Algebra divizională

În matematică , în special în contextul algebrei abstracte , o algebră de diviziune este o algebră în care operația de divizare este, într-un anumit sens, posibilă.

Definiție

Este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ o algebră pe un câmp, astfel încât să nu fie format doar din elementul nul. Dacă pentru fiecare element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și orice alt element b nul de la $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ există exact un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ astfel încât $a=bx$ ${\ displaystyle a = bx}$ ${\ displaystyle a = bx}$ , și exact un element $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ astfel încât $a=yb$ ${\ displaystyle a = yb}$ ${\ displaystyle a = yb}$ , asa de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este o algebră de diviziune .

Pentru algebrele asociative , definiția poate fi simplificată: o algebră asociativă pe un câmp este o algebră de diviziune dacă și numai dacă are o identitate multiplicativă diferită de elementul nul și fiecare element non-nul admite un invers multiplicativ (adică pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ algebra există o $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât $ax=xa=1$ ${\ displaystyle ax = xa = 1}$ ${\ displaystyle ax = xa = 1}$ , Unde $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este identitatea multiplicativă a algebrei).

Exemple

Unul dintre cele mai simple exemple de algebră de diviziune asociativă este algebra numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Urcând în mărime găsim algebra reală a numerelor complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Prin teorema Gelfand-Mazur , orice algebră Banach care este, de asemenea, o algebră de diviziune este izomorfă la $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Cuaternarii $\mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ mathbb {H}}$ sunt un exemplu de algebră de diviziune necomutativă pe reali.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică