Paradoxul lui Russell

Bertrand Russell.

Paradoxul lui Russell, formulat de filosoful și logicianul britanic Bertrand Russell între 1901 și 1902 ^[1] ^[2] , este una dintre contradicțiile cele mai importante din istoria filozofiei și logicii ^[3] . Se poate afirma astfel: Ansamblul tuturor mulțimilor care nu le aparțin aparțin ei înșiși dacă și numai dacă nu îi aparține.

Este mai adecvat cel al unei antinomii a unui paradox: un paradox este o concluzie logică și nu contradictorie care intră în conflict cu modul nostru obișnuit de a vedea lucrurile, în timp ce antinomia este o propoziție care este contradictorie de sine atât în cazul în care este adevărat, atât în cazul este fals ^[4] .

Antinomia lui Russell poate fi exprimată în mod „intuitiv” prin intermediul altor formulări, cum ar fi paradoxul frizerului sau al bibliotecarului ; Mai mult, se bazează pe un raționament similar cu cel care duce atât la paradoxul Grelling-Nelson ^[3] ^[4] , care, în cele din urmă, chiar la paradoxul mincinosului.

Paradoxul lui Russell a jucat un rol cheie în criza bazelor matematicii , care la rândul său a avut o pondere semnificativă în criza mai largă care a afectat certitudinile fundamentale ale fizicii , filozofiei și, într-adevăr, ale matematicii de la începutul secolului al XX-lea. , criza care este adesea asociată cu prăbușirea doctrinelor filosofice ale pozitivistului mold ^[3] . În special, el a arătat natura contradictorie a seturilor de teorii naive (sau intuitive) ale lui Georg Cantor , care foloseau instrumente matematice similare cu cele pe care se baza Gottlob Frege, în încercarea de a produce o bază completă a logicii matematice (astfel încercarea merge sub numele de Logicism ). În încercarea de a rezolva contradicția, pentru a menține validitatea ideii (în spatele Logicismului) pe care matematica poate fi bazată în întregime prin logică, Russell a dezvoltat în colaborare cu Alfred North Whitehead teoria tipurilor , expusă în cartea lor Principia Mathematica ^[3] .

Antinomia

În cadrul teoriei intuitive a lui Cantor , seturile pot fi definite într-un mod complet gratuit, adică pot fi create seturi cu caracteristici arbitrare: dată fiind o proprietate, identifică întotdeauna un set, adică acela al tuturor obiectelor care se bucură de el ^[5] . Russell și-a imaginat crearea unei subdiviziuni a seturilor în două categorii:

Mulțimile care se au între ele între ele, adică mulțimile care le aparțin; adesea citat ca exemplu „ansamblul tuturor conceptelor abstracte”, care îi aparține pentru că, la rândul său, este un concept abstract.

x\in x

{\ displaystyle x \ in x}

{\ displaystyle x \ in x}

Mulțimile care nu se au între ele între ele, adică mulțimile care nu le aparțin; De exemplu, așa cum a menționat Russell însuși, „setul tuturor ceaștilor de ceai” nu este o ceașcă de ceai ^[2] .

x\not \in x

{\ displaystyle x \ not \ in x}

{\ displaystyle x \ not \ in x}

Dacă definim R ca mulțimea tuturor seturilor care nu le aparțin, vom:

\ R=\{x\mid x\not \in x\}

{\ displaystyle \ R = \ {x \ mid x \ not \ in x \}}

{\ displaystyle \ R = \ {x \ mid x \ not \ in x \}}

Problema pusă de Russell în acest moment a fost mai mică sau dacă R îi aparține. Dar, presupunând, de exemplu, că R îi aparține, am avea asta:

R îi aparține;
Prin urmare, R satisface definiția;
Prin urmare, R este unul dintre „mulțimile care nu le aparțin”;
Prin urmare, R nu aparține în sine, ceea ce contrazice prima afirmație.

Începând în schimb afirmația contrară, adică presupunând că R nu îi aparține, el ar avea:

R nu îi aparține;
Prin urmare, R nu satisface definiția;
Prin urmare, R nu este unul dintre „mulțimile care nu le aparțin”;
Prin urmare, R este un set care îi aparține, care contrazice prima afirmație.

În termeni logici:

R\in R\iff R\not \in R

{\ displaystyle R \ in R \ if R \ not \ in R}

{\ displaystyle R \ in R \ if R \ not \ in R}

În rezumat, paradoxul lui Russell poate fi afirmat după cum urmează: ansamblul tuturor mulțimilor care nu le aparțin aparțin ei înșiși dacă și numai dacă nu îi aparține. Oficial,

{\text{se }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, allora }}R\in R\iff R\not \in R

{\ displaystyle {\ text {if}} R = \ {x \ mid x \ not \ in x \} {\ text {, atunci}} R \ in R \ if R \ not \ in R}

{\ displaystyle {\ text {if}} R = \ {x \ mid x \ not \ in x \} {\ text {, atunci}} R \ in R \ if R \ not \ in R}

Istorie

Descoperirea antinomiei

Bertrand Russell a ajuns la antinomia sa la începutul secolului al XX-lea, simplificând teorema Cantor ^[6] .

În aceeași perioadă, celebra logică germană Gottlob Frege , cel mai important exponent al logicistului programului, încerca să stabilească riguros întreaga construcție a logicii matematice; în 1879 lucrarea sa Ideografia pusese baza acelui limbaj simbolic și formal prin care Frege își propunea să definească cu evidențiere absolută conceptele fundamentale ale matematicii ^[7] .

La momentul descoperirii antinomiei lui Russell, el publicase, de asemenea, primul volum din Principiile sale de aritmetică, în care trecea la conceptele reale de „logicizare” pe care alți matematicieni ( Dedekind și Peano ) le-au arătat ca fiind baza ' aritmetică și, prin urmare, a tuturor matematicii. Cu toate acestea, la 16 iunie 1902 , Russell i-a scris lui Frege o scrisoare prin care îl informa despre modul în care descoperise o antinomie legată de subiectele Principiilor aritmeticii, filosoful britanic citise cu aproximativ un an înainte. Punctul critic al încercării logicienilor de a întemeia matematica pe logică (care este și punctul critic al teoriei mulțimilor lui Cantor ) a fost axioma numită „a abstractizării”, conform căreia fiecare proprietate identifică setul de obiecte care satisfac; proprietatea de a nu-i aparține, de fapt, dă naștere unui set prin caracteristicile contradictorii ^[8] .

Al doilea volum al operei lui Frege a apărut câteva luni mai târziu, în 1903 , iar autorul său nu a putut adăuga decât un apendice în care antinomia și mărturisirea disperării sale făcute publice prin deschiderea „crizei bazelor matematicii”:

„Aceasta nu se datorează în special metodei mele de fundamentare, ci posibilitatea unei fundamentări logice a aritmeticii în general ^[9] .”

Între timp, antinomia a fost redescoperită de Ernst Zermelo și ar trebui amintită, așa cum se anticipase, cu câțiva ani înainte de Georg Cantor ^[6] .

Consecințele paradoxului lui Russell

La sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea , mai mulți matematicieni și filosofi începuseră să pună la îndoială problema „fundamentelor matematicii”, adică definiția precisă a bazelor capabile să întemeieze întregul edificiu conceptual al matematicii. Atenția, care anterior se concentra aproape exclusiv pe conținutul judecăților matematice, s-a îndreptat în acest moment asupra justificării judecăților în sine ^[10] .

Cele trei perspective principale asupra problemei fundamentelor logistice , intuiționiste și formaliste .

Antinomia lui Russell, precum și a dat o lovitură logicismului au generat probleme împotriva cărora s-au luptat toți matematicienii contemporani ai săi și care - în ciuda mai multor încercări de a găsi răspunsuri la paradox - au rămas insolubili atât pentru teoria tipurilor dezvoltată de Russell împreună cu Whitehead ^{[ 11]} , ambele ale intuiționismului Luitzen Brouwer atât formalismul lui David Hilbert .

Era logic austriac Kurt Gödel că, în 1931, rezolvat definitiv problema tout instanței care să demonstreze incapacitatea de a produce o anumită fundație de aritmetică. Descoperirile sale sunt stabilite de două teoreme de incompletitudine ^[12] .

În ceea ce privește „ setul-teoretic , contradicțiile evidențiate de paradoxul lui Russell sunt insolubile în teoria Cantor, dacă nu generează alte paradoxuri; pentru a depăși acest obstacol au fost elaborate diferite teorii axiomatice mai stricte: cea care a urmat mai mult a fost teoria seturilor lui Zermelo-Fraenkel , inițial formulată de Ernst Zermelo și perfecționată de Abraham Fraenkel și Thoralf Skolem care, cu extensiile succesive (de exemplu, teoria ZFC ), oferă încă baza teoretică pentru majoritatea construcțiilor matematice. Vechea teorie a mulțimilor (care este încă utilizată pe scară largă la nivel educativ și informativ) se numește teoria intuitivă a mulțimilor , spre deosebire de teoria axiomatică a mulțimilor.

Alte paradoxuri logice

Între sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea, alte contradicții au contribuit la subminarea bazelor logice și conceptuale pe care le-a dat matematica și, prin urmare, programul de înființare a matematicii în sine, pe baza unor motive logice, că acestea erau protejate de orice contradicție. Alături de paradoxul lui Russell, ne amintim:

Notă

^ F. Cioffi, F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette, Diálogos, Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori, 2000, p. 195 vol. 3 autori și texte, ISBN 88-424-5264-5 .
^ ^A ^b P. Odifreddi, Diavolul într-un scaun, Einaudi, 2003, p. 205, ISBN 88-06-18137-8 .
^ ^A ^b ^c ^d Cioffi , p. 196 vol. 3 autori și texte.
^ ^A ^b W. Maraschini, M. Palma, Format, Spe, Pearson, 2002, pp. 551 vol. 3, ISBN 88-395-1435-X .
^ Faptul că mulțimile pot fi formate în mod arbitrar, ca „extensii conceptuale ale unei proprietăți” și că, prin urmare, fiecare proprietate identifică întotdeauna setul de obiecte care o satisfac, constituie „axioma abstractizării”, una dintre cele două axiome la baza Teoria logistică a lui Frege. Celălalt a fost „principiul extensionalității”, conform căruia dacă două seturi sunt alcătuite din toate și numai elemente egale, atunci acestea sunt egale. Axioma abstractizării este adevărata cauză a apariției antinomiei lui Russell, acesta este punctul atât al raționamentului contradictoriu Frege, atât al teoriei seturilor Cantor Vezi Maraschini , p. 550 și Cioffi , p. 115 vol. 3 Probleme.
^ ^A ^b Odifreddi , p. 206.
^ Maraschini , p. 464.
^ Cioffi , p. 116 vol. 3 Probleme.
^ Maraschini , p. 550.
^ Clementina Ferrandi, Filosofie și știință - Un amestec fructuos, Torino, The Capital, 1991, pp. 170-171 vol. 3.
^ Pentru a depăși contradicția pusă de antinomia sa, Russell a elaborat mai târziu, în colaborare cu filosoful și matematicianul British Whitehead, teoria tipurilor; s-a bazat pe ideea că seturile ar trebui clasificate ierarhic, astfel încât un set să poată fi membru al altuia numai dacă acesta din urmă este de tip mai „general”: seturile au fost împărțite în diferite niveluri, astfel încât la nivelul 0 existau elementele, la nivelul 1 seturile de elemente, la nivelul 2 seturile de seturi de elemente și așa mai departe. Faptul lui Russell identificat ca fiind cauza esențială a contradicției că un limbaj sau o teorie ar putea face afirmații despre ei înșiși, și anume „ sinele ”. Teoria tipului este expusă în cartea lui Russell și Whitehead, Principia Mathematica , scrisă între 1910 și 1913 . Vezi Maraschini , p. 551.
^ Cioffi , p. 122 vol. 3 Probleme.

Bibliografie

F. Cioffi, F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette, Dialoguri, publicat de Addison School, 2000, voi. 3 autori și texte și vol. 3 Probleme, ISBN 88-424-5264-5 .
C. Ferrandi, Filosofie și știință - Un amestec fructuos, Torino, Capitala, 1991, vol. 3.
W. Maraschini, M. Palma, Format, Spe, Pearson, 2002 ISBN 88-395-1435-X .
P. Odifreddi, Diavolul într - un scaun, Einaudi, 2003, ISBN 88-06-18137-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Paradox of Russell , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de filosofie

Portalul de matematică

[1] F. Cioffi, F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette, Diálogos, Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori, 2000, p. 195 vol. 3 autori și texte, ISBN 88-424-5264-5 .

[odifreddi_205-2] A ^b P. Odifreddi, Diavolul într-un scaun, Einaudi, 2003, p. 205, ISBN 88-06-18137-8 .

[dialogos_196-3] A ^b ^c ^d Cioffi , p. 196 vol. 3 autori și texte.

[format_551-4] A ^b W. Maraschini, M. Palma, Format, Spe, Pearson, 2002, pp. 551 vol. 3, ISBN 88-395-1435-X .

[5] Faptul că mulțimile pot fi formate în mod arbitrar, ca „extensii conceptuale ale unei proprietăți” și că, prin urmare, fiecare proprietate identifică întotdeauna setul de obiecte care o satisfac, constituie „axioma abstractizării”, una dintre cele două axiome la baza Teoria logistică a lui Frege. Celălalt a fost „principiul extensionalității”, conform căruia dacă două seturi sunt alcătuite din toate și numai elemente egale, atunci acestea sunt egale. Axioma abstractizării este adevărata cauză a apariției antinomiei lui Russell, acesta este punctul atât al raționamentului contradictoriu Frege, atât al teoriei seturilor Cantor Vezi Maraschini , p. 550 și Cioffi , p. 115 vol. 3 Probleme.

[odifreddi_206-6] A ^b Odifreddi , p. 206.

[7] Maraschini , p. 464.

[8] Cioffi , p. 116 vol. 3 Probleme.

[format_550-9] Maraschini , p. 550.

[10] Clementina Ferrandi, Filosofie și știință - Un amestec fructuos, Torino, The Capital, 1991, pp. 170-171 vol. 3.

[11] Pentru a depăși contradicția pusă de antinomia sa, Russell a elaborat mai târziu, în colaborare cu filosoful și matematicianul British Whitehead, teoria tipurilor; s-a bazat pe ideea că seturile ar trebui clasificate ierarhic, astfel încât un set să poată fi membru al altuia numai dacă acesta din urmă este de tip mai „general”: seturile au fost împărțite în diferite niveluri, astfel încât la nivelul 0 existau elementele, la nivelul 1 seturile de elemente, la nivelul 2 seturile de seturi de elemente și așa mai departe. Faptul lui Russell identificat ca fiind cauza esențială a contradicției că un limbaj sau o teorie ar putea face afirmații despre ei înșiși, și anume „ sinele ”. Teoria tipului este expusă în cartea lui Russell și Whitehead, Principia Mathematica , scrisă între 1910 și 1913 . Vezi Maraschini , p. 551.

[12] Cioffi , p. 122 vol. 3 Probleme.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[ 11]

[12]

V · D · M Criza bazelor matematicii
Biografii	George Boole · Luitzen Brouwer · Georg Cantor · Richard Dedekind · Gottlob Frege · Kurt Gödel · David Hilbert · Peano · Henri Poincare · Bertrand Russell · Ludwig Wittgenstein
Ipoteze istorice	Pozitivism · Logicism
Elemente de criză	Paradoxul lui Russell ( de asemenea , paradoxul Barber · paradox bibliotecar · Grelling-Nelson paradox ) · Paradox Burali-Strong · Richard Paradox · Paradox Zermelo-König
Răspunsuri provizorii	Teoria tipurilor · Intuitionism · Formalism (de asemenea metalogic · logic-Philosophicus Tractatus · metamatematică · programul lui Hilbert )
Răspuns final	Teoreme de incompletitudine ale lui Gödel
Relațiile cu teoria mulțimilor	Teoria mulțimilor · teoria mulțimilor naive · Teoria axiomatică a seturilor ( de asemenea , teoria mulțimilor de Zermelo-Fraenkel · Set Teoria lui von Neumann-Bernays-Gödel )