3-soi ireductibil

În geometrie și mai exact în topologia cu dimensiuni reduse , un colector 3 ireductibil este un colector 3 în care fiecare sferă mărginește o bilă. Un colector 3 care conține o sferă care nu se învecinează cu o bilă este numit în schimb reductibil : acesta poate fi „redus” într-un colector mai simplu prin intermediul operației inverse a sumei conectate .

O varietate 3 este primă dacă nu se obține ca o sumă conectată non-trivială a două varietăți. Conceptele de ireductibil și primul sunt echivalente pentru toate cele 3 manifolduri, cu doar două excepții. Totuși, ipoteza ireductibilității este mai ușor de exprimat și gestionat în multe cazuri și, prin urmare, este cea folosită cel mai des.

Definiții

Soi ireductibil

Un colector 3 este ireductibil dacă fiecare sferă netedă mărginește o minge. Mai strict, un distribuitor 3- diferențiat conectat $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este ireductibil dacă fiecare submanifold diferențiat $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ homeomorf la o sferă și margine $S=\partial D$ ${\ displaystyle S = \ partial D}$ ${\ displaystyle S = \ partial D}$ a unui subset $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ homeomorf la bila închisă

D^{3}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.

{\ displaystyle D ^ {3} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ | \ | x | \ leq 1 \}.}

{\ displaystyle D ^ {3} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ | \ | x | \ leq 1 \}.}

Ipoteza diferențierii pentru $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ nu este important, deoarece fiecare colector 3 topologic are o structură diferențiată unică. Ipoteza că sfera este netedă (adică că este un submanifold diferențiat) este în schimb importantă: sfera trebuie să aibă de fapt o vecinătate tubulară .

Un colector 3 ireductibil este reductibil .

Soiul întâi

Un 3-soi conectat $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este mai întâi dacă nu se poate obține ca sumă conectată

M=N_{1}\#N_{2}

{\ displaystyle M = N_ {1} \ # N_ {2}}

{\ displaystyle M = N_ {1} \ # N_ {2}}

a două soiuri ambele distincte de $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ (sau, în mod similar, ambele distincte de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ ).

Exemple

Spațiul euclidian

Spațiul euclidian tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ este ireductibil: fiecare sferă netedă din spațiu bordează de fapt o minge.

Pe de altă parte, sfera lui Alexander este o sferă în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ nu netedă, care nu mărginește o minge: ipoteza asupra netezirii mingii este, așadar, necesară.

Sferă, spații lenticulare

Sfera $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ este ireductibil. Spațiul produs $S^{2}\times S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ nu este ireductibil: de fapt sfera $S^{2}\times \{pt\}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times \ {pt \}}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times \ {pt \}}$ (unde „pt” este orice punct al $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ ) are conexiune complementară și, prin urmare, nu poate fi marginea unei mingi.

Un spațiu lenticular $L(p,q)$ ${\ displaystyle L (p, q)}$ ${\ displaystyle L (p, q)}$ cu $p\neq 0$ ${\ displaystyle p \ neq 0}$ ${\ displaystyle p \ neq 0}$ (deci distinct de $S^{2}\times S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ ) este ireductibil.

Soiuri crude și ireductibile

Un soi cu 3 este ireductibil dacă și numai dacă este primul, cu excepția a două cazuri: produsul $S^{2}\times S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ iar pachetul de sfere neorientabil pe $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ ambii sunt primari, dar nu ireductibili.

De la ireductibil până la înainte

O varietate ireductibilă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este de fapt înainte. De fapt, dacă

M=N_{1}\#N_{2},

{\ displaystyle M = N_ {1} \ # N_ {2},}

{\ displaystyle M = N_ {1} \ # N_ {2},}

Acolo $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ se obține prin îndepărtarea a două bile din $N_{1}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ $N_1$ Și $N_{2}$ ${\ displaystyle N_ {2}}$ $N_ {2}$ , și apoi lipirea celor două sfere de margine rezultate. Aceste două sfere lipite formează o sferă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Prin ipoteză, el trebuie să taie o minge. Retrasând operațiunea sumă conectată înapoi, $N_{1}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ $N_1$ sau $N_{2}$ ${\ displaystyle N_ {2}}$ $N_ {2}$ se obține prin lipirea a două bile închise pentru margine. Cu toate acestea, această operațiune duce doar la $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ : deci unul dintre cei doi factori este de fapt banal și varietate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este primul.

De la primul la ireductibil

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate mai întâi. Este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ o sferă conținută în ea. Prin tăiere $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ se poate obține o singură varietate $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sau două soiuri $M_{1}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ Și $M_{2}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$ $M_ {2}$ . În al doilea caz, prin lipirea a două bile închise în cele două noi margini sferice, se obțin două soiuri $N_{1}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ $N_1$ Și $N_{2}$ ${\ displaystyle N_ {2}}$ $N_ {2}$ astfel încât

M=N_{1}\#N_{2}.

{\ displaystyle M = N_ {1} \ # N_ {2}.}

{\ displaystyle M = N_ {1} \ # N_ {2}.}

Atâta timp cât $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este prima, una dintre cele două, de exemplu $N_{1}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ $N_1$ , Și $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ . Prin urmare $M_{1}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ Și $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ minus o minge: este deci și o minge. Sfera $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ apoi margini o minge: varietatea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este deci ireductibil.

Rămâne să luăm în considerare cazul atunci când cupon lung $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ primești o singură bucată $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . Prin urmare, există o curbă simplă închisă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ intersectându-se $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ intr-un loc. Este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ unirea a două cartiere tubulare ale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . Marginea $\partial R$ ${\ displaystyle \ partial R}$ ${\ displaystyle \ partial R}$ se dovedește a fi o sferă: aceasta trebuie să marginească o minge. Soiul rezultat este, prin urmare, aproape determinat, iar o analiză atentă duce la verificarea faptului că este $S^{2}\times S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ ${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {1}}$ sau a celuilalt pachet neorientabil.

Bibliografie

William Jaco, Lectures on 3-manifold topology , ISBN 0-8218-1693-4 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică