Analiza matematică

Unele obiecte studiate în analiza matematică
Funcții	Limite
Derivate	Integrale
Ecuatii diferentiale	Funcții multi-variabile
Funcții complexe	Câmpuri vectoriale

Analiza matematică este ramura matematicii care se ocupă de proprietățile care apar din descompunerea infinită a unui obiect dens. Se bazează pe calculul infinitesimal , cu care, prin noțiunile de limită și continuitate , studiază comportamentul local al unei funcții folosind instrumentele de calcul diferențial și calcul integral .

Prin introducerea unor concepte problematice pentru calcul , precum cel al infinitului și al limitei , este posibil să trecem la investigația care i-a permis să devină fundamentală în diferite discipline științifice și tehnice (de la științele naturii la inginerie , de la tehnologia informației la economie ), unde este adesea conjugat cu analiza numerică .

Istorie

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Analiza matematică s-a născut în a doua jumătate a secolului al XVII-lea , grație lui Isaac Newton și Gottfried Leibniz care au introdus independent conceptele fundamentale ale calculului infinitesimal . Inițial analiza matematică a vizat reprezentarea geometrică în planul funcțional cartesian , în încercarea de a răspunde la întrebări privind calculul ariilor și caracteristicilor geometrice ale unei curbe . Dezvoltarea analizei în secolul al XVIII-lea a fost, de asemenea, puternic motivată de fizică care a dus la dezvoltarea și elaborarea mecanicii raționale .

De la sfârșitul secolului al XVIII-lea a fost introdus conceptul de limită , trecând de la o interpretare intuitivă bazată pe subdiviziuni succesive, deja introdusă, în secolul al V-lea î.Hr. , de către filosoful eleatic Zenon în formularea aporiei sale ( paradoxurile lui Zenon ), sus la analiza matematică din zilele noastre, care a introdus metodologii pentru calcularea unei valori limită. Acest lucru a dus la o revoluție completă a materiei, care a re-analizat noțiunile și teoremele fără a utiliza justificări geometrice, dar pe baza conceptelor de număr și set . Acest lucru a permis o analiză mai detaliată a geometriilor neeuclidiene și a unei dimensiuni spațiale mai mari de trei.

Concepte

Teoria mulțimilor

Același subiect în detaliu: teoria seturilor .

Seturile A, B și intersecția lor

Conceptul de mulțime constituie elementul fondator al acelei părți a matematicii care este teoria mulțimilor . Acest termen indică orice grupare, colecție, agregat de elemente , independent de natura lor.

Teoria mulțimilor și posibilele operații dintre ele ne permit să definim unul dintre principalele subiecte de studiu a analizei: funcții .}} De un interes deosebit sunt funcțiile definite printre următoarele seturi numerice :

$\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ numere naturale
$\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ numere întregi
$\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ numere rationale
$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ numere reale
$\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ numere complexe

Pentru a defini unele proprietăți de interes considerabil și utilizare pe scară largă (cum ar fi continuitatea și diferențialitatea ) sunt necesare conceptele de bază ale topologiei și, în special, în jurul valorii , și conceptul de distanță într-un spațiu metric .

Funcții

Același subiect în detaliu: Funcția (matematică) .

O funcție asociază elementele unei mulțimi X cu elementele unei mulțimi Y

Conceptul de funcție este fundamental în scopul analizei matematice. Prin operațiuni mai avansate (cum ar fi operațiile limită ) sunt definite o serie de proprietăți fundamentale de o utilitate considerabilă în dezvoltările teoretice și în aplicațiile practice. Printre acestea putem enumera:

Un rol important îl joacă așa-numitele funcții elementare , cum ar fi:

De o importanță deosebită, în secolul al XX-lea , au fost progresele în studiul spațiilor funcțiilor , văzute ca spații vectoriale topologice cu dimensiuni infinite particulare, în contextul analizei funcționale .

Operațiunea limită

Același subiect în detaliu: Limit (matematică) .

Limita unei funcții, după o valoare S funcția rămâne limitată la un interval de 2

\varepsilon

{\ displaystyle \ varepsilon}

\ varepsilon

și tinde infinit spre L.

Conceptul de limită , fundamental în analiză, a fost definit coerent doar în secolul al XIX-lea, dar fusese înțeles intuitiv de matematicienii de calibru Wallis , Euler , Bernoulli , Newton , Leibniz și chiar se pare că Arhimede o înțelesese deja intuitiv. Limita este, în termeni simpli, o valoare la care valoarea unei funcții se apropie din ce în ce mai mult (fără a o atinge neapărat) pe măsură ce argumentul se apropie de zero sau infinit sau orice alt număr. De exemplu $\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ . De fapt, dacă creștem din ce în ce mai mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , ${\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ va fi întotdeauna mai aproape de zero.

Limita unei funcții sau secvențe poate:

să fie un număr finit (ca pentru cele de mai sus $\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ )
fi infinit (de exemplu $\lim _{x\to \infty }x^{2}=+\infty$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x ^ {2} = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x ^ {2} = + \ infty}$ )
nu există (de exemplu funcția $(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ $(-1) ^ {n}$ , deoarece n variază , este întotdeauna alternativ -1, +1, -1, +1 ...)

Serie

Același subiect în detaliu: Serii matematice .

Prin conceptul de limită a unei secvențe este posibil să se definească suma unui număr infinit de elemente. De exemplu, este posibil să se înțeleagă expresia

e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots

{\ displaystyle e = 1 + {\ frac {1} {1!}} + {\ frac {1} {2!}} + {\ frac {1} {3!}} + {\ frac {1} { 4!}} + \ Ldots}

e = 1 + {\ frac 1 {1!}} + {\ frac 1 {2!}} + {\ frac 1 {3!}} + {\ frac 1 {4!}} + \ ldots

care este una dintre multele modalități de a descrie numărul lui Napier $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ .

O sumă infinită de elemente se numește serie și este indicată în general cu următoarea notație:

$\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {k}}$ $\ sum _ {{k = 0}} ^ {{+ \ infty}} a_ {k}$ sau cu $\sum _{k=1}^{+\infty }a_{k}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} a_ {k}}$ $\ sum _ {{k = 1}} ^ {{+ \ infty}} a_ {k}$ .

Prin urmare, prin pozare $a_{k}={\frac {1}{k!}}$ ${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {k!}}}$ $a_ {k} = {\ frac 1 {k!}}$ , numărul lui Napier $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , cu notațiile de mai sus, pot fi scrise într-unul din următoarele moduri

$e=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}$ ${\ displaystyle e = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {k}}$ $e = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{+ \ infty}} a_ {k}$ sau $e=1+\sum _{k=1}^{+\infty }a_{k}$ ${\ displaystyle e = 1 + \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} a_ {k}}$ $e = 1 + \ sum _ {{k = 1}} ^ {{+ \ infty}} a_ {k}$ .

În mod similar cu ceea ce se întâmplă pentru limite, suma elementelor infinite poate fi finită, infinită sau chiar nedefinită ca în cazul seriei $1-1+1-1+1-...$ ${\ displaystyle 1-1 + 1-1 + 1 -...}$ $1-1 + 1-1 + 1 -...$ , numit seria Grandi .

Derivat

Același subiect în detaliu: Derivat .

Linie tangentă la o funcție într-un punct (în roșu). Derivata funcției în acel punct este coeficientul unghiular al acelei linii

Conceptul de derivată joacă un rol fundamental în calcul și în toate analizele matematice. Definită ca limită a raportului incremental , derivata cuantifică tipul de creștere al unei funcții și are aplicare în toate științele.

Noțiunea de derivată definește și studiază conceptele de maxim și minim al unei funcții , de concavitate și convexitate : derivata este deci un instrument fundamental pentru studierea unei funcții .

Prin intermediul unei liste de reguli de derivare este posibil să se calculeze derivata oricărei funcții definite prin combinarea funcțiilor elementare.

Conceptul de derivată se extinde și la funcțiile multi-variabile prin noțiunea de derivată parțială .

Grâu integral

Același subiect în detaliu: Integral .

Reprezentarea grafică a integralei Riemann

Integrala este un alt instrument fundamental de calcul infinitesimal . Este utilizat în principal pentru a calcula ariile și volumele figurilor curbate, cum ar fi elipsa sau partea planului cartezian mărginită de o funcție.

Pentru teorema fundamentală a calculului integral , integralul este în esență o operație inversă cu cea a derivatei. Cu toate acestea, diferă de acesta deoarece, spre deosebire de ceea ce se întâmplă pentru derivată, nu există algoritmi care să permită calcularea integralei oricărei funcții definite pornind de la funcții elementare. Cu toate acestea, există numeroase metode de integrare cu ajutorul cărora se pot rezolva majoritatea integralelor mai simple, adesea rezumate în tabele adecvate.

Începând cu secolul al XIX-lea , conceptul de integral a devenit din ce în ce mai legat de conceptul de măsurare . Însăși definiția integralului este legată de o problemă fundamentală a modului de „măsurare” a lungimilor, ariilor și volumelor subseturilor de linie, plan, spațiu. Fiecare posibil răspuns la această întrebare oferă o definiție a integralului: cele mai utilizate definiții sunt integralul Riemann și integralul Lebesgue .

Seria Taylor

Același subiect în detaliu: seria Taylor .

Seria Taylor care aproximează funcția cosinusului în planul complex

Seria Taylor a unei funcții analitice vă permite să scrieți funcția ca o serie de putere . Pentru o funcție analitică $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ avem asta:

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n}, }

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n}, }

unde este $n!$ ${\ displaystyle n!}$ ${\ displaystyle n!}$ este factorialul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $f^{(n)}(a)$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (a)}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (a)}$ este derivatul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea din $f$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ în sens $la .$ ${\ displaystyle a.}$ ${\ displaystyle a.}$ De sine $a=0,$ ${\ displaystyle a = 0,}$ ${\ displaystyle a = 0,}$ seria se numește seria Maclaurin și este

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n}.}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n}.}

Trunchierea expansiunii seriei Taylor la o anumită ordine

n

{\ displaystyle n}

n

obținem un polinom de ordine

n

{\ displaystyle n}

n

care aproximează funcția dezvoltată în serie cu o eroare egală cu un infinitesimal de ordine mai mare decât gradul polinomului însuși. Acest polinom se numește polinomul lui Taylor . Utilizarea Taylors este deosebit de utilă în analiza matematică și în științele matematice aplicate precum fizica, ingineria etc. De exemplu, dacă o funcție nu este integrabilă elementară, datorită utilizării expansiunilor seriei Taylor, este încă posibil să se calculeze o primitivă , aproximativă în jurul punctului în care polinomul de ordine Taylor

n

{\ displaystyle n}

n

: De fapt, întrucât polinomul Taylor este, în general, o funcție alcătuită din sume de funcții „mai simple” decât cea inițială, este „mai ușor” să aplici tehnicile uzuale pentru calcularea integralelor pe el

O altă utilizare importantă a seriei constă în a putea extinde orice funcție analitică în mod unic la o funcție holomorfă definită în planul complex și această posibilitate pune la dispoziție întregul mecanism al analizei complexe . Există, de asemenea, alte evoluții în serie , cum ar fi, de exemplu, cea a lui Laurent .

Studiul funcției

Studiul funcției este studiul tendinței sau graficului unei funcții care evidențiază maximul și minimul său (relativ și absolut), asimptotele (orizontale și verticale), inflexiunile (orizontale și verticale), concavitatea și zona subiacentă, prin utilizarea instrumentelor tipic pentru analiza sau limita matematică menționată mai sus, derivată și integrală.

Sectoare

Calcul infinitesimal

Același subiect în detaliu: calcul Infinitezimal .

Calculul este fundamentul analizei matematice: include noțiunea de limită și diverse aplicații legate de studiul funcțiilor , care pot fi variabile reale sau complexe . Prin conceptul de limită, calculul infinitesimal definește și studiază noțiunile de convergență a unei secvențe sau a unei serii , continuitate , derivată și integrală .

Calculul este baza analizei matematice și este un instrument utilizat în aproape toate domeniile matematicii și fizicii și științei în general.

Analiza armonică

Același subiect în detaliu: Analiza armonică .

Analiza funcțională

Același subiect în detaliu: Analiza funcțională .

Calculul variațiilor

Același subiect în detaliu: Calculul variațiilor .

Teoria măsurătorilor

Același subiect în detaliu: Măsură (matematică) .

Analiza vectorială

Același subiect în detaliu: Calculul vectorial .

Analiza complexă

Același subiect în detaliu: Analiza complexă .

Analiză nestandardizată

Același subiect în detaliu: analiza non-standard .

Teoria analitică a numerelor

Același subiect în detaliu: teoria analitică a numerelor .

Bibliografie

Istorie

„Metoda” lui Enrico Rufini Arhimede și originile analizei infinitesimale în antichitate. (Roma: Editura Alberto Stock, 1926)

Texte

Guido Fubini Lecții de analiză matematică (Torino: Companie națională de tipografie, 1920)
Ulisse Dini Lecții în analiza infinitesimală. (Pisa: Nistri, 1907-15) t.1 t. 2, prima parte t. 2 a doua parte
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone (1998): Mathematical Analysis One , Liguori Editore, Napoli, ISBN 9788820728199
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone (2020): Lessons in Mathematical Analysis Due , Zanichelli, ISBN 9788808520203
Walter Rudin (1953): Principiile analizei matematice , McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1
(EN) Errett Bishop , Douglas Bridges (1985): Analiza constructivă, Springer, ISBN 0-387-15066-8
( EN ) Serge Lang (1987): Calculul mai multor variabile , ediția a 3-a, Springer, ISBN 0-387-96405-3
( EN ) Serge Lang (1993): Analiza reală și funcțională , ediția a III-a, Springer, ISBN 0-387-94001-4
( EN ) AW Knapp (2005): Basic Real Analysis , Birkhauser , ISBN 0-8176-3250-6
( EN ) GV Milovanović (1998): Progres recent în inegalități , Kluwer, ISBN 0-7923-4845-1
( EN ) Nicolas Bourbaki (2004): Elements of Mathematics. Funcțiile unei variabile reale - Ch.I Derivate. Cap. II Primitive și integrale. Cap.III Funcțiile elementare. Ch.IV Ecuații diferențiale. Ch.V Studiul local al funcțiilor. Ch.VI Expansiunea generalizată a lui Taylor, formula sumă a lui Euler MacLaurin. Funcția Gamă Ch.VII. , Springer, ISBN 3-540-65340-6

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikibooks conține texte sau manuale privind analiza matematică
Wikționarul conține lema dicționarului « analiză matematică »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre analiza matematică

linkuri externe

( EN ) Analiză matematică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Site informativ , pe ripmat.it .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 2599 · LCCN (EN) sh85082116 · GND (DE) 4001865-9 · BNF (FR) cb131626631 (dată) · BNE (ES) XX525032 (dată) · NDL (EN, JA) 00.56462 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy

V · D · M Domenii de matematică
Logica matematică	Teoria mulțimilor · Teoria modelelor · Teoria probei
Algebră	Teoria grupelor · Teoria inelelor · teoria câmpului · Algebra Computațională
Teoria numerelor	Aritmetica · Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor
Matematică discretă	Combinatorie · Teoria ordinelor · Teoria jocurilor
Geometrie	Geometrie diferențială · Geometrie discretă · Topologie · Geometrie combinatorie · Geometrie algebrică
Analiza matematică	Calculul · Analiza cuprinzătoare · Analiza non - standard · Analiza armonică · Analiza funcțională · Teoria măsurării · ecuațiilor diferențiale · Teoria operatorilor
Teoria probabilității și statisticile	Procese stochastice
Fizica matematică	Mecanică clasică · Sisteme dinamice · Mecanică statistică · Mecanică cuantică · Mecanica fluidelor
Analiză numerică și cercetare operațională	Teoria aproximării · Integrare numerică · Optimizare
Matematică complementară	Istoria matematicii · Didactica matematicii · Matematica recreativă
Alte	Matematică Biologie · Matematică financiară · Criptografie