Algebra elementară

Calcul literal

Algebra elementară este ramura matematicii care studii calcul literal, adică, ea studiază monoamele și polinoame și se extinde operații aritmetice la acestea, numite operații algebrice în acest context.

Acest lucru este de mare folos, deoarece:

permite formularea generală a legilor aritmetice (cum ar fi $a+b=b+a$ ${\ Displaystyle a + b = b + a}$ ${\ Displaystyle a + b = b + a}$ pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ), Și , prin urmare , acesta este primul pas pentru o explorare sistematică a proprietăților sistemului de numere reale ;
vă permite să se refere la necunoscute numere și apoi să formuleze ecuații și să dezvolte tehnici pentru a le rezolva (de exemplu: „găsi un număr $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât $3\cdot x+2=10$ ${\ Displaystyle 3 \ cdot x + 2 = 10}$ ${\ Displaystyle 3 \ cdot x + 2 = 10}$ );
permite formularea funcționale relații (cum ar fi următoarele: „ în cazul în care vând $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ bilete, atunci profitul va fi $10x-5$ ${\ Displaystyle 10x-5}$ ${\ Displaystyle 10x-5}$ EURO").

O expresie algebrică poate conține numere, variabile și operații aritmetice; exemple sunt $a+3$ ${\ Displaystyle a + 3}$ ${\ Displaystyle a + 3}$ Și $x^{2}-3$ ${\ Displaystyle x ^ {2} -3}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} -3}$ .

O ecuație este o propunere deschisă, care conține o egalitate, care poate fi adevărat sau fals în funcție de valoarea atribuită variabilelor necunoscute prezente în ea. Unele ecuații sunt adevărate pentru orice valoare a necunoscutelor (de exemplu, $a+(b+c)=(a+b)+c$ ${\ Displaystyle a + (b + c) = (a + b) + c}$ ${\ Displaystyle a + (b + c) = (a + b) + c}$ ); acestea sunt cunoscute ca identități . Alte ecuații conțin simboluri pentru variabilele necunoscute și, prin urmare, suntem interesați în găsirea acelor valori particulare că egalitatea face adevărate, adică a face primul membru egal cu al doilea: $x^{2}-1=4$ ${\ Displaystyle x ^ {2} -1 = 4}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} -1 = 4}$ . Acestea se numesc soluții ale ecuației.

Exemple de ecuații

Cele mai simple ecuatii de rezolvare sunt liniare cele (adică de gradul 1), cum ar fi

2x+3=10.

{\ Displaystyle 2x + 3 = 10.}

{\ Displaystyle 2x + 3 = 10.}

Tehnica fundamentală este aceea de a adăuga, scade, multiplica sau împărți ambii membri ai unei ecuații de același număr, și, prin repetarea acestui proces de mai multe ori, se ajunge la exprimarea directă valoarea ecuației. $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . În exemplul de mai sus, dacă scădem 3 din ambele părți, veți obține

2x=7

{\ Displaystyle 2x = 7}

{\ Displaystyle 2x = 7}

și împărțind ambele părți cu 2, se obține soluția

x={\frac {7}{2}}.

{\ Displaystyle x = {\ frac {7} {2}}.}

{\ Displaystyle x = {\ frac {7} {2}}.}

Ecuațiile precum

x^{2}+3x=5

{\ Displaystyle x ^ {2} + 3x = 5}

{\ Displaystyle x ^ {2} + 3x = 5}

acestea sunt cunoscute ca ecuațiile pătratice și pentru ei există o soluție simplă formulă pentru a găsi toate soluțiile.

Expresiile sau declarații pot conține mai multe variabile, de la care poate fi posibil sau imposibil de a obține valoarea unor variabile. De exemplu:

(x-1)^{2}=0y.

{\ Displaystyle (x-1) ^ {2} = 0Y.}

{\ Displaystyle (x-1) ^ {2} = 0Y.}

După câțiva pași simpli algebrice, putem deduce că $x=1,$ ${\ displaystyle x = 1,}$ ${\ displaystyle x = 1,}$ dar nu putem deduce ce valoarea este $y .$ ${\ displaystyle y.}$ ${\ displaystyle y.}$ Cu toate acestea, dacă am fi avut o altă ecuație în necunoscutele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y,$ ${\ Y displaystyle,}$ ${\ Y displaystyle,}$ am fi putut obține răspunsul printr-un sistem de ecuații. De exemplu:

{\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} 4x + 2y = 14 \\ 2x-y = 1 \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} 4x + 2y = 14 \\ 2x-y = 1 \ end {cazuri}}}

Acum, să se înmulțește a doua cu 2, obtinerea de următoarele expresii:

{\begin{cases}4x+2y=14\\4x-2y=2\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} 4x + 2y = 14 \\ 4x-2y = 2 \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} 4x + 2y = 14 \\ 4x-2y = 2 \ end {cazuri}}}

Din moment ce am multiplicat întreaga ecuație de 2 (adică ambele părți), avem de fapt o declarație echivalentă. Acum putem combina cele două ecuații, adăugând membru la:

8x=16.

{\ Displaystyle 8x = 16.}

{\ Displaystyle 8x = 16.}

Astfel am obținut o ecuație cu o singură necunoscută, pe care le putem rezolva cu ușurință prin divizare de 8 și de obținere a $x=2.$ ${\ displaystyle x = 2.}$ ${\ displaystyle x = 2.}$

Acum să aleagă una dintre cele două ecuații de pornire.

4x+2y=14.

{\ Displaystyle 4x + 2y = 14.}

{\ Displaystyle 4x + 2y = 14.}

Înlocuim 2 în loc de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

4(2)+2y=14.

{\ Displaystyle 4 (2) + 2y = 14.}

{\ Displaystyle 4 (2) + 2y = 14.}

Noi simplifica

8+2y=14,

{\ Displaystyle 8 + 2y = 14}

{\ Displaystyle 8 + 2y = 14}

2y=6.

{\ Displaystyle 2y = 6.}

{\ Displaystyle 2y = 6.}

Și noi pentru a rezolva $y,$ ${\ Y displaystyle,}$ ${\ Y displaystyle,}$ obtinerea 3. Soluția acestui sistem de ecuații este $x=2$ ${\ displaystyle x = 2}$ $x = 2$ Și $y=3,$ ${\ Y displaystyle = 3}$ ${\ Y displaystyle = 3}$ adică cuplul $(2,3).$ ${\ Displaystyle (2,3).}$ ${\ Displaystyle (2,3).}$

Legile algebrei elementare (pe un singur domeniu )

Adăugarea este o operație comutativă .
- Substracție este operația inversă de adăugare.
- Scăzând este echivalentă cu adăugarea opusă :

a-b=a+(-b).

{\ Displaystyle ab = a + (- b).}

{\ Displaystyle a-b = a + (- b).}

Multiplicarea este o operație comutativă.
- Divizia este inversul multiplicare.
- Despărțitoare este același ca și înmulțind cu inversul :

{a \over b}=a\left({1 \over b}\right).

{\ Displaystyle {a \ peste b} = a \ stânga ({1 \ peste b} \ dreapta).}

{\ Displaystyle {a \ peste b} = a \ stânga ({1 \ peste b} \ dreapta).}

De sine $ab=0,$ ${\ Displaystyle ab = 0,}$ ${\ Displaystyle ab = 0,}$ asa de $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ sau $b=0$ ${\ B displaystyle = 0}$ $b = 0$ ( Legea de anulare produs ).
Înălțător la putere nu este o operație comutativă.
- Exponentiation are două operații inverse: a logaritmului și rădăcina .
  - Exemple: dacă $3^{x}=10$ ${\ Displaystyle 3 ^ {x} = 10}$ ${\ Displaystyle 3 ^ {x} = 10}$ asa de $x=\log _{3}10$ ${\ Displaystyle x = \ log _ {3} 10}$ ${\ Displaystyle x = \ log _ {3} 10}$ . De sine $x^{2}=10,$ ${\ Displaystyle x ^ {2} = 10,}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} = 10,}$ asa de $x=10^{1/2}$ ${\ Displaystyle x = 10 ^ {1/2}}$ ${\ Displaystyle x = 10 ^ {1/2}}$ .
- Rădăcina pătrată a -1 este i .
Distributiv Proprietatea de multiplicare în ceea ce privește adăugarea: $c(a+b)=ca+cb$ ${\ Displaystyle c (a + b) = ca + cb}$ ${\ Displaystyle c (a + b) = ca + cb}$ .
Proprietatea distributivă a exponentiere în ceea ce privește diviziunea: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}$ ${\ Displaystyle (ab) ^ {c} = a ^ {c} b ^ {c}}$ ${\ Displaystyle (ab) ^ {c} = a ^ {c} b ^ {c}}$ .
Cum se pot combina exponenți: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$ ${\ Displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$ ${\ Displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
De sine $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ Și $b=c,$ ${\ Displaystyle b = c}$ ${\ Displaystyle b = c}$ asa de $a=c$ ${\ displaystyle a = c}$ ${\ displaystyle a = c}$ ( Proprietate tranzitiv de egalitate ).
$a=a$ ${\ Displaystyle a = a}$ ${\ Displaystyle a = a}$ ( Proprietate reflexiv al egalității).
De sine $a=b,$ ${\ Displaystyle a = b,}$ ${\ Displaystyle a = b,}$ asa de $b=a$ ${\ Displaystyle b = a}$ ${\ Displaystyle b = a}$ ( Proprietate simetrică a egalității).
De sine $la$ $=$ $b$ {\ displaystyle a = b} $a = b$ Și $c$ $=$ $d$ $,$ {\ Displaystyle c = d,} ${\ Displaystyle c = d,}$ asa de $la$ $+$ $c$ $=$ $b$ $+$ $d$ {\ Displaystyle a + c = b + d} ${\ Displaystyle a + c = b + d}$ .
- De sine $a=b,$ ${\ Displaystyle a = b,}$ ${\ Displaystyle a = b,}$ asa de $a+c=b+c$ ${\ Displaystyle a + c = b + c}$ ${\ Displaystyle a + c = b + c}$ pentru fiecare $c,$ ${\ displaystyle c,}$ $c,$ din cauza reflexivitatea egalității.
De sine $la$ $=$ $b$ {\ displaystyle a = b} $a = b$ Și $c$ $=$ $d$ $,$ {\ Displaystyle c = d,} ${\ Displaystyle c = d,}$ asa de $la$ $c$ {\ Ac} displaystyle ${\ Ac} displaystyle$ = $b$ $d$ {\ Displaystyle bd} $bd$ .
- De sine $a=b,$ ${\ Displaystyle a = b,}$ ${\ Displaystyle a = b,}$ asa de $ac=bc$ ${\ Ac displaystyle = bc}$ ${\ Ac displaystyle = bc}$ pentru fiecare $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ din cauza reflexivitatea egalității.
Dacă două simboluri sunt aceleași, atunci unul poate fi înlocuit cu celălalt.
De sine $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ Și $b>c,$ ${\ Displaystyle b> c}$ ${\ Displaystyle b> c}$ asa de $a>c$ ${\ Displaystyle a> c}$ ${\ Displaystyle a> c}$ (tranzitivitate de inegalitate ).
De sine $a>b,$ ${\ Displaystyle a> b,}$ ${\ Displaystyle a> b,}$ asa de $a+c>b+c$ ${\ Displaystyle a + c> b + c}$ ${\ Displaystyle a + c> b + c}$ pentru fiecare $c .$ ${\ displaystyle c.}$ ${\ displaystyle c.}$
De sine $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ Și $c>0,$ ${\ C displaystyle> 0}$ ${\ C displaystyle> 0}$ asa de $ac>bc$ ${\ Ac displaystyle> bc}$ ${\ Ac displaystyle> bc}$ .
De sine $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ Și $c<0,$ ${\ Displaystyle c <0,}$ ${\ Displaystyle c <0,}$ asa de $ac<bc$ ${\ displaystyle ac <bc}$ ${\ displaystyle ac <bc}$ .