Apotem (geometrie)

În geometrie , cu referire la poligoane regulate , apotema (indicată cu a ) ^[1] este raza circumferinței inscripționate și corespunde distanței fixe dintre centru și fiecare dintre laturi . Raportul dintre apotemă și latură este specific (și fix) pentru fiecare poligon regulat și depinde de numărul de laturi. Utilizarea sa principală este în calculul suprafețelor , combinate cu perimetrul , deoarece coincide și cu înălțimea n triunghiuri isoscele congruente în care poligonul este divizibil.

În mod similar, în geometria solidă , termenul indică: în piramide regulate, distanța vârfului de la latură la bază; în conuri drepte, distanța vârfului de la orice punct al cercului de bază.

În poligoane regulate

Apotem într-un octogon

În fiecare poligon regulat cu n laturi, aria totală poate fi împărțită în n triunghiuri isoscele congruente, ale căror baze coincid cu laturile poligonului în sine și laturile oblice cu segmentele care unesc vârfurile cu centrul aceluiași. Apotema atinge întotdeauna partea poligonului la punctul de mijloc și, fiind raza cercului față de aceasta întotdeauna perpendiculară, coincide cu înălțimea triunghiului isoscel, a cărui amplitudine la vârf măsoară o fracție exactă a unghiului rotund împărțit în n .

Prin urmare, se poate deduce că raportul dintre apotemă și latura unui poligon n -agonal regulat este întotdeauna constant și poate fi obținut a priori pur și simplu prin cunoașterea numărului de laturi prin relațiile trigonometrice care leagă elementele triunghiului. În acest caz, fiind un triunghi isoscel, apotema corespunde unui catet al unui triunghi dreptunghi având semilatul ca un alt catet ( $l/2$ ${\ displaystyle l / 2}$ ${\ displaystyle l / 2}$ ) a poligonului și prin hipotenuză circumradiusul și unghiul adiacent α egal cu π / n .

Luând în considerare deci $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ca raza circumferinței circumscrise a poligonului, $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ lungimea unei laturi a poligonului e $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ apotema ( $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în imaginea din lateral), se obțin următoarele rapoarte:

{\begin{aligned}l&=2R\operatorname {sen} {\frac {\pi }{n}}\\R&={\frac {l}{2\operatorname {sen} {\frac {\pi }{n}}}}\\a_{n}&=R\cos {\frac {\pi }{n}}={\frac {l\cos {\frac {\pi }{n}}}{2\operatorname {sen} {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {l}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} l & = 2R \ operatorname {sen} {\ frac {\ pi} {n}} \\ R & = {\ frac {l} {2 \ operatorname {sen} {\ frac {\ pi} {n}}}} \\ a_ {n} & = R \ cos {\ frac {\ pi} {n}} = {\ frac {l \ cos {\ frac {\ pi} {n} }} {2 \ operatorname {sen} {\ frac {\ pi} {n}}}} = {\ frac {l} {2 \ tan {\ frac {\ pi} {n}}}} \ end {aliniat }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} l & = 2R \ operatorname {sen} {\ frac {\ pi} {n}} \\ R & = {\ frac {l} {2 \ operatorname {sen} {\ frac {\ pi} {n}}}} \\ a_ {n} & = R \ cos {\ frac {\ pi} {n}} = {\ frac {l \ cos {\ frac {\ pi} {n} }} {2 \ operatorname {sen} {\ frac {\ pi} {n}}}} = {\ frac {l} {2 \ tan {\ frac {\ pi} {n}}}} \ end {align { }}}

Mai mult, datorită împărțirii în triunghiuri, este de asemenea posibil să înțelegem modul în care apotema facilitează foarte mult calculul suprafețelor în aceste cazuri; de fapt, este suficient să se calculeze aria triunghiului unic și apoi să se înmulțească cu numărul de laturi.

A_{n}=n{\frac {l\cdot a_{n}}{2}}

{\ displaystyle A_ {n} = n {\ frac {l \ cdot a_ {n}} {2}}}

{\ displaystyle A_ {n} = n {\ frac {l \ cdot a_ {n}} {2}}}

sau

A_{n}=s\cdot a_{n}

{\ displaystyle A_ {n} = s \ cdot a_ {n}}

{\ displaystyle A_ {n} = s \ cdot a_ {n}}

unde s reprezintă jumătatea perimetrului .

Numere fixe

Două numere fixe sunt, de asemenea, derivate clasic din apotemă, care sunt constante adevărate tipice fiecărui poligon regulat și care depind numai de numărul de laturi.

f _n raportul apotemă / lateral egal cu ${\frac {1}{2\tan {({\frac {\pi }{n}})}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ tan {({\ frac {\ pi} {n}})}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ tan {({\ frac {\ pi} {n}})}}}$
j _n raportul dintre aria poligonului și pătratul laturii ${\frac {nf_{n}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {nf_ {n}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {nf_ {n}} {2}}}$

Poligon	n	f _n	j _n
Triunghi	3	0,289	0,433
Pătrat	4	0,5	1
Pentagon	5	0,688	1.720
Hexagon	6	0,866	2.598
Heptagon	7	1,038	3.634
Octogon	8	1.207	4.828
Ennagono	9	1,374	6.182
Decagon	10	1,539	7.694
Endecagon	11	1,703	9.366
Dodecagon	12	1,866	11.196
Tridecagon	13	2.029	13.186
Tetradecagon	14	2.191	15.335
Pentadecagonul	15	2.352	17.642
Hexadecagon	16	2.514	20.109
Hectadecagon	17	2,675	22,736
Octadecagon	18	2.836	25,521
Ennadecagon	19	2.996	28,465
Icosagon	20	3.157	31.569

Notă

^ Simbolul a este foarte frecvent în textele de geometrie ale școlilor elementare și medii, dar având în vedere coincidența uneori a apotemului cu aterizarea, se poate întâmpla ca acesta să fie indicat cu simbolul acestuia din urmă r