65537-gono

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În geometrie , 65537-gono este un poligon cu 65537 laturi.

65537-gono obișnuit

Un 65537-gono se spune că este regulat dacă toate unghiurile și laturile sunt egale.

Unghiuri caracteristice

Unghiul central:

Colț intern:

Side și perimetru

Latura, calculată în funcție de raza r a cercului circumscris, este dată de:

Perimetrul este:

cu o diferență de aproximativ 0,015 ppm față de circumferința razei r, de la care este, de fapt, nedistinguibil.

Zonă

Informații istorice

Gono 65537-regulat este un poligon edificabil cu rigla și compasul : în 1796 Carl Friedrich Gauss a demonstrat că construirea unui poligon regulat se poate face numai în cazul în care geometric prim factorizarea N numărul său de părți este de tipul

unde k este un număr întreg negativ și factorii p 1 , p 2 ... sunt numere prime distincte de Fermat .

Singurele prime Fermat cunoscute până în prezent sunt 3, 5, 17, 257 și 65537. În ceea ce privește construcția triunghiului (echilateral) și a pentagonului (regulat), soluția fusese găsită deja în lumea antică (vezi Elements of Euclid ). Gauss a arătat că căutarea oricăruia dintre parametrii caracteristici ai acestor poligoane regulate (unghiul central, lungimea laterală sau proiecția unui vârf pe una dintre axe) poate fi urmărită înapoi la rezolvarea unei serii de ecuații de gradul II; și aceasta este o sarcină care poate fi efectiv realizată folosind doar o margine și o busolă.

Gauss s-a limitat la demonstrarea acestei fezabilități, fără a indica totuși metode de construcție specifice. Abia în 1894 Johann Gustav Hermes , după o lucrare care a durat aproximativ zece ani, a reușit să găsească o procedură foarte lungă pentru a construi 65537-gono cu riglă și busolă.

Ideea de construcție

Primul pas al construcției geometrice a gono-ului normal 65537

În această secțiune raportăm câteva considerații preluate din articolul „Cercurile Carlyle și simplitatea Lemoine a construcțiilor poligonului”, de Duane W. DeTemple.

În mod similar cu ceea ce se întâmplă pentru construcția 257-gono , procedura se bazează pe faptul că vârfurile 65537-gon obișnuite inscripționate într-un cerc de rază unitate pot fi determinate prin rezolvarea ecuației ciclotomice

ale cărei rădăcini sunt date de expresie

pentru n între 0 și 65536. Deoarece suma tuturor rădăcinilor dă 0, dacă eliminăm r 0 = 1 din total, suma rădăcinilor rămase dă -1.

Rădăcinile, altele decât r 0, sunt convenabil separate în două grupuri disjuncte de 32768 rădăcini fiecare. Prin indicarea cu A 0 și A 1 suma rădăcinilor din primul și respectiv al doilea grup, este clar că A 0 + A 1 = -1. Determinarea valorilor A 0 și A 1 necesită o relație suplimentară, care poate fi găsită prin înmulțirea celor două seturi de rădăcini. Acum, tocmai datorită modului în care au fost aleși membrii fiecărui grup, avem că înmulțind A 0 și A 1 obținem o sumă de termeni 1˙073˙741˙824, care pot fi grupați în 16384 serii complete a rădăcinilor dintre r 1 și r 65536 . Fiecare dintre aceste serii de rădăcini are valoarea -1 ca sumă, deci produsul calculat se dovedește a fi -16384.

Cele două serii de 32768 rădăcini sunt la rândul lor împărțite în patru serii de 16384: vom avea A 0 = B 0 + B 2 și A 1 = B 1 + B 3 . Chiar și în acest caz puteți calcula produsele acestor perechi B 0 · B 2 și B 1 B 3 · 16384 rădăcini ale sumelor: cu aceeași procedură descrisă mai sus se obțin astfel valori numerice ale acestor B n. Procedăm în același mod pentru a obține valorile sumei grupurilor de 8192, 4096 ... 16, 8, 4 și 2 rădăcini fiecare.

DeTemple afirmă că pentru construirea acestui poligon nu trebuie desenate mai mult de 1332 cercuri Carlyle . Ar fi o treabă uriașă, care are valoare doar din punct de vedere teoretic. De fapt, nu ar fi posibil din punct de vedere material să procedăm cu acest sistem cu hârtie reală, riglă și busolă: iată câteva dintre dimensiunile referitoare la construcție, presupunând că cercul inițial în care urmează să fie înscris 65537-gono are un raza de 1 cm:

  • raza cercului unitar: 1 cm,
  • partea 65537-gono: 0,0009587 mm sau 0,9587 µm,
  • raza primului cerc Carlyle: 81,91 m.

Animația este limitată la afișarea căutării sumelor valorilor primelor 2 grupuri de 32768 rădăcini (A n ); valorile obținute sunt A 0 ≈ 127,5 cm, A 1 ≈ 128,5 cm

Curiozitate

Este remarcabil faptul că doar o parte din poligoanele obișnuite pot fi construite cu o linie și o busolă; printre acestea se numără, de exemplu, următoarele:

  • 65535-gono: poligon de 3 × 5 × 17 × 257 = 65535 laturi (unghiul din centru poate fi găsit prin suprapunerea unui 255-gono și a unui 257-gono ),
  • 65536-gono: poligon cu un număr de laturi egal cu puterea a 16-a de 2 (care poate fi obținut prin bisecții succesive),
  • 65537-gono: poligon Gauss.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică