Algebra omologică

Algebra homologică este ramura matematicii care studiază metodele de omologie și cohomologie dintr-un punct de vedere general. Aceste concepte își au originea în contextul topologiei algebrice .

Teoriile cohomologice au fost definite pentru diferite obiecte matematice, cum ar fi spații topologice , snopi , grupuri , inele , algebre Lie și algebre C ^* . Chiar și studiul geometriei algebrice moderne nu se poate lipsi de cohomologia grinzilor .

Elementul central al algebrei omologice este noțiunea de succesiune exactă ; acestea sunt obiectele utilizate în prezent pentru a face calculele. Un alt tip de instrument clasic al algebrei omologice este funcționorul derivat ; exemplele de bază ale acestor functori sunt Ext și Tor .

Aspecte fundamentale

După o perioadă timpurie în care algebra homologică s-a dovedit utilă într-o gamă largă de aplicații, au existat mai multe eforturi succesive de abstractizare pentru a o putea așeza într-o poziție mai abstractă pe o bază uniformă. Se poate identifica o trecere de la calculabilitate la generalitate care, în linii mari, se dezvoltă în trei etape fundamentale.

• Cartan - Eilenberg - Cu cartea lor "Algebră homologică" din 1956, acești autori s-au bazat pe rezoluția proiectivă și rezoluția injectivă .
• „Tohoku” - Această abordare își ia numele dintr-un celebru articol al lui Alexander Grothendieck care a apărut în 1957 în a doua serie a Jurnalului matematic Tohoku; folosește conceptul de categorie abeliană pentru a introduce pachetele de grupuri abeliene.
• Categorie derivată a lui Grothendieck și J.-L. Verdier - Aceste categorii apar în teza discutată de Verdier în 1967 sub supravegherea lui Grothendieck. Sunt exemple de categorii triunghiulate utilizate în mai multe teorii recente.

Instrumentul de calcul prin excelență al algebrei omologice este secvența spectrală ; aceste obiecte sunt esențiale în abordările Cartan-Eilenberg și „Tohoku”: ele sunt necesare, în special, pentru a calcula funcționorii derivați ai unei compoziții a doi funcționori dați. Secvențele spectrale sunt mai puțin esențiale în abordarea categoriilor derivate, dar joacă în continuare un rol important ori de câte ori este nevoie de un calcul concret.

De asemenea, trebuie amintit că au existat încercări de „teorii necomutative” care pot extinde prima cohomologie, cum ar fi torsorii (importante în cohomologia Galois ).

Bibliografie

• Sergei Gelfand , Yuri Manin (1996): Methods of Homological Algebra , Springer, ISBN 3-540-54746-0

Elemente conexe

• Istoria algebrei omologice
• 18Gxx , inițialele secțiunii MSC dedicate algebrei omologice.

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre algebră omologică

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică