Algebra lui Clifford

În algebra liniară , o „algebra Clifford este o structură algebrică care generalizează noțiunea unui număr complex și quaternion . Studiul algebre Clifford este strâns legată de teoria formelor pătratice , și are aplicații importante în geometria și fizica teoretică. Numele lor este derivat din cel al matematicianului William Kingdon Clifford , care a introdus în 1878 , pornind de la studiul altor două obiecte algebrice similare, algebra quaternion și algebra de Grassmann ^[1] .

Definiție

O algebra Clifford este o " algebra asociativă , sau un spațiu vectorial echipat cu o operație asociativă produs între vectori, care posedă ca structură suplimentară formă pătratică $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . algebra Clifford $C\ell (V,Q)$ ${\ Displaystyle C \ ell (V, Q)}$ ${\ Displaystyle C \ ell (V, Q)}$ Acesta este definit pornind de la un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ca " algebra «mai general»generat de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ care respectă condiția:

v^{2}=Q(v)1\qquad \forall v\in V

{\ V displaystyle ^ {2} = Q (v) 1 \ prototipurilor \ forall v \ în V}

{\ V displaystyle ^ {2} = Q (v) 1 \ prototipurilor \ forall v \ în V}

.

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are ca suport un domeniu a cărui caracteristică nu este egal cu 2, este posibil să rescrie relația de mai sus în ceea ce privește formă biliniară simetrică asociată cu forma pătratică $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ :

uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\qquad \forall u,\,v\in V

{\ Displaystyle uv + vu = 2 \ Langle u, v \ rangle 1 \ prototipurilor \ forall u \, v \ în V}

{\ Displaystyle uv + vu = 2 \ Langle u, v \ rangle 1 \ prototipurilor \ forall u \, v \ în V}

.

În general, multe dintre proprietățile descrise mai jos nu dețin pentru algebre Clifford în caracteristică 2.

O definiție mai formală este următoarea: dat un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , O algebră Clifford $C\ell (V,Q)$ ${\ Displaystyle C \ ell (V, Q)}$ ${\ Displaystyle C \ ell (V, Q)}$ este o algebră asociativă pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pentru care există o hartă liniară $i:V\rightarrow C\ell (V,Q)$ ${\ Displaystyle i: V \ rightarrow C \ ell (V, Q)}$ ${\ Displaystyle i: V \ rightarrow C \ ell (V, Q)}$ astfel încât $i(v)^{2}=Q(v)1$ ${\ Displaystyle i (v) ^ {2} = Q (v) 1}$ ${\ Displaystyle i (v) ^ {2} = Q (v) 1}$ Și, în plus, având în vedere orice altă algebră pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ asociativ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și o hartă liniară $j:V\rightarrow A$ ${\ Displaystyle j: V \ rightarrow A}$ ${\ Displaystyle j: V \ rightarrow A}$ pentru care $j(v)^{2}=Q(v)1$ ${\ J displaystyle (v) ^ {2} = Q (v) 1}$ ${\ J displaystyle (v) ^ {2} = Q (v) 1}$ , Există un unic morfism algebră $f:C\ell (V,Q)\rightarrow A$ ${\ F displaystyle: C \ ell (V, Q) \ rightarrow A}$ ${\ F displaystyle: C \ ell (V, Q) \ rightarrow A}$ astfel încât relația este validă $f\circ i=j$ ${\ Displaystyle f \ i = j Circ}$ ${\ Displaystyle f \ i = j Circ}$ , Și anume diagrama de mai jos comutator ^[2] :

Întrucât funcția $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este injectivă , este obișnuit să - l folosească drept " imersiune și ia în considerare $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ca un subspațiu al $C\ell (V,Q)$ ${\ Displaystyle C \ ell (V, Q)}$ ${\ Displaystyle C \ ell (V, Q)}$ .

Constructie

Avand in vedere ca elemente de pornire un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și o formă pătratică $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Este întotdeauna posibil să se construiască algebra de relativă Clifford: ea construiește " Tensor algebra $T(V)$ ${\ displaystyle T (V)}$ $TELEVIZOR)$ , Prin urmare, consideră că " ideală cu două fețe $I_{Q}$ ${\ I_ displaystyle {Q}}$ ${\ I_ displaystyle {Q}}$ generate de elementele:

v\otimes v-Q(v)1\qquad \forall v\in V

{\ V displaystyle \ otimes VQ (v) 1 \ prototipurilor \ forall v \ în V}

{\ displaystyle v \ otimes v-Q (v) 1 \ prototipurilor \ forall v \ în V}

.

algebra Clifford este coeficientul:

C\ell (V,Q)={\frac {T(V)}{I_{Q}}}

{\ Displaystyle C \ ell (V, Q) = {\ frac {T (V)} {I_ {Q}}}}

{\ Displaystyle C \ ell (V, Q) = {\ frac {T (V)} {I_ {Q}}}}

.

Baze și dimensiuni

Dată fiind o bază $\left\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right\}$ ${\ Displaystyle \$ din $stânga \ {e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {n} \ dreapta \}}$ ${\ Displaystyle \ din stânga \ {e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {n} \ dreapta \}}$ a spațiului vectorial de pornire $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ca dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , Este posibil să se construiască o bază de algebră folosind toate produsele posibile formate de vectori de bază distincte:

\left\{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\ldots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n\wedge 0\leq k\leq n\right\}

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {e_ {I_ {1}} e_ {I_ {2}} \ ldots e_ {I_ {k}} \ mid 1 \ leq I_ {1} <I_ {2} <\ ldots <I_ { k} \ leq n \ wedge 0 \ leq k \ leq n \ dreapta \}}

{\ Displaystyle \ din stânga \ {e_ {I_ {1}} e_ {I_ {2}} \ ldots e_ {I_ {k}} \ mid 1 \ leq I_ {1} <I_ {2} <\ ldots <I_ { k} \ leq n \ wedge 0 \ leq k \ leq n \ dreapta \}}

Numărul de posibile produse distincte formate de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ elemente extrase din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente ale bazei $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Acesta este dat de coeficientul binomială ${\binom {n}{k}}$ ${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}}}$ ${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}}}$ ; dimensiunea algebra este atunci:

\dim C\ell (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}

{\ Displaystyle \ dim C \ ell (V, Q) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} = 2 ^ {n}}

{\ Displaystyle \ dim C \ ell (V, Q) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} = 2 ^ {n}}

.

Dacă luăm în considerare o bază ortonormală de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (Care există întotdeauna în cazul în care caracteristica este diferit de 2) avem prin definiție:

\langle e_{i},e_{j}\rangle =0\qquad \forall i\neq j

{\ Displaystyle \ Langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = 0 \ prototipurilor \ forall i \ neq j}

{\ Displaystyle \ Langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = 0 \ prototipurilor \ forall i \ neq j}

.

Din identitatea fundamentală a algebre lui Clifford rezultă atunci:

e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0\Rightarrow e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}

{\ Displaystyle e_ {i} e_ {j} + e_ {j} e_ {i} = 0 \ rightarrow e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i}}

{\ Displaystyle e_ {i} e_ {j} + e_ {j} e_ {i} = 0 \ rightarrow e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i}}

.

De asemenea, este posibil să se extindă forma pătratică $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ din spatiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ algebra Clifford în sine; de fapt, este suficient să se solicite următoarele condiții:

elementele tipului $e_{i_{1}}e_{i_{2}}\ldots e_{i_{k}}$ ${\ Displaystyle e_ {I_ {1}} e_ {I_ {2}} \ ldots e_ {I_ {k}}}$ ${\ Displaystyle e_ {I_ {1}} e_ {I_ {2}} \ ldots e_ {I_ {k}}}$ Ele sunt ortogonale între ele , dacă acestea sunt elementele $e_{i}$ ${\ Displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ care le compun;
forma pătratică extins este liniară în raport cu produsul: $Q\left(e_{i_{1}}e_{i_{2}}\ldots e_{i_{k}}\right)=Q\left(e_{i_{1}}\right)\left(e_{i_{2}}\right)\ldots \left(e_{i_{k}}\right)$ ${\ Displaystyle Q \ stânga (e_ {I_ {1}} e_ {I_ {2}} \ ldots e_ {I_ {k}} \ dreapta) = Q \ stânga (e_ {I_ {1}} \ dreapta) \ stânga (e_ {I_ {2}} \ dreapta) \ ldots \ left (e_ {I_ {k}} \ dreapta)}$ ${\ Displaystyle Q \ stânga (e_ {I_ {1}} e_ {I_ {2}} \ ldots e_ {I_ {k}} \ dreapta) = Q \ stânga (e_ {I_ {1}} \ dreapta) \ stânga (e_ {I_ {2}} \ dreapta) \ ldots \ left (e_ {I_ {k}} \ dreapta)}$ .

Algebre lui Clifford și algebre externe

L ' algebra exterior $\Lambda (V)$ ${\ Displaystyle \ Lambda (V)}$ ${\ Displaystyle \ Lambda (V)}$ este construit pe spațiul vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ furnizându-i un produs de pană între transportatori. Este izomorfă să $C\ell (V,Q)$ ${\ Displaystyle C \ ell (V, Q)}$ ${\ Displaystyle C \ ell (V, Q)}$ ca un spațiu vectorial; de sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ nu este un spațiu vectorial pe un câmp de caracteristică 2, există un izomorfism canonic dat de corespondență

{\begin{matrix}C\ell (V,Q)&\rightarrow &\Lambda (V)\\e_{i_{1}}e_{i_{2}}\ldots e_{i_{k}}&\mapsto &e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}},\end{matrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} C \ ell (V, Q) & \ rightarrow & \ Lambda (V) \\ e_ {I_ {1}} e_ {I_ {2}} \ ldots e_ {I_ {k} } & \ mapsto & e_ {I_ {1}} \ wedge {e_ I_ {2}} \ wedge \ ldots \ pană e_ {I_ {k}} \ end {matrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} C \ ell (V, Q) & \ rightarrow & \ Lambda (V) \\ e_ {I_ {1}} e_ {I_ {2}} \ ldots e_ {I_ {k} } & \ mapsto & e_ {I_ {1}} \ wedge {e_ I_ {2}} \ wedge \ ldots \ pană e_ {I_ {k}} \ end {matrix}}}

unde este $\left\{e_{i}\right\}$ ${\ Displaystyle \ left \ {e_ {i} \ dreapta \}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {e_ {i} \ dreapta \}}$ Este o bază ortogonală pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Acest izomorfism devine izomorfism de algebre numai în cazul în care $Q=0$ ${\ displaystyle Q = 0}$ $Q = 0$ ; în general, cu toate acestea, forma pătratică dotează algebra Clifford cu o structură mai bogată decât cea a algebră externe. Clifford algebra poate, de fapt, să fie văzută ca o cuantificare a algebră externe.

Algebre Clifford pe spații reale și complexe

Cele mai importante algebre Clifford sunt cele construite pe spații reale și complexe finit-dimensionale, și echipate cu o formă pătratică anizotropă ( de exemplu , pentru care $Q(v)\neq 0$ ${\ Q displaystyle (v) \ neq 0}$ ${\ Q displaystyle (v) \ neq 0}$ pentru fiecare vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ nu nul). Printr - o schimbare de coordonate poate fi scris $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ în formă diagonală :

Q(v)=v_{1}^{2}+\ldots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\ldots -v_{n}^{2}

{\ Displaystyle Q (v) = v_ {1} ^ {2} + \ ldots + v_ {p} ^ {2} -v_ {p + 1} ^ {2} - \ ldots -v_ {n} ^ {2 }}

{\ Displaystyle Q (v) = v_ {1} ^ {2} + \ ldots + v_ {p} ^ {2} -v_ {p + 1} ^ {2} - \ ldots -v_ {n} ^ {2 }}

,

unde este $n=p+q$ ${\ Displaystyle n = p + q}$ ${\ Displaystyle n = p + q}$ este dimensiunea spațiului; cuplul $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ Aceasta se numește semnul de forma pătratică; spațiu este scris ca $V^{p,q}$ ${\ Displaystyle V ^ {p, q}}$ ${\ Displaystyle V ^ {p, q}}$ , Iar algebra Clifford corespunzător este de obicei notată cu $C\ell _{p,q}(V)$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {p, q} (V)}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {p, q} (V)}$ .

În ceea ce privește spațiile reale $\mathbb {R} ^{p,q}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q}}$ , Este întotdeauna posibil să se găsească o bază $\left\{e_{i}\right\}$ ${\ Displaystyle \ left \ {e_ {i} \ dreapta \}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {e_ {i} \ dreapta \}}$ cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ vectori de norma 1 și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ vectori norma -1. Cele mai simple algebrelor sunt:

$C\ell _{0,0}(\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0,0} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0,0} (\ mathbb {R})}$ : Este izomorfă $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ( $Q(v)=0\,\forall v$ ${\ Displaystyle Q (v) = 0 \, \ forall v}$ ${\ Displaystyle Q (v) = 0 \, \ forall v}$ );
$C\ell _{0,1}(\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0,1} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0,1} (\ mathbb {R})}$ : Este o algebră bidimensional, generat de un singur vector, a cărui pătrat este -1, deci este izomorfă $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ;
$C\ell _{0,2}(\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0,2} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0,2} (\ mathbb {R})}$ : Este o algebră patru dimensiuni generate de $\left\{1,e_{1},e_{2},e_{1}e_{2}\right\}$ ${\ Displaystyle \$ din $stânga \ {1, e_ {1}, e_ {2}, e_ {1} e_ {2} \ dreapta \}}$ ${\ Displaystyle \ din stânga \ {1, e_ {1}, e_ {2}, e_ {1} e_ {2} \ dreapta \}}$ , În cazul în care ultimele trei elemente au pătrat -1 și anticommute reciproc, prin urmare, este izomorf cu corpul de cuaternionii $\mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ mathbb {H}}$ ;
$C\ell _{0,3}(\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R})}$ : Este izomorfă $\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ .

Prin urmare, algebre Clifford poate fi văzută ca o generalizare a conceptului de număr complex și quaternion.

O formă pătratică pe spații complexe pot fi urmărite înapoi în locul unui singur formular standard:

Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\ldots +z_{n}^{2}

{\ Displaystyle Q (z) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ ldots + z_ {n} ^ {2}}

{\ Displaystyle Q (z) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ ldots + z_ {n} ^ {2}}

,

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este dimensiunea spațiului vectorial complex. Rezultă că toate algebre complexe Clifford într-o anumită dimensiune sunt izomorfe între ele, și sunt notate cu $C\ell _{n}(\mathbb {C} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {n} (\ mathbb {C})}$ ; ei de fapt corespund complexification algebrei reale corespunzătoare $C\ell _{p,q}(\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {R})}$ :

$C\ell _{n}(\mathbb {C} )\cong C\ell _{p,q}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} \cong C\ell (\mathbb {C} ^{p+q},Q\otimes \mathbb {C} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {n} (\ mathbb {C}) \ cong C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {R}) \ otimes \ mathbb {C} \ cong C \ ell (\ mathbb {C} ^ {p + q}, Q \ otimes \ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {n} (\ mathbb {C}) \ cong C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {R}) \ otimes \ mathbb {C} \ cong C \ ell (\ mathbb {C} ^ {p + q}, Q \ otimes \ mathbb {C})}$ .

Cele mai simple algebrelor sunt:

$C\ell _{0}(\mathbb {C} )=\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {0} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C}}$ ;
$C\ell _{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \oplus \mathbb {C}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {1} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {1} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}}$ ;
$C\ell _{2}(\mathbb {C} )=M_{2}(\mathbb {C} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {2} (\ mathbb {C}) = M_ {2} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {2} (\ mathbb {C}) = M_ {2} (\ mathbb {C})}$ (matrici complexe $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ ).

aplicatii fizice

Același subiect în detaliu: matrici gamma și ecuația Dirac .

algebre Clifford au numeroase aplicații în fizica teoretică. Cele Matricele Dirac posedă următoarele proprietăți:

\gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}

{\ Displaystyle \ gamma _ {i} \ gamma _ {j} + \ gamma _ {j} \ gamma _ {i} = 2 \ eta _ {ij}}

{\ Displaystyle \ gamma _ {i} \ gamma _ {j} + \ gamma _ {j} \ gamma _ {i} = 2 \ eta _ {ij}}

unde este $\eta \$ ${\ Displaystyle \ vârstă \}$ $\ Vârstă \$ este matricea unei forme pătratice de semnătură $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ . Mai puțin de un factor de 2, aceste relații definesc algebra Clifford $C\ell _{p,q}(\mathbb {C} )$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {C})}$ . matrici Dirac constituie un izomorfism intre algebra Clifford si algebra de matrici complexe.

De obicei , matrici sunt utilizate pentru a marca (1,3) pentru spațiul Minkowski și algebra că rezultatele este izomorfă cu cea a matrici complexe $4\times 4$ ${\ displaystyle 4 \ times 4}$ ${\ displaystyle 4 \ 4 ori}$ ; acestea sunt folosite pentru a exprima " ecuația Dirac , care guvernează mișcarea particulelor fizice de spin jumătate de întreg.

Notă

^ Roger Penrose , The Road to Reality , Milano, Rizzoli, 2005 [2004], pp. 202-203, ISBN 88-17-01233-5 .
^ Se spune de asemenea că Clifford satisface algebra proprietatea universal .

Bibliografie

Nicolas Bourbaki , Algebra, Berlin-New York, Springer-Verlag, 1988, ISBN 978-3-540-19373-9 .
H. Blaine Lawson și Marie-Louise Michelsohn, Spin geometrie, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5 .
Pertti Lounesto, algebre Clifford și spinors, Cambridge, Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00551-7 .
Ian R. Porteous, algebre Clifford și grupurile clasice, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-55177-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) algebra Clifford pe mathworld.
(RO) Algebra Clifford în construcția de octonions pe math.ucr.edu.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 67897 · LCCN (RO) sh85027030 · GND (DE) 4199958-7 · BNF (FR) cb119704879 (data) · BNE (ES) XX529736 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Roger Penrose , The Road to Reality , Milano, Rizzoli, 2005 [2004], pp. 202-203, ISBN 88-17-01233-5 .

[2] Se spune de asemenea că Clifford satisface algebra proprietatea universal .

[1]

[2]