Aplicație multiliniară

În matematică și mai precis în algebră liniară , o aplicație multiliniară este o funcție care generalizează conceptul de aplicație liniară la mai multe variabile. Exemple clasice de aplicații multiliniare sunt:

o aplicație liniară ,
determinantul și urmele ,
un produs scalar sau o formă biliniară mai generală.

Aplicațiile multiliniare sunt, de asemenea, baza definiției tensorului și a formei diferențiale și, prin urmare, sunt utilizate pe scară largă în topologia diferențială în studiul diferitelor varietăți . Au aplicații deosebit de importante în fizică , în special în relativitatea generală .

Termenii funcție și hartă multiliniară sunt sinonime.

Definiție și notații

Date $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ spații vectoriale $V_{1},\ldots ,V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {1}, \ ldots, V_ {n}}$ $V_ {1}, \ ldots, V_ {n}$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ pe același teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , o aplicație multiliniară este o funcție

f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\to W,

{\ displaystyle f: V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n} \ to W,}

{\ displaystyle f: V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n} \ to W,}

cu care se asociază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ transportatori $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ $v_ {1}, \ ldots, v_ {n}$ respectiv de $V_{1},\ldots ,V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {1}, \ ldots, V_ {n}}$ $V_ {1}, \ ldots, V_ {n}$ un vector $f(v_{1},\ldots ,v_{n})$ ${\ displaystyle f (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$ $f (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})$ care este liniar în fiecare componentă. Adică relația trebuie să fie valabilă

f(v_{1},\dots ,v_{i-1},\lambda v_{i}+\mu v'_{i},v_{i+1},\dots ,v_{n})=\lambda f(v_{1},\dots ,v_{n})+\mu f(v_{1},\dots ,v'_{i},\dots ,v_{n}),

{\ displaystyle f (v_ {1}, \ dots, v_ {i-1}, \ lambda v_ {i} + \ mu v '_ {i}, v_ {i + 1}, \ dots, v_ {n} ) = \ lambda f (v_ {1}, \ dots, v_ {n}) + \ mu f (v_ {1}, \ dots, v '_ {i}, \ dots, v_ {n}),}

{\ displaystyle f (v_ {1}, \ dots, v_ {i-1}, \ lambda v_ {i} + \ mu v '_ {i}, v_ {i + 1}, \ dots, v_ {n} ) = \ lambda f (v_ {1}, \ dots, v_ {n}) + \ mu f (v_ {1}, \ dots, v '_ {i}, \ dots, v_ {n}),}

pentru fiecare componentă $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , pentru fiecare n-pla de vectori $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ $v_ {1}, \ ldots, v_ {n}$ , pentru fiecare $v_{i},v'_{i}\in V_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}, v '_ {i} \ în V_ {i}}$ $v_ {i}, v '_ {i} \ în V_ {i}$ , și pentru fiecare pereche de scalari $\mu ,\lambda \in K$ ${\ displaystyle \ mu, \ lambda \ în K}$ $\ mu, \ lambda \ în K$ . Cu alte cuvinte, păstrarea fixă a tuturor variabilelor, cu excepția $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea obținem o aplicație liniară .

Dacă trebuie să evidențiați valoarea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , vorbim despre aplicații $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -liniar .

Dacă spațiu $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este tabăra de bază $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , atunci aplicația se numește formular multiliniar .

Dacă spații vectoriale $V_{1},\ldots ,V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {1}, \ ldots, V_ {n}}$ $V_ {1}, \ ldots, V_ {n}$ toate sunt egale între ele, adică:

V_{1}=\ldots =V_{n}=V

{\ displaystyle V_ {1} = \ ldots = V_ {n} = V}

V_ {1} = \ ldots = V_ {n} = V

produsul lor cartezian este indicat și cu $V^{n}$ ${\ displaystyle V ^ {n}}$ $V ^ {n}$ .

Setul de aplicații $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -liniar din $V_{1}\times \ldots \times V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}}$ $V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}$ la $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este indicat cu $L^{n}(V_{1}\times \ldots \times V_{n},K)$ ${\ displaystyle L ^ {n} (V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}, K)}$ $L ^ {n} (V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}, K)$ și se dovedește a fi un spațiu vector.

Exemple

O aplicație multiliniară

f:V^{n}\to K

{\ displaystyle f: V ^ {n} \ to K}

{\ displaystyle f: V ^ {n} \ to K}

este o aplicație liniară dacă $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ și o formă biliniară dacă $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ ${\ displaystyle n = 2}$ .

Determinantul unei matrice pătrate $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ la elemente din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o aplicație multiliniară

f:K^{n}\times \dots \times K^{n}\to K

{\ displaystyle f: K ^ {n} \ times \ dots \ times K ^ {n} \ to K}

{\ displaystyle f: K ^ {n} \ times \ dots \ times K ^ {n} \ to K}

cu care se asociază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectorii de coloană ai matricei un scalar. Urmărirea este, de asemenea, o astfel de aplicație multiliniară.

Forme multiliniare antisimetrice

O aplicație multiliniară alternează dacă se anulează atunci când se repetă un vector:

f(\ldots ,v,\ldots ,v,\ldots )=0

{\ displaystyle f (\ ldots, v, \ ldots, v, \ ldots) = 0}

f (\ ldots, v, \ ldots, v, \ ldots) = 0

De exemplu, $f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0$ ${\ displaystyle f (v_ {1}, \ ldots, v_ {k}) = 0}$ $f (v_ {1}, \ ldots, v_ {k}) = 0$ când transportatorii $v_{1},\ldots ,v_{k}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {k}}$ $v_ {1}, \ ldots, v_ {k}$ nu sunt toate distincte.

În general, $f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0$ ${\ displaystyle f (v_ {1}, \ ldots, v_ {k}) = 0}$ $f (v_ {1}, \ ldots, v_ {k}) = 0$ ori de câte ori i $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ sunt liniar dependente .

O aplicație multiliniară este antisimetrică dacă schimbul de doi vectori are ca rezultat o schimbare de semn:

f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{k})=-f(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{k}).

{\ displaystyle f (v_ {1}, \ ldots, v_ {i}, \ ldots, v_ {j}, \ ldots, v_ {k}) = - f (v_ {1}, \ ldots, v_ {j} , \ ldots, v_ {i}, \ ldots, v_ {k}).}

f (v_ {1}, \ ldots, v_ {i}, \ ldots, v_ {j}, \ ldots, v_ {k}) = - f (v_ {1}, \ ldots, v_ {j}, \ ldots , v_ {i}, \ ldots, v_ {k}).

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp cu alte caracteristici decât două (de exemplu, dacă este câmpul numerelor reale sau complexe ), cele două concepte coincid: o formă alternează dacă și numai dacă este antisimetrică.

Determinantul este o funcție multiliniară antisimetrică. Acesta este un exemplu cheie: dacă $V=K^{n}$ ${\ displaystyle V = K ^ {n}}$ $V = K ^ {n}$ , determinantul este singura formă antisimetrică multiliniară

f:V^{n}\to K

{\ displaystyle f: V ^ {n} \ to K}

f: V ^ {n} \ to K

asta merită $f(e_{1},\ldots ,e_{n})=1$ ${\ displaystyle f (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}) = 1}$ $f (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}) = 1$ pe baza canonică a $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ .

Reducerea multiliniarității la liniaritate

Întregul $L^{n}(V_{1}\times \ldots \times V_{n},K)$ ${\ displaystyle L ^ {n} (V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}, K)}$ $L ^ {n} (V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}, K)$ de aplicații n-liniare din $V_{1}\times \ldots \times V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}}$ $V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}$ la $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un spațiu vectorial, deoarece suma și produsul din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ele induc în ea o sumă și un produs pentru scalari. Cu toate acestea, spațiul vectorial $L^{n}(V_{1}\times \ldots \times V_{n},K)$ ${\ displaystyle L ^ {n} (V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}, K)}$ $L ^ {n} (V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}, K)$ nu poate fi considerat, în general, dualul unui spațiu vectorial.

Pe de altă parte, posibilitatea de a urmări o aplicație multiliniară la o aplicație liniară ar permite utilizarea întregii algebre a spațiilor duale, care constituie o structură algebrică importantă, de asemenea, pentru aplicații multiliniare. Pentru a realiza acest lucru, trebuie definit un spațiu vectorial $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ în care întregul poate fi „scufundat” $V_{1}\times \ldots \times V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}}$ $V_ {1} \ times \ ldots \ times V_ {n}$ , și astfel încât fiecare aplicație $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -liniar din $V_{1}\times V_{2}\times \ldots \times V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ times V_ {2} \ times \ ldots \ times V_ {n}}$ $V_ {1} \ times V_ {2} \ times \ ldots \ times V_ {n}$ la $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ induce o singură aplicație liniară din $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ la $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Un astfel de spațiu $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ poate fi construit prin introducerea conceptului de produs tensorial între spații vectoriale și între vectori, apoi spațiul vectorial $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ căutatul se dovedește a fi produsul tensor al spațiilor, adică $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes \ ldots \ otimes V_ {n}}$ $V_ {1} \ otimes \ ldots \ otimes V_ {n}$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică