Analiza funcțională

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Analiza funcțională este un câmp al analizei matematice care se ocupă într-un mod generic de spații vectoriale cu un fel de structură internă (de exemplu, produs intern , normă ,topologie etc.) și cu funcții liniare definite pe astfel de spații care asociază elementele un spațiu unul cu celălalt.

Conceptul a fost astfel generalizat pornind inițial de la studiul transformărilor precum transformata Fourier și studiul ecuațiilor diferențiale și integrale . Cuvântul „ funcțional ” provine din calculul variațiilor și indică o funcție al cărei argument este o funcție (funcție de funcție). Utilizarea sa într-un sens mai general este atribuită lui Vito Volterra . [1] [2]

Spații vectoriale normate

În viziunea modernă, analiza funcțională este privită ca studiul spațiilor normate complete pe reale sau complexe . Astfel de spații se numesc spații Banach . Un exemplu important este un spațiu Hilbert , unde norma este indusă de produsul interior . Aceste spații au o importanță fundamentală în formularea matematică a mecanicii cuantice și în studiul ecuațiilor diferențiale parțiale . Mai general, analiza funcțională include studiul spațiilor Fréchet și a altor spații vectoriale topologice care nu sunt dotate cu o normă.

Un obiect important de studiu în analiza funcțională sunt operatorii lineari continui definiți pe spațiile Banach și Hilbert. În acest fel ajungem în mod natural la definiția C * -algebră și a altor algebre operator .

Analiza funcțională își găsește aplicarea și în studiul metodelor numerice utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale, cu ajutorul computerului. Printre aceste metode amintim metoda Galërkin care aproximează și rezolvă formularea slabă a ecuației diferențiale.

Spațiile Hilbert

Spațiile Hilbert pot fi complet clasificate: există un singur spațiu Hilbert, cu excepția izomorfismelor, pentru fiecare cardinalitate a bazei. Deoarece spațiile Hilbert cu dimensiuni finite sunt incluse în algebră liniară și întrucât morfismele dintre spațiile Hilbert pot fi împărțite în morfisme între spațiile de dimensiune Aleph-zero (ℵ 0 ), analiza funcțională a spațiilor Hilbert se ocupă în principal cu spațiul Hilbert unic al lui Aleph -dimensionalitate zero și morfismele sale. Una dintre problemele deschise în analiza funcțională este de a demonstra că fiecare operator pe un spațiu Hilbert are propriul său subspatiu invariant . Multe cazuri speciale au fost judecate.

Spații Banach

Studiul spațiilor Banach generice este mai dificil decât studiul spațiilor Hilbert, deoarece nu există o noțiune de produs scalar și, prin urmare, în general, de bază (sau sistem) de vectori ortogonali.

Pentru orice număr real , un exemplu de spațiu Banach este dat de setul de funcții măsurabile Lebesgue a căror valoare absolută are putere -a integrabila (vezi spatiile L p ).

În spațiile Banach, o mare parte a studiului se referă la spațiul dual : spațiul tuturor funcționalităților liniare continue . Dualul dualului, numit și bidual, nu este întotdeauna izomorf pentru spațiul original, dar există întotdeauna un monomorfism natural de la un spațiu la bidual. Vedeți spațiul dual .

Noțiunea de derivată este extinsă la funcții arbitrare între spațiile Banach; descoperim astfel că derivata unei funcții la un punct dat este o hartă liniară continuă.

Principii fundamentale

Analiza funcțională se bazează pe unele rezultate fundamentale care constituie piatra sa de temelie și din care derivă întreaga teorie. Le enumerăm mai jos.

  • Teorema Hahn-Banach . Este legat de extinderea funcționalităților dintr-un subspațiu la întregul spațiu, pentru a menține norma. Datorită acestuia este posibil să se dezvolte în mod satisfăcător teoria spațiului dual topologic al unui spațiu Banach , adică spațiul funcționalelor liniare și continue pe . Dovada teoremei lui Hahn-Banach se bazează pe axioma alegerii care este, prin urmare, un postulat fundamental în analiza funcțională.
  • Teorema categoriei Baire, care are ca rezultat principal următorul rezultat.
  • Principiul uniform al delimitării sau teorema Banach-Steinhaus.
  • Teorema aplicației deschise din care, printre altele, derivă următorul rezultat.
  • Teorema graficului închis .
  • Teoria operatorilor liniari continui între spațiile Banach și Hilbert care spune, de exemplu, că un operator este continuu dacă și numai dacă este delimitat . Are multiple aplicații în teoria ecuațiilor diferențiale liniare și este un ingredient fundamental al formulării matematice a mecanicii cuantice. În special, în acest context, sunt importante teoria operatorilor compacti și teorema spectrală (există multe) care oferă o formulă integrală pentru operatorii normali pe un spațiu Hilbert.

Starea în logica matematică

Majoritatea spațiilor luate în considerare în analiza funcțională au o dimensiune infinită. Pentru a arăta existența unei baze a spațiului vectorial pentru aceste spații, ar putea fi necesară lema Zorn (care este echivalentă cu axioma de alegere). Câteva teoreme foarte importante folosesc teorema Hahn-Banach care necesită lema Zorn în cazul general al unui spațiu cu dimensiuni infinite.

Notă

  1. ^ F. William Lawvere, Funcționalitățile Volterra și coeziunea covariantă a spațiului ( PDF ), su acsu.buffalo.edu , Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia.
  2. ^ History of Mathematical Sciences , World Scientific , octombrie 2004, p. 195, ISBN 978-93-86279-16-3 .

Bibliografie

  • Brezis, H.: Analyze Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 sau ISBN 978-2-10-049336-4
  • John Conway : Un curs de analiză funcțională , ediția a II-a, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
  • Dunford, N. și Schwartz, JT: Operatori lineari, teoria generală și alte 3 volume, includ diagrame de vizualizare
  • Eidelman, Yuli, Vitali Milman și Antonis Tsolomitis: Analiza funcțională: o introducere , American Mathematical Society, 2004.
  • Fiorenza, R.: Note din lecțiile de analiză funcțională - copie revizuită și mărită din 2011 , COINOR 2005-2011
  • Giles, JR: Introducere în analiza spațiilor liniare normate , Cambridge University Press, 2000
  • Hirsch F., Lacombe G. - "Elemente de analiză funcțională", Springer 1999.
  • Hutson, V., Pym, JS, Cloud MJ: Applications of Functional Analysis and Operator Theory , 2nd edition, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
  • Andrej Nikolaevič Kolmogorov și Fomin, SV: Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale , Publicații Dover, 1999
  • Kreyszig, Erwin: Analiza funcțională introductivă cu aplicații , Wiley, 1989.
  • Lax, P .: Analiza funcțională , Wiley-Interscience, 2002
  • Lebedev, LP și Vorovich, II: Analiza funcțională în mecanică , Springer-Verlag, 2002
  • Michel, Anthony N. și Charles J. Herget: Algebra aplicată și analiza funcțională , Dover, 1993.
  • Reed M., Simon B. - "Analiza funcțională", Academic Press 1980.
  • Frigyes Riesz și Sz.-Nagy, B.: Analiza funcțională , publicațiile Dover, 1990
  • Walter Rudin : Analiza funcțională , Știința McGraw-Hill, 1991
  • Schechter, M.: Principiile analizei funcționale , AMS, ediția a II-a, 2001
  • Georgi Evgen'evich Shilov : Analiza funcțională elementară , Dover, 1996.
  • Sergej L'vovič Sobolev : Aplicații ale analizei funcționale în fizica matematică , AMS, 1963
  • Yosida, K.: Analiza funcțională , Springer-Verlag, ediția a 6-a, 1980

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Thesaurus BNCF 12069 · LCCN (RO) sh85052312 · GND (DE) 4018916-8 · BNF (FR) cb131627608 (data) · BNE (ES) XX525044 (data) · NDL (RO, JA) 00564962
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică