Accelerația unghiulară

În cinematică , accelerația unghiulară este o mărime vectorială care reprezintă variația vitezei unghiulare în funcție de timp . Prin urmare, este definit analitic ca prima derivată în raport cu timpul vitezei unghiulare: ^[1]

{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t^{2}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}

unde este ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ este viteza unghiulară e ${\boldsymbol {\theta }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$ poziția unghiulară. În general se folosește simbolul ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ , care are uneori dezavantajul de a fi confundat cu un colț, din acest motiv în unele texte este indicat cu ${\boldsymbol {\varpi }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varpi}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varpi}}}$ . ^{[ fără sursă ]}

În SI unitatea sa de măsură este $[rad/s^{2}]$ ${\ displaystyle [rad / s ^ {2}]}$ ${\ displaystyle [rad / s ^ {2}]}$ .

Deoarece viteza unghiulară este un vector ortogonal față de planul de variație al unghiului corespunzător $d{\boldsymbol {\theta }}$ ${\ displaystyle d {\ boldsymbol {\ theta}}}$ ${\ displaystyle d {\ boldsymbol {\ theta}}}$ , accelerația unghiulară are o direcție care coincide cu cea a vitezei unghiulare, prin urmare este paralelă cu accelerația areolară .

Accelerația unghiulară, împreună cu accelerația areolară, este întâlnită în mișcările de rotație în general și în mișcarea circulară generică. Dacă aceste accelerații sunt constante într-un sistem, în general vorbim de mișcare de rotație accelerată uniform.

Exemple

Același subiect în detaliu: mișcare circulară .

În special în mișcarea circulară neuniformă, adică mișcarea în jurul unei circumferințe sau a unei părți a unei circumferințe în care viteza unghiulară ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ variază în mărime și această variație este cuantificată de accelerația unghiulară ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ .

Prin urmare, în cazul mișcării circulare neuniforme, există o legătură între accelerația tangențială și unghiulară, deoarece accelerația tangențială este dată de:

$\mathbf {a} _{\theta }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ theta} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ theta} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}}$

unde este $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ este raza vectorială a circumferinței.

În cazul unei mișcări de rotație în jurul unei axe cu o direcție invariabilă, aceasta reprezintă în continuare rata de schimbare a unității de timp a vitezei unghiulare, dar poate fi tratată ca o mărime scalară.

O roată care se rotește în jurul unei axe, îndemnată să înceapă cu un moment mecanic axial $\mathbf {M} _{\hat {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}}$ , se deplasează cu o mișcare de rotație accelerată uniform. Odată identificată orice rază a roții, experiența arată că unghiul descris de această rază crește cu timpul necesar descrierii acesteia în funcție de:

{\begin{aligned}&{\boldsymbol {\theta }}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\alpha }}t^{2}\\&{\dot {\boldsymbol {\theta }}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\alpha }}t^{2}={\boldsymbol {\alpha }}t={\boldsymbol {\omega }}\\&{\ddot {\boldsymbol {\theta }}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\alpha }}t={\boldsymbol {\alpha }}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ boldsymbol {\ theta}} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ alpha}} t ^ {2} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ theta}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ alpha}} t ^ {2} = {\ boldsymbol {\ alpha}} t = {\ boldsymbol {\ omega}} \\ & {\ ddot {\ boldsymbol {\ theta}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} {\ boldsymbol {\ alpha}} t = {\ boldsymbol {\ alpha}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ boldsymbol {\ theta}} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ alpha}} t ^ {2} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ theta}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ alpha}} t ^ {2} = {\ boldsymbol {\ alpha}} t = {\ boldsymbol {\ omega}} \\ & {\ ddot {\ boldsymbol {\ theta}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} {\ boldsymbol {\ alpha}} t = {\ boldsymbol {\ alpha}} \\\ end {align}}}

Acesta este unghiul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ crește proporțional cu pătratul timpului și viteza unghiulară ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ , instantaneu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , este deci proporțional cu timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ numărate de la începutul mișcării.

Roata se mișcă apoi într- o mișcare circulară accelerată uniform și ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ este accelerația unghiulară constantă în raport cu timpul.