Algebră

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Algebră (dezambiguizare) .
Pagina algebră a lui al-Khwarizmi

Algebra (din arabă الجبر, al-ğabr , „completare” [1] ) este o ramură a matematicii care se ocupă cu studiul structurilor , relațiilor și mărimilor algebrice .

Istoria algebrei

Termenul algebră (din arabă الجبر, al-ǧabr care înseamnă „unire”, „conexiune” sau „finalizare”, dar și „a repara” sau „recompune”) provine din cartea matematicianului persan Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī , intitulat Al-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala („Compendiu de calcul prin finalizare și echilibrare”), cunoscut și sub forma scurtă Al-kitāb al-ǧabr wa l- muqābala , care se ocupă cu soluția ecuațiilor de gradul I și II .

Există, de asemenea, unele dovezi ale unor probleme algebrice simple din Egiptul Antic, Grecia Arhaică și Mesopotamia, de către matematicieni care au folosit proprietăți legate de algebra elementară.

Algebra retorică

Algebră fără simboluri, pasajele sunt descrise în cuvinte, conform tradiției lui Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī.

Algebră sincopată

Algebră descriptivă, dar cu notații simbolice, precum cea folosită de Diofantul grecesc din Alexandria .

Algebra simbolică

Algebră în care conceptele sunt reprezentate în simboluri, folosită astăzi în toată lumea, a luat naștere în India antică și apoi a fost dezvoltată în secolul al XVI-lea de matematicienii europeni.

Conceptele de algebră

Numere

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Număr .

Un număr este un obiect abstract, folosit pentru a măsura o cantitate . Cele mai utilizate numere sunt numerele naturale :

Adăugând numere negative la acestea, folosind semnul minus , se obțin toate numerele întregi :

Adăugând la acestea fracțiile obținem toate numerele raționale :

În cele din urmă, numerele reale conțin multe alte numere care nu pot fi exprimate ca fracții, cum ar fi:

Prin adăugarea la acestea a unui element , numită unitate imaginară , astfel încât , obținem numerele complexe :

Mulțimile formate din numere naturale, întregi, raționale, reale și complexe sunt indicate prin literele:

Fiecare set este conținut în următorul, așa cum este indicat de simbol de includere a setului. De exemplu, numărul nu este un număr natural, ci este un număr întreg: de aceea este și rațional, real și complex.

Operațiuni

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Operația aritmetică .

Cu operațiile aritmetice de adunare , scădere , produs și divizare este posibil să se manipuleze numere și să se scrie expresii precum

Același număr poate fi scris diferit, de exemplu:

Constantele și variabilele

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Constant și Variabil (matematică) .

Algebra elementară este o evoluție a aritmeticii : pe lângă numere și cele patru operații, algebra folosește simboluri literale care (în funcție de context) pot fi considerate numere constante sau variabile . De exemplu:

Folosind simboluri literale este posibil să enunțăm teoreme valabile în contexte foarte generale. De exemplu, pătratul binomului

este o egalitate valabilă pentru orice valoare de Și .

Ecuații

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Ecuația .

O ecuație este o egalitate care poate conține unele variabile, numite necunoscute . Ecuația este verificată numai pentru unele valori ale necunoscutelor, numite soluții . Determinarea soluțiilor unei ecuații este o problemă centrală în algebră. De exemplu, în ecuația de gradul I

scrisoarea este o constantă, în timp ce este necunoscutul care urmează să fie determinat. Această ecuație are o singură soluție; dat de

Polinomiale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Polinom .

Un polinom este o expresie algebrică obținută prin manipularea unor constante și variabile cu operațiile de adunare, scădere și multiplicare (dar nu divizare). De exemplu:

este un polinom cu variabilă . Un polinom poate avea mai multe variabile, de exemplu

are trei variabile .

O rădăcină a unui polinom cu o singură variabilă este o valoare numerică pentru care contează

Determinarea rădăcinilor unui polinom este deci echivalentă cu rezolvarea unei ecuații, în care polinomul este setat egal cu zero. Există formule generale pentru determinarea rădăcinilor unui polinom de gradul 1, 2, 3 sau 4. De exemplu, un polinom de gradul doi

poate avea cel mult două rădăcini reale, determinate de formulă

Dacă argumentul radicalului este negativ, polinomul nu are rădăcini reale. Pentru teorema Abel-Ruffini , nu există formule de soluție generală pentru ecuații de grad mai mari sau egale cu 5.

Este posibil ca un polinom să nu aibă rădăcini reale. Totuși, teorema fundamentală a algebrei afirmă că există întotdeauna (cel puțin) o rădăcină complexă .

Numere algebrice și transcendente

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: numărul algebric și numărul transcendent .

Un număr real (sau complex) este algebric dacă este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi. De exemplu, orice număr rațional este algebric, deoarece este rădăcina polinomului

care are coeficienți Și întreg. Rădăcina -alea real a unui întreg este și un număr algebric, rădăcină a polinomului

Mai general, toate numerele care pot fi obținute de la numere întregi folosind cele patru operații și radicali sunt algebrice. De exemplu:

este un număr algebric. Cu toate acestea, există algebre care nu pot fi scrise în această formă, datorită teoremei Abel-Ruffini . Printre numerele complexe, unitatea imaginară este algebric deoarece este rădăcina polinomului .

Un număr real (sau complex) este transcendent dacă nu este algebric. Numerele pi și constanta neperiană sunt transcendente.

Structuri algebrice

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Structura algebrică .

O structură algebrică este un set cu una sau mai multe operații care satisfac anumite axiome . Pe baza acestor axiome este deci posibil să se demonstreze diverse teoreme valabile în contexte foarte generale. Structurile algebrice joacă un rol central în algebra abstractă și în toată matematica modernă.

Grupuri

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Grup (matematică) .

Un grup este un întreg echipat cu o operație binară , care poate fi indicată prin simbol , care satisface următoarele axiome.

  1. proprietate asociativă : date aparținând , contează .
  2. existența elementului neutru : există în un element neutru în ceea ce privește operațiunea *, adică astfel încât pentru fiecare aparținând .
  3. existența inversului : la fiecare element din un element este asociat , invers de , astfel încât .

De exemplu, numerele întregi formează un grup cu operația adaos . Întregul și operațiunea ambele sunt importante în structura grupului: pentru a identifica grupul de numere întregi cu adunare scriem perechea

Inele și câmpuri

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Ring (algebră) și Field (matematică) .

Un inel este un întreg echipat cu două operații binare, indicate în general cu simbolurile obișnuite Și de adunare și multiplicare, care satisface unele axiome. Operațiunea trebuie să satisfacă axiomele grupului deja enumerate; trebuie să aplice și ele

  1. proprietate comutativă : date aparținând , contează .
  2. proprietate asociativă pentru operațiune : date aparținând , contează .
  3. proprietate distributivă : date aparținând , contează Și .

De exemplu, numerele întregi formează un inel cu operațiile obișnuite de adunare și multiplicare și se scrie:

Elementul neutru pentru operație este indicat de obicei cu simbolul.

Un câmp este un inel care satisface câteva axiome suplimentare pentru operație , și anume:

  1. proprietate comutativă : date aparținând , contează .
  2. existența elementului neutru : există în un element neutru în ceea ce privește operațiunea , adică astfel încât pentru fiecare aparținând .
  3. existența inversului : la fiecare element din un element este asociat , invers de , astfel încât .

Numerele întregi nu formează un câmp deoarece 2 nu are inversul produsului. Numerele raționale formează un câmp și este scris:

Alte domenii importante sunt numerele reale și numere complexe .

Spații vectoriale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: spațiul vectorial .

Un spațiu vectorial este o structură algebrică puțin mai complexă. În mod formal, este format dintr-un cuatern

in care este un set de obiecte numite vectori , un câmp, e două operații binare care satisfac o listă lungă de axiome. La fel ca vectorii planului cartezian , vectorii lui pot fi adăugate și modificate, adică înmulțite cu un element al câmpului a spus să urce . Noțiunea de spațiu vectorial este centrală pentru toată matematica modernă.

Sectoarele algebrei

Algebra elementară

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Algebra elementară .

Algebra elementară poate fi introdusă ca generalizare și extindere a aritmeticii , prin introducerea obiectelor simbolice, numite variabile și constante , de obicei notate cu litere ale alfabetului.

Operațiile aritmetice de adunare , diferență (mai general, sumă algebrică ), multiplicare și divizare se aplică expresiilor construite folosind variabile și constante. În acest fel sunt introduse și studiate obiecte precum polinoame și ecuații și sunt studiate metode pentru a găsi rădăcinile posibile ale primelor și soluțiile celor din urmă.

Algebra abstractă

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Algebra abstractă .

Algebra abstractă este o extensie a algebrei elementare, născută spre sfârșitul secolului al XIX-lea și dezvoltată enorm în secolul al XX-lea . Algebra abstractă definește și studiază structurile algebrice : mulțimi cu operații care satisfac anumite axiome . Exemple foarte particulare de structuri algebrice sunt constituite de seturile numerice obișnuite, cum ar fi numere întregi , raționale , reale și complexe cu suma lor obișnuită sau operațiile de produs, sau chiar cu doar una dintre aceste operații.

Exemple de structuri algebrice sunt grupurile , inelele , câmpurile și spațiile vectoriale . Operațiile cu care sunt înzestrate aceste structuri satisfac legi foarte asemănătoare cu cele valabile în exemplele numerice menționate mai sus. Exemple de structuri ale căror operații satisfac alte legi, uneori aparent contraintuitive, sunt rețelele , algebra booleană , algebrele Lie .

Algebră liniară

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Algebra liniară .

Algebra liniară studiază matricile și spațiile vectoriale . Un spațiu vectorial este o generalizare abstractă a noțiunii setului de vectori ai planului (sau spațiului) în sens fizic. Unul dintre principalele sale avantaje este posibilitatea de a introduce spații de orice dimensiune (chiar infinită). Se aplică și pentru studierea ecuațiilor liniare , adică a ecuațiilor omogene de gradul I. Aplicațiile algebrei liniare sunt de o importanță fundamentală în fizică, în multe ramuri (inclusiv cele non-algebrice) ale matematicii și în alte discipline științifice.

Teoria grupului

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teoria grupului .

Un grup este o structură algebrică cu o singură operație binară care satisface unele proprietăți bine definite (axiome de grup). Exemple de grupuri sunt numere întregi , cu operația de adunare sau setul de simetrii ale unui anumit obiect geometric (cu operația de compunere a funcției ). Trebuie remarcat faptul că, în timp ce în primul caz proprietatea comutativă deține (grupul se numește Abelian ), proprietatea analogă nu deține, în general, în al doilea caz, deoarece nu este neapărat adevărat că .

Teoria grupurilor studiază structurile grupului. Pe lângă faptul că are un interes intrinsec profund, teoria grupurilor are aplicații importante în aproape toate domeniile geometriei , și în special în topologie și în studiul simetriilor . De asemenea, are o corelație puternică cu combinatorica : setul permutărilor unui set este, de exemplu, un grup în ceea ce privește compoziția funcțiilor. De asemenea, are aplicații notabile în teoria numerelor și, uneori, în analiză.

Teoria inelului

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teoria inelului .

Un inel este o structură algebrică cu două operații, dintre care prima satisface axiomele unui grup comutativ . Având în vedere și a doua operație, este necesar ca multe dintre proprietățile valabile pentru numere întregi să fie îndeplinite, cu operațiile de sumă și produs. Dar, de exemplu, într-un inel generic se poate întâmpla asta , fără neapărat unul dintre elemente sau este egal cu (această proprietate este verificată pentru număr întreg). Printre mulțimile care se dovedesc a fi inele, găsim setul de polinoame cu coeficienți într-un inel dat, cel al matricilor (cu operații de sumă și produs adecvate) și setul de numere raționale .

Teoria inelului studiază aceste structuri și are aplicații în algebră și multe alte ramuri ale matematicii, în special în geometria algebrică .

Teoria câmpului

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teoria câmpului .

Un câmp este un inel care trebuie să satisfacă alte axiome, care, intuitiv, afirmă posibilitatea realizării diviziunilor (evident doar pentru un element non-nul). De exemplu, numerele întregi nu sunt un câmp, în timp ce raționalele sunt .

Teoria câmpului studiază aceste structuri. Câmpurile sunt obiectul de bază necesar pentru definirea spațiilor vectoriale și, prin urmare, pentru toată algebra liniară . Teoria lui Galois este o teorie care leagă câmpurile și posibilele lor extensii de grupuri finite și posibilele lor subgrupuri. Teoria lui Galois oferă metode extrem de puternice pentru studierea solvabilității ecuațiilor; în special, este esențial să se demonstreze că nu există o formulă generală (care utilizează doar radicalii) pentru soluția ecuațiilor de gradul 5 sau mai mare.

Algebră computațională

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Algebră computațională .

Algebra computațională studiază algoritmi pentru manipularea simbolică a obiectelor matematice.

Alte ramuri ale algebrei abstracte

În plus față de structurile deja descrise, algebra studiază multe altele, inclusiv semigrupuri , rețele , module , algebre de câmp , bialgebre , algebre Hopf , superalgebre .

Alte utilizări

Termenul "algebră" este folosit pentru a indica diferite specii de structuri algebrice compozite:

Notă

  1. ^ Voice algebra , în Encyclopedia of Mathematics (2013), treccani.it.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 4968 · LCCN ( EN ) sh85003425 · GND ( DE ) 4001156-2 · BNF ( FR ) cb119308580 (data) · BNE ( ES ) XX527665 (data) · NDL ( EN , JA ) 00561221
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica