți

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85135028

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică