Unghi de paralelism

Unghiul paralelismului în modelul pe jumătate de plan . Aici normalul

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

este verticală. Liniile

R.

{\ displaystyle R}

R.

Și

Î

{\ displaystyle Q}

Î

sunt asimptotic paralele: ambele converg spre punctul de la infinit 1.

În geometria hiperbolică , unghiul de paralelism este o mărime dependentă de o linie $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și un punct $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ disjunct de la $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Indică unghiul minim cu care o linie paralelă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și trecând prin $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ formează cu a normal $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ trecând prin $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Spre deosebire de ceea ce se întâmplă în geometria euclidiană , unghiul de paralelism nu este drept , ci acut .

Definiție

Este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ o linie în planul hiperbolic e $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ un punct în afara acestuia. Este $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ linia perpendiculară pe $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ trecând prin $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ o linie dreaptă prin $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și asimptotic paralel cu $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Unghiul acut format de liniile drepte $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este unghiul de paralelism al $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Proprietate

Toate liniile incluse între

X

{\ displaystyle x}

X

Și

y

{\ displaystyle y}

y

desenate aici sunt paralele cu linia

L

{\ displaystyle l}

L

.

Linii paralele

Unghiul paralelismului poate fi definit și în mod similar în geometria euclidiană : în această geometrie, se dovedește întotdeauna a fi un unghi drept și, prin urmare, este mai puțin interesant. În geometria hiperbolică , unghiul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ în schimb este un unghi acut , care poate varia în intervalul deschis $(0,\pi /2)$ ${\ displaystyle (0, \ pi / 2)}$ ${\ displaystyle (0, \ pi / 2)}$ .

În geometria hiperbolică, liniile paralele a $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ trecători pentru $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt infinite. Acestea sunt exact liniile pe care le formează cu normalul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ un unghi acut mai mare sau egal cu $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Cele două linii drepte cu un unghi de paralelism $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ sunt asimptotic paralele cu $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Toate liniile cu un unghi mai mare de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ sunt ultra-paralele cu $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Dependența la distanță

Unghiul paralelismului $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ în realitate depinde doar de distanță $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ între punct $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și linia dreaptă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Prin urmare, este o funcție $\theta (d)$ ${\ displaystyle \ theta (d)}$ ${\ displaystyle \ theta (d)}$ definit pentru orice valoare non-negativă a $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ . Aceasta este o funcție descendentă . Relația dintre $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ poate fi exprimat concret cu una dintre următoarele formule, toate echivalente:

$\tan {\frac {\theta }{2}}=e^{-d},$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = e ^ {- d},}$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = e ^ {- d},}$
$\sin \theta ={\frac {1}{\cosh d}},$ ${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ cosh d}},}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ cosh d}},}$
$\tan \theta ={\frac {1}{\sinh d}},$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {1} {\ sinh d}},}$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {1} {\ sinh d}},}$
$\cos \theta =\tanh d.$ ${\ displaystyle \ cos \ theta = \ tanh d.}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta = \ tanh d.}$

Limite

Când distanța $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ tinde spre zero, unghiul de paralelism $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ tinde spre unghiul drept $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ . Acest fapt este în conformitate cu următorul principiu: geometria hiperbolică, citită local și privită cu o lupă, seamănă cu geometria euclidiană (acesta este un principiu general al geometriei riemanniene , valabil de exemplu și în geometria sferică ).

În formulele anterioare am presupus spațiul hiperbolic având o curbură negativă -1. Într-un spațiu hiperbolic cu curbură negativă arbitrară $k<0$ ${\ displaystyle k <0}$ ${\ displaystyle k <0}$ , cele două cantități sunt corelate conform următoarei formule:

\tan {\frac {\theta }{2}}=e^{-{\frac {d}{k}}},

{\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = e ^ {- {\ frac {d} {k}}},}

{\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = e ^ {- {\ frac {d} {k}}},}

Elemente conexe

Paralelismul în geometria hiperbolică

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică