Aproximare pentru unghiuri mici

Comportament similar al unor funcții (trigonometrice) pentru x care tinde la 0.

Aproximarea pentru unghiurile mici constă în simplificarea funcțiilor trigonometrice de bază în funcții mai simple atunci când unghiul este foarte mic și tinde spre zero . Aproximarea se bazează pe expansiunile Taylor-MacLaurin trunchiate la ordinea a doua. Avem: ^[1] ^[2]

$\sin \theta \sim \theta ,\quad \cos \theta \sim 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}},\quad \tan \theta \sim \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ sim \ theta, \ quad \ cos \ theta \ sim 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}, \ quad \ tan \ theta \ sim \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ sim \ theta, \ quad \ cos \ theta \ sim 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}, \ quad \ tan \ theta \ sim \ theta}$

unde θ este unghiul în radiani .

Această aproximare este utilă în multe domenii ale fizicii și ingineriei , inclusiv mecanică , electromagnetism , optică și așa mai departe.

Explicaţie

Grafică

Figura 1. Comparație între funcțiile trigonometrice impare. Se vede că aproximarea se îmbunătățește pe măsură ce unghiul se apropie de 0.
Figura 2. Comparație între funcția cosinus și funcția 1- θ ^ 2/2. Se vede că aproximarea se îmbunătățește pe măsură ce unghiul se apropie de 0.

Geometric

Partea roșie, d, este diferența dintre hipotenuza H și catetul A. Această diferență este mică și, din moment ce ${\textstyle A=H\cos \theta }$ ${\ textstyle A = H \ cos \ theta}$ ${\ textstyle A = H \ cos \ theta}$ , avem că cosinusul este foarte aproape de 1 și mai precis

$\cos \theta \sim 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta \ sim 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta \ sim 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

Cealaltă parte, O, este aproximativ aceeași cu arcul în albastru, s. Pentru definiția radianului, avem

$\theta ={\frac {s}{A}}\implies s=\theta A$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {s} {A}} \ implică s = \ theta A}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {s} {A}} \ implică s = \ theta A}$

Deoarece, de asemenea

${\begin{aligned}H&={\frac {O}{\sin \theta }}&\implies \sin \theta ={\frac {O}{H}}\\A&={\frac {O}{\tan \theta }}&\implies \tan \theta ={\frac {O}{A}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} H & = {\ frac {O} {\ sin \ theta}} & \ implicies \ sin \ theta = {\ frac {O} {H}} \\ A & = {\ frac {O} {\ tan \ theta}} & \ implies \ tan \ theta = {\ frac {O} {A}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} H & = {\ frac {O} {\ sin \ theta}} & \ implicies \ sin \ theta = {\ frac {O} {H}} \\ A & = {\ frac {O} {\ tan \ theta}} & \ implies \ tan \ theta = {\ frac {O} {A}} \ end {align}}}$

iar din figură ${\textstyle O\approx s}$ ${\ textstyle O \ approx s}$ ${\ textstyle O \ approx s}$ Și ${\textstyle H\approx A}$ ${\ textstyle H \ approx A}$ ${\ textstyle H \ approx A}$ , ajungem la următoarea concluzie.

$\sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {\theta A}{A}}=\theta \implies \sin \theta \sim \tan \theta \sim \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {O} {H}} \ approx {\ frac {O} {A}} = \ tan \ theta = {\ frac {O} {A}} \ approx {\ frac {s} {A}} = {\ frac {\ theta A} {A}} = \ theta \ implica \ sin \ theta \ sim \ tan \ theta \ sim \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {O} {H}} \ approx {\ frac {O} {A}} = \ tan \ theta = {\ frac {O} {A}} \ approx {\ frac {s} {A}} = {\ frac {\ theta A} {A}} = \ theta \ implica \ sin \ theta \ sim \ tan \ theta \ sim \ theta}$

Algebric

Aproximarea unghiului mic a funcției sinusoidale.

Dezvoltările seriei MacLaurin ale funcțiilor trigonometrice sunt după cum urmează: ^[3]

${\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta ^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+o(\theta ^{8})\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {\ theta ^ {2n + 1}} { (2n + 1)!}} \\ & = \ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {\ theta ^ {5}} {5!}} - { \ frac {\ theta ^ {7}} {7!}} + o (\ theta ^ {8}) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {\ theta ^ {2n + 1}} { (2n + 1)!}} \\ & = \ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {\ theta ^ {5}} {5!}} - { \ frac {\ theta ^ {7}} {7!}} + o (\ theta ^ {8}) \ end {align}}}$

${\begin{aligned}\cos \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta ^{2n}}{(2n)!}}\\&=1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+o(\theta ^{7})\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ cos \ theta & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {\ theta ^ {2n}} {(2n )!}} \\ & = 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {\ theta ^ {4}} {4!}} - {\ frac {\ theta ^ {6}} {6!}} + O (\ theta ^ {7}) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ cos \ theta & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {\ theta ^ {2n}} {(2n )!}} \\ & = 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {\ theta ^ {4}} {4!}} - {\ frac {\ theta ^ {6}} {6!}} + O (\ theta ^ {7}) \ end {align}}}$

$\tan \theta =\theta +{\frac {\theta ^{3}}{3}}+o(\theta ^{4})$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = \ theta + {\ frac {\ theta ^ {3}} {3}} + o (\ theta ^ {4})}$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = \ theta + {\ frac {\ theta ^ {3}} {3}} + o (\ theta ^ {4})}$

În primul caz, observăm că al doilea termen scade deja ca și cubul primului; prin urmare, pentru valori suficient de apropiate de zero, cum ar fi 0,01, al doilea și următorii termeni devin foarte mici, deci neglijabili:

$\sin(0{,}01)=0{,}01+{\frac {0{,}000001}{3}}\simeq 0{,}01$ ${\ displaystyle \ sin (0 {,} 01) = 0 {,} 01 + {\ frac {0 {,} 000001} {3}} \ simeq 0 {,} 01}$ ${\ displaystyle \ sin (0 {,} 01) = 0 {,} 01 + {\ frac {0 {,} 000001} {3}} \ simeq 0 {,} 01}$

Prin urmare, sinusul unui unghi mic poate fi aproximat la primul termen, adică la unghiul în sine. Același raționament poate fi aplicat și cosinusului și tangentei; rezultă că cosinusul unui unghi mic este de aproximativ 1 și tangenta , raportul dintre sinus și cosinus, pentru unghiurile mici se comportă ca raportul dintre un unghi și 1; în concluzie, avem următoarele echivalențe asimptotice :

$\sin \theta \sim \theta ,\quad \cos \theta \sim 1,\quad \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\sim \sin \theta \sim \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ sim \ theta, \ quad \ cos \ theta \ sim 1, \ quad \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}} \ sim \ sin \ theta \ sim \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ sim \ theta, \ quad \ cos \ theta \ sim 1, \ quad \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}} \ sim \ sin \ theta \ sim \ theta}$

Analize

Se poate demonstra, cu teorema comparației , că ^[4]

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1,\quad \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}},\quad \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}=1$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} = 1, \ quad \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ theta ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}}, \ quad \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ tan \ theta} {\ theta}} = 1}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} = 1, \ quad \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ theta ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}}, \ quad \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ tan \ theta} {\ theta}} = 1}$

Atunci putem spune asta, pentru ${\textstyle \theta \to 0}$ ${\ textstyle \ theta \ to 0}$ ${\ textstyle \ theta \ to 0}$ :

${\frac {\sin \theta }{\theta }}\sim 1,\quad {\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}\sim {\frac {1}{2}},\quad {\frac {\tan \theta }{\theta }}\sim 1$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} \ sim 1, \ quad {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ theta ^ {2}}} \ sim {\ frac {1 } {2}}, \ quad {\ frac {\ tan \ theta} {\ theta}} \ sim 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} \ sim 1, \ quad {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ theta ^ {2}}} \ sim {\ frac {1 } {2}}, \ quad {\ frac {\ tan \ theta} {\ theta}} \ sim 1}$

Aproximările anterioare pot fi exprimate și ca

$\sin \theta \sim \theta ,\quad \cos \theta \sim 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}},\quad \tan \theta \sim \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ sim \ theta, \ quad \ cos \ theta \ sim 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}, \ quad \ tan \ theta \ sim \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ sim \ theta, \ quad \ cos \ theta \ sim 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}, \ quad \ tan \ theta \ sim \ theta}$

Erori la aproximare

Figura 3. Graficul erorilor relative ale aproximării pentru unghiuri mici.

Figura 3 prezintă erorile relative datorate acestei aproximări. Unghiurile la care eroarea relativă depășește 1% sunt după cum urmează:

${\begin{aligned}\sin \theta :\qquad \theta \simeq 0,244{\text{ radianti }}(14^{\circ })\\\cos \theta :\qquad \theta \simeq 0,664{\text{ radianti }}(38^{\circ })\\\tan \theta :\qquad \theta \simeq 0,176{\text{ radianti }}(10^{\circ })\\\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta: \ qquad \ theta \ simeq 0.244 {\ text {radians}} (14 ^ {\ circ}) \\\ cos \ theta: \ qquad \ theta \ simeq 0.664 {\ text {radians}} (38 ^ {\ circ}) \\\ tan \ theta: \ qquad \ theta \ simeq 0,176 {\ text {radians}} (10 ^ {\ circ}) \\\ end {align }}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta: \ qquad \ theta \ simeq 0.244 {\ text {radians}} (14 ^ {\ circ}) \\\ cos \ theta: \ qquad \ theta \ simeq 0.664 {\ text {radians}} (38 ^ {\ circ}) \\\ tan \ theta: \ qquad \ theta \ simeq 0,176 {\ text {radians}} (10 ^ {\ circ}) \\\ end {align }}}$

Utilizări specifice

Mișcarea unui pendul

Aproximarea sinusurilor simplifică calculul perioadei unui pendul simplu . Acest lucru face ca mișcarea pendulului să fie o mișcare armonică simplă .

Notă

^ (EN) Holbrow Charles H. și colab., Modern Introductory Physics , ediția a II-a, Springer Science & Business Media, 2010, pp. 30 -32, ISBN 0387790799 .
^ (EN) Michael Plesha și colab., Engineering Mechanics: Statics and Dynamics, ediția a II-a, McGraw-Hill Higher Education, 2012, p. 12, ISBN 0077570618 .
^ (EN) Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences , Wiley, 2006, p. 26 , ISBN 978-0-471-19826-0 .
^ (EN) Ron Larson și colab., Calculul unei singure variabile: funcții transcendentale timpurii, ediția a IV-a, Cengage Learning, 2006, p. 85, ISBN 0618606254 .

Bibliografie

Tom Apostol, Calcolo 1 , ediția a IX-a, Bollati Boringhieri , 1987 [1977] , ISBN 88-339-5033-6 .

linkuri externe

(EN) Taylor Series în MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Holbrow Charles H. și colab., Modern Introductory Physics , ediția a II-a, Springer Science & Business Media, 2010, pp. 30 -32, ISBN 0387790799 .

[2] (EN) Michael Plesha și colab., Engineering Mechanics: Statics and Dynamics, ediția a II-a, McGraw-Hill Higher Education, 2012, p. 12, ISBN 0077570618 .

[3] (EN) Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences , Wiley, 2006, p. 26 , ISBN 978-0-471-19826-0 .

[4] (EN) Ron Larson și colab., Calculul unei singure variabile: funcții transcendentale timpurii, ediția a IV-a, Cengage Learning, 2006, p. 85, ISBN 0618606254 .

[1]

[2]

[3]

[4]