Analiză nestandardizată

Analiza non-standard este o re-fundamentare a analizei matematice care recuperează parțial abordarea (originală) a lui Leibniz și conceptul de infinitesimal . A fost introdus la începutul anilor 1960 de Abraham Robinson , care a publicat analiza non-standard fundamentală în 1966. Analiza non-standard a făcut obiectul criticilor din partea diferiților autori, în special Errett Bishop, Paul Halmos și Alain Connes .

fundal

Calculul infinitesimal creat de Leibniz în secolul al XVII-lea s-a bazat în esență pe conceptul de infinitesimal. Pentru Leibniz infinitimele sunt numere mai mici, în valoare absolută, ale oricărui număr real pozitiv, dar sunt diferite de zero; un tip de numere pentru care Leibniz presupunea că regulile obișnuite ale algebrei continuau să se aplice.

Datorită conceptului de infinitesimal devine ușor să se introducă conceptele de derivat și integral și să se deducă regulile de derivare și integrare: se naște calculul infinitesimal .

Conceptul de infinitesimal ascundea totuși o contradicție logică, evidențiată de George Berkeley : infinitesimalele sunt uneori considerate diferite, alteori egale cu zero.

Pentru a rezolva această problemă, în secolul al XIX-lea, Augustin Cauchy și Karl Weierstrass au re-întemeiat calculul infinitesimal, abolind infinitesimalele și introducând conceptul de limită : în acest fel s-au depășit contradicțiile inerente conceptului de infinitesimal, cu prețul unei complicații a definiții și demonstrații. Odată ce infinitesimalele au fost abolite, calculul infinitesimal a fost transformat în analiză matematică .

În secolul al XX-lea Abraham Robinson , un matematician german care a emigrat în SUA, în cursul studiilor sale de logică a descoperit că seturile numerice puteau fi extinse cu numere „non-standard” care le-au moștenit proprietățile. Pentru setul de numere reale acestea au fost infinitesimale ale lui Leibniz, dar definite într-un mod riguros: a fost astfel posibilă refondarea analizei asupra conceptului de infinitesimal, Robinson a făcut acest lucru în cartea sa Non-standard Analysis (1966). Și „analiză non-standard” este numele dat acestei noi formulări a analizei. Definițiile și dovezile redescoperă simplitatea și liniaritatea calculului lui Leibniz.

În 1973, Kurt Gödel , poate cel mai faimos matematician al secolului al XX-lea , spunea: „Există motive întemeiate să credem că analiza non-standard într-o versiune sau alta va fi analiza viitorului”, dar predicția este încă departe de a fi realizat. După Robinson a existat o înflorire a studiilor și încercărilor de reformulare a analizei asupra conceptului de infinitesimal, ca în cazul Analizei Infinitesimale Smooth (SIA).

Metoda lui Leibniz și criticile lui Berkeley

Pentru Leibniz derivata este, prin definiție, relația dintre infinitesimal $d y$ ${\ displaystyle dy}$ $dy$ iar infinitesimalul $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ ; în simboluri:

$f'(x)={dy \over dx}={{f(x+dx)-f(x)} \over {dx}}$ ${\ displaystyle f '(x) = {dy \ over dx} = {{f (x + dx) -f (x)} \ over {dx}}}$ $f '(x) = {dy \ over dx} = {{f (x + dx) -f (x)} \ over {dx}}$

Un exemplu simplu poate clarifica acum natura criticilor lui Berkeley; ia în considerare funcția $y=x^{2}$ ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$ $y = x ^ {2}$ . Aplicând definiția pe care o avem:

${dy \over dx}={{(x+dx)^{2}-x^{2}} \over {dx}}={{x^{2}+2xdx+dx^{2}-x^{2}} \over dx}={{2xdx+dx^{2}} \over dx}$ ${\ displaystyle {dy \ over dx} = {{(x + dx) ^ {2} -x ^ {2}} \ over {dx}} = {{x ^ {2} + 2xdx + dx ^ {2} -x ^ {2}} \ over dx} = {{2xdx + dx ^ {2}} \ over dx}}$ ${dy \ over dx} = {{(x + dx) ^ {2} -x ^ {2}} \ over {dx}} = {{x ^ {2} + 2xdx + dx ^ {2} -x ^ {2}} \ over dx} = {{2xdx + dx ^ {2}} \ over dx}$

ridicând acum la factor $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ în numărător obținem:

${{dy \over dx}=2x+dx}$ ${\ displaystyle {{dy \ over dx} = 2x + dx}}$ ${{dy \ over dx} = 2x + dx}$

Dar $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ este infinitesimal și, prin urmare, neglijabil în comparație cu numărul real $2x$ ${\ displaystyle 2x}$ $2x$ , deci derivatul deține:

${{dy \over dx}=2x}$ ${\ displaystyle {{dy \ over dx} = 2x}}$ ${{dy \ over dx} = 2x}$

La această eliminare a infinitesimalului $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ s-au remarcat critici asupra lui Berkeley: când se împarte la $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ se presupune că este diferit de zero (permițând astfel o astfel de împărțire) și când ștergeți fișierul $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ se presupune că este zero; Berkeley concluzionează că infinitesimalele sunt entități contradictorii care le definesc în mod ironic ca fantome ale cantităților plecate .

Mai mult, în matematică există o proprietate, proprietatea lui Arhimede, care trebuie să dețină pentru fiecare număr real: că pentru fiecare număr real pozitiv a, trebuie să existe un număr natural n astfel încât a să fie mai mare decât reciprocul lui n:

${{1 \over n}<a}$ ${\ displaystyle {{1 \ over n} <a}}$ ${{1 \ peste n} <a}$

Această proprietate nu poate fi valabilă pentru infinitesimali, deoarece Leibniz definise infinitesimalii ca fiind cele mai mici numere imaginabile și, prin urmare, nu ar putea exista numere reale mai mici.

Există două posibilități pentru a depăși aceste obiecții:

abolirea infinitesimalelor și refondarea calculului pe baze noi, calea aleasă de Cauchy și Weierstrass;
redefinind riguros conceptele de infinitesimal și derivat, calea lui Abraham Robinson.

Derivatul conform lui Robinson

Robinson introduce infinitesimale ca numere $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ astfel încât, pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ natural> 0 este:

${0<dx<{1 \over n}}$ ${\ displaystyle {0 <dx <{1 \ over n}}}$ ${0 <dx <{1 \ peste n}}$

Suma unui număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și un număr infinitesimal $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ se numește apoi un număr hiperreal $x+dx$ ${\ displaystyle x + dx}$ $x + dx$ , un pic ca suma unui număr real și a unui număr imaginar constituie un număr complex .

Noua funcție este, de asemenea, definită $st(x)$ ${\ displaystyle st (x)}$ $st (x)$ partea standard care, dată un număr hiperreal, își returnează partea reală; de exemplu.

$st(2+3dx)=2$ ${\ displaystyle st (2 + 3dx) = 2}$ $st (2 + 3dx) = 2$

În acest moment, noua definiție a derivatului este pur și simplu:

$f'(x)=st\left({{f(x+dx)-f(x)} \over {dx}}\right)$ ${\ displaystyle f '(x) = st \ left ({{f (x + dx) -f (x)} \ over {dx}} \ right)}$ $f '(x) = st \ left ({{f (x + dx) -f (x)} \ over {dx}} \ right)$

În exemplul funcției $y=x^{2}$ ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$ $y = x ^ {2}$ eliminarea finală a infinitesimalului $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ este acum pe deplin justificat.

${dy \over dx}=st(2x+dx)=2x$ ${\ displaystyle {dy \ over dx} = st (2x + dx) = 2x}$ ${dy \ over dx} = st (2x + dx) = 2x$

Prin urmare, pentru Robinson, infinitezimele sunt cu siguranță diferite de zero și eliminarea lor este justificată de utilizarea funcției $st(x)$ ${\ displaystyle st (x)}$ $st (x)$ .

Definiția integralului și dovada teoremei fundamentale a calculului integral sunt, de asemenea, mult simplificate folosind această abordare.

Notă

Bibliografie

Abraham Robinson , Non-standard Analysis , Princeton University Press, ISBN 0-691-04490-2 .
Carl B. Boyer , Istoria calculului și dezvoltarea sa conceptuală , Dover, ISBN 0-486-60509-4 .
Richard Courant - Herbert Robbins , Ce este matematica? , Universale Bollati Boringhieri , ISBN 88-339-1200-0 , Cap. 9, p. 620.
Howard Jerome Keisler , Elemente de analiză matematică , Padova, editor Piccin, 1982. ISBN 88-212-0969-5 .

linkuri externe

Introducere în analiza non-standard și un model de numere hiperreale de Riccardo Dossena , ambele descărcabile din [1]

Controlul autorității	Tezaur BNCF 60926 · LCCN (EN) sh85082118 · BNF (FR) cb121361735 (data) · NDL (EN, JA) 00.576.347

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică