Aproximare Stirling

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Pe măsură ce n crește, raportul dintre (ln n !) Și ( n ln n - n ) tinde la 1.

În matematică , aproximarea Stirling sau formula Stirling sau formula de aproximare Stirling este o aproximare pentru factorialele mari. Își datorează numele matematicianului scoțian James Stirling (1692-1770).

Formularea corectă este:

care este adesea scris ca:

Pentru valori mari ale lui n, al doilea membru al formulei oferă o bună aproximare a lui n ! care poate fi calculat rapid și ușor. De exemplu, formula pentru 30! oferă aproximarea 2.6452 × 10 32 , în timp ce o valoare mai precisă este 2.6525 × 10 32 ; în acest caz există o discrepanță mai mică de 0,3%, mai precis:

Estimări elementare

O estimare elementară pentru factorial poate fi obținută folosind o tehnică de sumă parțială. Este un întreg, atunci

unde este Și sunt partea întreagă și partea fracțională a .

Rezultă că

care, trecând la exponențial, devine

Derivare

Formula, precum și estimarea erorii, pot fi derivate prin dezvoltarea logaritmului natural al factorialului

iar pentru expresii ca aceasta se poate folosi formula Euler-Maclaurin .

Această formulă de aproximare poate fi exprimată în formă logaritmică:

sau din nou, aplicând proprietățile logaritmilor la ultimul termen:

Constanta sau este aproximativ 0,918938533204673 , rotunjit la 15 zecimale.

Formula poate fi obținută și prin adăugări repetate pe părți . Termenul principal al expresiei poate fi obținut prin aplicarea celei mai abrupte metode de coborâre .

Derivare alternativă

O formulă alternativă pentru folosind funcția Gamma è

(așa cum se poate vedea prin adăugări repetate pe părți). Prin schimbarea variabilei da ai

Aplicând metoda Laplace obținem:

iar formula Stirling este obținută din nou,

De fapt, corecții suplimentare pot fi obținute folosind metoda Laplace. De exemplu, extindându-se la următoarea comandă, metoda lui Laplace oferă

și dă formula Stirling cu o altă ordine

O versiune a analizei complexe a acestei metode [1] trebuie luată în considerare ca un coeficient serie Taylor al funcției exponențiale , calculat cu formula integrală Cauchy :

Integrala liniei poate fi aproximată folosind cea mai abruptă metodă de coborâre cu o alegere adecvată a razei limitei . Porțiunea dominantă a integralei în apropierea punctului de șa este ulterior aproximată prin integrala reală și prin metoda lui Laplace, în timp ce partea rămasă poate fi mărită pentru a avea un termen de eroare.

Viteza convergenței și estimarea erorilor

Mai exact, este

cu

De fapt, formula Stirling este o aproximare a următoarei serii (numită acum seria Stirling ):

Cand , eroarea seriei trunchiate este asimptotic egală cu primul termen omis. Acesta este un exemplu de dezvoltare asimptotică .

Dezvoltarea asimptotică a logaritmului se mai numește și seria Stirling :

În acest caz se arată că eroarea făcută prin tăierea seriei are același semn și cel mult magnitudinea primului termen omis.

Formula lui Stirling pentru funcția gamma

Formula Stirling poate fi aplicată (nu întotdeauna) și funcției gamma , funcția care extinde factorialul către câmpul complex, notat prin următoarele scrieri

și definit pentru toate numerele complexe, cu excepția numerelor întregi non-pozitive. De sine asa de

Prin integrarea repetată pe părți, se obține dezvoltarea asimptotică

unde B n este al n-lea număr Bernoulli . Formula este valabilă pentru | z | suficient de mare când , cu ε pozitiv, cu un termen de eroare ca când se utilizează primii m termeni de dezvoltare.

O versiune convergentă a formulei Stirling

Pentru a obține o versiune convergentă a formulei Stirling trebuie evaluată

O modalitate de a face acest lucru utilizează un set convergent de factori crescători . Dacă scriem , este situat

unde este

De aici veți obține o versiune a seriei Stirling

care converge când .

fundal

Formula a fost descoperită pentru prima dată de De Moivre (1667-1754) în formă

[2]

Contribuția lui Stirling constă în a arăta că constanta proporționalității este egală cu .

Versiuni mai precise au fost obținute de la Binet .

Notă

  1. ^ Phillipe Flajolet și Robert Sedgewick, Combinație analitică , p. 555
  2. ^ A fost adoptată notația de estimare asimptotică

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică