Setați algebra

În matematică , o algebră de set (sau mai pe scurt o algebră ) despre un set $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , este o familie de subseturi de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ care are proprietăți de închidere în ceea ce privește unele operații stabilite, în special operația de unire finită și trecerea la complementar . Structura algebrei multimetrelor este deosebit de utilă în teoria măsurării și a probabilității și este baza tuturor noțiunilor de măsurabilitate, atât a mulțimilor, cât și a funcțiilor. Este, de asemenea, utilizat în teoria reprezentării în algebra booleană .

Din punct de vedere euristic, am putea spune că noțiunea de algebră setată (și cea de σ-algebră ) sunt măsurabile , deoarece noțiunea de topologie este aceea de continuitate . Și este într-adevăr remarcabil faptul că ambele aceste structuri pot fi construite oferind condiții simple de stabilitate pentru operațiile setate.

Noțiunea de algebră setată a fost introdusă la începutul secolului al XX-lea . În prezent, în teoria măsurătorilor, conceptul de σ-algebră a devenit mult mai utilizat decât cel de algebră. Cu toate acestea, nu au lipsit matematicieni influenți, cum ar fi Bruno de Finetti , care a încercat să ofere structurii algebrei un rol central în teoria măsurătorilor, traducând multe rezultate privind măsurile σ-aditive (adică definite pe σ-algebre) caz general de măsuri finit aditive (definite pe algebre).

Definiție matematică

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un set, și așa să fie ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ o familie de subseturi de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ (adică, un subset al setului de părți ale $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ ). Vom spune asta ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ este o algebră pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ de sine:

Setul gol $\emptyset$ ${\ displaystyle \ emptyset}$ $\ emptyset$ aparține lui ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ : $\emptyset \in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle \ emptyset \ in {\ mathfrak {F}}}$ $\ emptyset \ in \ mathfrak {F}$ .
Dacă un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este in ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ , atunci complementul său este în ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ : $A\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathfrak {F}} \ Rightarrow A ^ {c} \ in {\ mathfrak {F}}}$ $A \ in \ mathfrak {F} \ Rightarrow A ^ c \ in \ mathfrak {F}$ .
Dacă două seturi $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ sunt în ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ , atunci unirea lor este în ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ : $A,B\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathfrak {F}} \ Rightarrow A \ cup B \ in {\ mathfrak {F}}}$ $A, B \ in \ mathfrak {F} \ Rightarrow A \ cup B \ in \ mathfrak {F}$ .

Rețineți că proprietățile simple derivă din aceste condiții, uneori folosite chiar în definiția algebrei setate:

O algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ pe un platou $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ nu este gol și are același set între elementele sale $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ (atâta timp cât $\emptyset \in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle \ emptyset \ in {\ mathfrak {F}}}$ $\ emptyset \ in \ mathfrak {F}$ Și $\emptyset ^{c}=\Omega$ ${\ displaystyle \ emptyset ^ {c} = \ Omega}$ $\ emptyset ^ c = \ Omega$ ).
O algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ este închisă prin unire finită: Dacă $A_{1},A_{2},\ldots A_{n}\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots A_ {n} \ în {\ mathfrak {F}}}$ $A_1, A_2, \ ldots A_n \ în \ mathfrak {F}$ asa de $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ in {\ mathfrak {F}}}$ $\ bigcup_ {i = 1} ^ n A_i \ in \ mathfrak {F}$ , după cum urmează, iterând a treia condiție a definiției.
O algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ este închis prin intersecție : dacă $A,B\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathfrak {F}}}$ $A, B \ in \ mathfrak {F}$ , asa de $A\cap B\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle A \ cap B \ în {\ mathfrak {F}}}$ $A \ cap B \ in \ mathfrak {F}$ , De cand $A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ left (A ^ {c} \ cup B ^ {c} \ right) ^ {c}}$ $A \ cap B = \ left (A ^ c \ cup B ^ c \ right) ^ c$ , care aparține ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ , din a doua și a treia condiție. Prin iterarea acestei proceduri, rezultă că este închisă prin intersecție finită.

Exemple

Având în vedere orice set $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , familia subseturilor ${\mathfrak {F}}_{0}=\{\emptyset ,\Omega \}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {0} = \ {\ emptyset, \ Omega \}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {0} = \ {\ emptyset, \ Omega \}$ este o algebră. Chiar și familia ${\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {{{\ mathcal {P}}}}$ format din toate subseturile de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ ( set de părți ) este o algebră. Acestea sunt, respectiv, cea mai mică și cea mai mare algebră de pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ ; adică dacă ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ este o algebră pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ asa de ${\mathfrak {F}}_{0}\subset {\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {0} \ subset {\ mathfrak {F}} \ subset {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {0} \ subset {\ mathfrak {F}} \ subset {\ mathfrak {F}} _ {{{\ mathcal {P}}}}$ . În general, aceste două algebre sunt numite improprii sau banale .
Să luăm în considerare un set cu patru elemente $\Omega =\{John,Paul,Ringo,George\}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {John, Paul, Ringo, George \}}$ $\ Omega = \ {John, Paul, Ringo, George \}$ . În acest caz finit , unele algebre pot fi construite în mod explicit. De exemplu, se poate verifica că (indicând numele cu inițialele lor):

{\mathfrak {F}}=\left\{\emptyset ,\{J\},\{P\},\{J,P\},\{R,G\},\{P,R,G\},\{J,R,G\},\Omega \right\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = \ left \ {\ emptyset, \ {J \}, \ {P \}, \ {J, P \}, \ {R, G \}, \ {P, R, G \}, \ {J, R, G \}, \ Omega \ right \}}

\ mathfrak {F} = \ left \ {\ emptyset, \ {J \}, \ {P \}, \ {J, P \}, \ {R, G \}, \ {P, R, G \} , \ {J, R, G \}, \ Omega \ right \}

îndeplinește condițiile definiției.

Fiecare σ-algebră este o algebră. De fapt, închiderea față de uniunea numărabilă implică în mod clar închiderea față de uniunea finită. Celelalte două proprietăți rămân neschimbate.

Principalele rezultate și aplicații

Având o familie $\left\{{\mathfrak {F}}_{\alpha }\right\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ mathfrak {F}} _ {\ alpha} \ right \} _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}}}$ $\ left \ {{\ mathfrak {F}} _ {\ alpha} \ right \} _ {{\ alpha \ în {\ mathcal {A}}}}$ oricare ar fi (finit sau infinit) de algebre, este ușor să verificăm dacă intersecția lor ${\mathfrak {F}}_{\mathcal {A}}:=\bigcap _{\alpha \in {\mathcal {A}}}{\mathfrak {F}}_{\alpha }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {A}}: = \ bigcap _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {{{\ mathcal {A}}}}: = \ bigcap _ {{\ alpha \ in {\ mathcal {A}}}} {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha }$ este încă o algebră. Este cea mai mare algebră conținută în toate algebrele ${\mathfrak {F}}_{\alpha }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {\ alpha}$ , adică dacă ${\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\alpha }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} \ subset {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha}}$ ${\ mathfrak {F}} \ subset {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha}$ , pentru fiecare $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {A}}}$ $\ alpha \ în {\ mathcal {A}}$ , asa de ${\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} \ subset {\ mathfrak {F}} _ {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathfrak {F}} \ subset {\ mathfrak {F}} _ {{\ mathcal {A}}}$ . Prin urmare, având în vedere orice familie ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ de subseturi de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , putem considera algebra generată de ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ , ca intersecție a tuturor algebrelor care conțin ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ . Din însăși definiția algebrei generată de ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ , rezultă că este cea mai mică algebră care conține ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ . De exemplu, algebra ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ din al doilea exemplu de mai sus, este generat din set ${\mathfrak {G}}=\left\{\{J\},\{P\}\right\}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} = \ left \ {\ {J \}, \ {P \} \ right \}}$ $\ mathfrak {G} = \ left \ {\ {J \}, \ {P \} \ right \}$ .

Orice algebră booleană poate fi reprezentată ca o algebră (adică are aceeași structură ca o algebră). Aceasta este teorema reprezentării lui Stone .

O algebră booleană finită poate fi reprezentată ca algebră necorespunzătoare a setului de părți ale unui set finit (a se vedea exemplul de mai sus).

Bibliografie

Patrick Billingsley, Probabilitate și măsură , ediția a III-a, New York, John Wiley și fii, 1995, ISBN 0-471-00710-2 .
Peter T. Johnstone, Stone spaces , ediția a III-a, Cambridge, Cambridge University Press, 1982, ISBN 0-521-23893-5 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Set Algebra

linkuri externe

M. Hazewinkel, Rings of sets ,Encyclopedia of Mathematics , Springer_Science + Business_Media

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică