Aproximare pentru câmpuri gravitaționale slabe

Aproximarea pentru câmpuri gravitaționale slabe sau gravitația liniarizată sau liniarizarea ecuațiilor lui Einstein este o schemă de aproximare în relativitatea generală în care contribuțiile neliniare ale metricei spațiu - timp sunt ignorate. Acest lucru permite simplificarea studiului multor probleme.

Metoda

În gravitația liniarizată , tensorul metric al spațiului-timp $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este tratat ca suma soluției ecuațiilor de bază ale lui Einstein , de obicei spațiul plat Minkowsk i și o perturbare $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ .

g\,=\eta +h

{\ displaystyle g \, = \ eta + h}

{\ displaystyle g \, = \ eta + h}

unde η este metrica perturbatoare de fond nedinamică e $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ reprezintă abaterea metricei exacte (g) a spațiului-timp plat .

Perturbarea este tratată folosind metodele teoriei perturbării . Adjectivul „liniarizat” înseamnă că în perturbație sunt ignorați toți termenii de ordine mai mari decât unul ( pătratic în h, cubic în h, etc ...).

Aplicații

Ecuațiile de câmp ale lui Einstein , fiind neliniare în metrică, sunt greu de rezolvat cu exactitate, iar schema de perturbare anterioară permite obținerea ecuațiilor de câmp ale lui Einstein liniarizate. Aceste ecuații sunt liniare în metrică și suma celor două soluții ale ecuațiilor de câmp Einstein liniarizate sunt, de asemenea, o soluție. Ideea „ignorării părții neliniare” este astfel încapsulată în această procedură de liniarizare.

Metoda este utilizată pentru a obține limita newtoniană, inclusiv primele corecții, foarte asemănătoare cu o derivare pentru existența undelor gravitaționale care duc, după cuantificare , la gravitoni . Din acest motiv, abordarea conceptuală a gravitației liniarizate este cea canonică în fizica particulelor , teoria șirurilor și mai general în teoria câmpului cuantic unde câmpurile clasice (bosonice) sunt exprimate ca stări coerente ale particulelor.

Această aproximare este, de asemenea, cunoscută ca aproximarea câmpului slab, deoarece este valabilă doar pentru h mici .

Aproximarea câmpului slab

În aproximarea câmpului slab, simetria gabaritului este asociată cu difeomorfisme cu „deplasări” mici (difeomorfismele cu deplasări mari încalcă evident aproximarea câmpului slab), care are forma exactă (pentru transformări infinitesimale)

\delta _{\vec {\xi }}h=\delta _{\vec {\xi }}g-\delta _{\vec {\xi }}\eta ={\mathcal {L}}_{\vec {\xi }}g={\mathcal {L}}_{\vec {\xi }}\eta +{\mathcal {L}}_{\vec {\xi }}h=\left[\xi _{\nu ;\mu }+\xi _{\mu ;\nu }+\xi ^{\alpha }h_{\mu \nu ;\alpha }+\xi _{;\mu }^{\alpha }h_{\alpha \nu }+\xi _{;\nu }^{\alpha }h_{\mu \alpha }\right]dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }

{\ displaystyle \ delta _ {\ vec {\ xi}} h = \ delta _ {\ vec {\ xi}} g- \ delta _ {\ vec {\ xi}} \ eta = {\ mathcal {L}} _ {\ vec {\ xi}} g = {\ mathcal {L}} _ {\ vec {\ xi}} \ eta + {\ mathcal {L}} _ {\ vec {\ xi}} h = \ left [\ xi _ {\ nu; \ mu} + \ xi _ {\ mu; \ nu} + \ xi ^ {\ alpha} h _ {\ mu \ nu; \ alpha} + \ xi _ {; \ mu} ^ {\ alpha} h _ {\ alpha \ nu} + \ xi _ {; \ nu} ^ {\ alpha} h _ {\ mu \ alpha} \ right] dx ^ {\ mu} \ otimes dx ^ {\ nu}}

{\ displaystyle \ delta _ {\ vec {\ xi}} h = \ delta _ {\ vec {\ xi}} g- \ delta _ {\ vec {\ xi}} \ eta = {\ mathcal {L}} _ {\ vec {\ xi}} g = {\ mathcal {L}} _ {\ vec {\ xi}} \ eta + {\ mathcal {L}} _ {\ vec {\ xi}} h = \ left [\ xi _ {\ nu; \ mu} + \ xi _ {\ mu; \ nu} + \ xi ^ {\ alpha} h _ {\ mu \ nu; \ alpha} + \ xi _ {; \ mu} ^ {\ alpha} h _ {\ alpha \ nu} + \ xi _ {; \ nu} ^ {\ alpha} h _ {\ mu \ alpha} \ right] dx ^ {\ mu} \ otimes dx ^ {\ nu}}

Unde este ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ este derivata Lie considerând că η nu se modifică (prin definiție). Rețineți că creștem și coborâm indicii cu privire la η și nu g și derivatele covariante ( conexiunea Levi-Civita ) cu privire la η. Aceasta este o practică standard în gravitația liniarizată. Modul de gândire în gravitația liniarizată este acesta: metrica de fundal η este metrica și h este un câmp care se propagă dincolo de spațiu-timp cu această metrică.

În limita câmpului slab, această transformare a ecartamentului se simplifică la

\delta _{\vec {\xi }}h_{\mu \nu }\approx \left({\mathcal {L}}_{\vec {\xi }}\eta \right)_{\mu \nu }=\xi _{\nu ;\mu }+\xi _{\mu ;\nu }

{\ displaystyle \ delta _ {\ vec {\ xi}} h _ {\ mu \ nu} \ approx \ left ({\ mathcal {L}} _ {\ vec {\ xi}} \ eta \ right) _ { \ mu \ nu} = \ xi _ {\ nu; \ mu} + \ xi _ {\ mu; \ nu}}

{\ displaystyle \ delta _ {\ vec {\ xi}} h _ {\ mu \ nu} \ approx \ left ({\ mathcal {L}} _ {\ vec {\ xi}} \ eta \ right) _ { \ mu \ nu} = \ xi _ {\ nu; \ mu} + \ xi _ {\ mu; \ nu}}

Aproximarea câmpului slab este utilă în găsirea valorilor anumitor constante, de exemplu în ecuațiile de câmp ale lui Einstein și în metrica lui Schwarzschild .

Ecuațiile de câmp linearizate ale lui Einstein

Ecuațiile de câmp linearizate ale lui Einstein sunt o aproximare pentru ecuațiile de câmp ale lui Einstein valabile pentru un câmp gravitațional slab și sunt utilizate pentru a simplifica multe probleme din relativitatea generală și pentru a studia fenomenele de radiații gravitaționale . Această aproximare este, de asemenea, utilizată pentru a obține gravitația newtoniană ca o aproximare a câmpului slab al gravitației einsteiniene .

Acestea sunt obținute presupunând că metrica spațiu-timp este doar puțin diferită de cea de bază (de obicei o metrică Minkowski ). Prin urmare, diferența de metrică poate fi considerată ca un câmp de bază metric, al cărui comportament este aproximat prin intermediul unui set de ecuații liniare.

Derivare pentru metrica Minkowski

Începând de la metrică pentru un spațiu-timp în formă

g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}

{\ displaystyle g_ {ab} = \ eta _ {ab} + h_ {ab}}

{\ displaystyle g_ {ab} = \ eta _ {ab} + h_ {ab}}

unde este $\,\eta _{ab}$ ${\ displaystyle \, \ eta _ {ab}}$ ${\ displaystyle \, \ eta _ {ab}}$ este metrica Minkowski și $\,h_{ab}$ ${\ displaystyle \, h_ {ab}}$ ${\ displaystyle \, h_ {ab}}$ - uneori scris ca $\varepsilon \,\gamma _{ab}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \, \ gamma _ {ab}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \, \ gamma _ {ab}}$ - este abaterea de la $\,g_{ab}$ ${\ displaystyle \, g_ {ab}}$ ${\ displaystyle \, g_ {ab}}$ din ea. $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ trebuie să fie neglijabilă în comparație cu $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ : $\left|h_{\mu \nu }\right|\ll 1$ ${\ displaystyle \ left | h _ {\ mu \ nu} \ right | \ ll 1}$ ${\ displaystyle \ left | h _ {\ mu \ nu} \ right | \ ll 1}$ (și în mod similar pentru toate derivatele de $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ ). Deci, ignorați toate produsele $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ (sau derivatele sale) cu $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ sau derivatele sale (echivalent cu ignorarea tuturor termenilor de ordine mai mari de 1 in $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ). De asemenea, se presupune că în această schemă de aproximare toți indicii H și derivații săi sunt crescuți și coborâți cu $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ .

H metric este clar simetric, deoarece g și η sunt. Condiția consistenței $g_{ab}g^{bc}=\delta _{a}{}^{c}$ ${\ displaystyle g_ {ab} g ^ {bc} = \ delta _ {a} {} ^ {c}}$ ${\ displaystyle g_ {ab} g ^ {bc} = \ delta _ {a} {} ^ {c}}$ arată că

g^{ab}\,=\eta ^{ab}-h^{ab}

{\ displaystyle g ^ {ab} \, = \ eta ^ {ab} -h ^ {ab}}

{\ displaystyle g ^ {ab} \, = \ eta ^ {ab} -h ^ {ab}}

Simbolurile Christoffel pot fi calculate ca

2\Gamma _{bc}^{a}=(h^{a}{}_{b,c}+h^{a}{}_{c,b}-h_{bc,}{}^{a})

{\ displaystyle 2 \ Gamma _ {bc} ^ {a} = (h ^ {a} {} _ {b, c} + h ^ {a} {} _ {c, b} -h_ {bc,} { } ^ {a})}

{\ displaystyle 2 \ Gamma _ {bc} ^ {a} = (h ^ {a} {} _ {b, c} + h ^ {a} {} _ {c, b} -h_ {bc,} { } ^ {a})}

unde este $h_{bc,}{}^{a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \eta ^{ar}h_{bc,r}$ ${\ displaystyle h_ {bc,} {} ^ {a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ eta ^ {ar} h_ {bc, r}}$ ${\ displaystyle h_ {bc,} {} ^ {a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ eta ^ {ar} h_ {bc, r}}$ , și aceasta este utilizată pentru a calcula tensorul Riemann :

2R^{a}{}_{bcd}=2(\Gamma _{bd,c}^{a}-\Gamma _{bc,d}^{a})=\eta ^{ae}(h_{eb,dc}+h_{ed,bc}-h_{bd,ec}-h_{eb,cd}-h_{ec,bd}+h_{bc,ed})=

{\ displaystyle 2R ^ {a} {} _ {bcd} = 2 (\ Gamma _ {bd, c} ^ {a} - \ Gamma _ {bc, d} ^ {a}) = \ eta ^ {ae} (h_ {eb, dc} + h_ {ed, bc} -h_ {bd, ec} -h_ {eb, cd} -h_ {ec, bd} + h_ {bc, ed}) =}

{\ displaystyle 2R ^ {a} {} _ {bcd} = 2 (\ Gamma _ {bd, c} ^ {a} - \ Gamma _ {bc, d} ^ {a}) = \ eta ^ {ae} (h_ {eb, dc} + h_ {ed, bc} -h_ {bd, ec} -h_ {eb, cd} -h_ {ec, bd} + h_ {bc, ed}) =}

=\eta ^{ae}(h_{ed,bc}-h_{bd,ec}-h_{ec,bd}+h_{bc,ed})=h_{d,bc}^{a}-h_{bd,}{}^{a}{}_{c}+h_{bc,}{}^{a}{}_{d}-h^{a}{}_{c,bd}

{\ displaystyle = \ eta ^ {ae} (h_ {ed, bc} -h_ {bd, ec} -h_ {ec, bd} + h_ {bc, ed}) = h_ {d, bc} ^ {a} -h_ {bd,} {} ^ {a} {} _ {c} + h_ {bc,} {} ^ {a} {} _ {d} -h ^ {a} {} _ {c, bd} }

{\ displaystyle = \ eta ^ {ae} (h_ {ed, bc} -h_ {bd, ec} -h_ {ec, bd} + h_ {bc, ed}) = h_ {d, bc} ^ {a} -h_ {bd,} {} ^ {a} {} _ {c} + h_ {bc,} {} ^ {a} {} _ {d} -h ^ {a} {} _ {c, bd} }

Folosind $R_{bd}=\delta ^{c}{}_{a}R^{a}{}_{bcd}$ ${\ displaystyle R_ {bd} = \ delta ^ {c} {} _ {a} R ^ {a} {} _ {bcd}}$ ${\ displaystyle R_ {bd} = \ delta ^ {c} {} _ {a} R ^ {a} {} _ {bcd}}$ primesti

2R_{bd}=h_{d,br}^{r}+h_{b,dr}^{r}-h_{,bd}-h_{bd,rs}\eta ^{rs}

{\ displaystyle 2R_ {bd} = h_ {d, br} ^ {r} + h_ {b, dr} ^ {r} -h _ {, bd} -h_ {bd, rs} \ eta ^ {rs}}

{\ displaystyle 2R_ {bd} = h_ {d, br} ^ {r} + h_ {b, dr} ^ {r} -h _ {, bd} -h_ {bd, rs} \ eta ^ {rs}}

Deci ecuațiile liniarizate ale lui Einstein sunt

8\pi T_{bd}\,=R_{bd}-R_{ac}\eta ^{ac}\eta _{bd}/2

{\ displaystyle 8 \ pi T_ {bd} \, = R_ {bd} -R_ {ac} \ eta ^ {ac} \ eta _ {bd} / 2}

{\ displaystyle 8 \ pi T_ {bd} \, = R_ {bd} -R_ {ac} \ eta ^ {ac} \ eta _ {bd} / 2}

sau

8\pi T_{bd}=(h_{d,br}^{r}+h_{b,dr}^{r}-h_{,bd}-h_{bd,r}{}^{r}-h_{s,r}^{r}{}^{s}\eta _{bd})/2+(h_{,a}{}^{a}\eta _{bd}+h_{ac,r}{}^{r}\eta ^{ac}\eta _{bd})/4

{\ displaystyle 8 \ pi T_ {bd} = (h_ {d, br} ^ {r} + h_ {b, dr} ^ {r} -h _ {, bd} -h_ {bd, r} {} ^ {r} -h_ {s, r} ^ {r} {} ^ {s} \ eta _ {bd}) / 2+ (h _ {, a} {} ^ {a} \ eta _ {bd} + h_ {ac, r} {} ^ {r} \ eta ^ {ac} \ eta _ {bd}) / 4}

{\ displaystyle 8 \ pi T_ {bd} = (h_ {d, br} ^ {r} + h_ {b, dr} ^ {r} -h _ {, bd} -h_ {bd, r} {} ^ {r} -h_ {s, r} ^ {r} {} ^ {s} \ eta _ {bd}) / 2+ (h _ {, a} {} ^ {a} \ eta _ {bd} + h_ {ac, r} {} ^ {r} \ eta ^ {ac} \ eta _ {bd}) / 4}

Sau, echivalent:

8\pi (T_{bd}-T_{ac}\eta ^{ac}\eta _{bd}/2)\,=R_{bd}

{\ displaystyle 8 \ pi (T_ {bd} -T_ {ac} \ eta ^ {ac} \ eta _ {bd} / 2) \, = R_ {bd}}

{\ displaystyle 8 \ pi (T_ {bd} -T_ {ac} \ eta ^ {ac} \ eta _ {bd} / 2) \, = R_ {bd}}

16\pi (T_{bd}-T_{ac}\eta ^{ac}\eta _{bd}/2)\,=h_{d,br}^{r}+h_{b,dr}^{r}-h_{,bd}-h_{bd,rs}\eta ^{rs}

{\ displaystyle 16 \ pi (T_ {bd} -T_ {ac} \ eta ^ {ac} \ eta _ {bd} / 2) \, = h_ {d, br} ^ {r} + h_ {b, dr } ^ {r} -h _ {, bd} -h_ {bd, rs} \ eta ^ {rs}}

{\ displaystyle 16 \ pi (T_ {bd} -T_ {ac} \ eta ^ {ac} \ eta _ {bd} / 2) \, = h_ {d, br} ^ {r} + h_ {b, dr } ^ {r} -h _ {, bd} -h_ {bd, rs} \ eta ^ {rs}}

Dezvoltări perturbative la ordinele superioare

Pornind de la dezvoltarea liniară descrisă mai sus, este posibil să încercați să creșteți precizia aproximării utilizând termeni pătratici și superiori în dezvoltarea seriei .

Principalele tehnici utilizate sunt:

expansiune post-newtoniană (PN)
expansiune parametrizată post-newtoniană (PPN)
expansiune post-minkowskiană (PM)

unde expansiunea post-newtoniană de grad zero (0PN) corespunde teoriei gravitației lui Newton și expansiunea de grad zero post-Minkowskian (0PM) corespunde teoriei speciale a relativității .

Aplicații

Ecuațiile Einstein liniarizate sunt utilizate în principal în teoria radiației gravitaționale , unde câmpul gravitațional departe de sursă este aproximat de aceste ecuații.

Bibliografie

(EN) Stephani, Hans, General Relativity: An Introduction to Theory of the Gravitational Field, Cambridge, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-37941-5 .
( EN ) Adler, Ronald; Bazin, Maurice '& Schiffer, Menahem, Introducere în relativitatea generală , New York, McGraw-Hill, 1965, ISBN 0-07-000423-4 .

Elemente conexe

V · D · M Relativitatea generală
Ecuații de câmp ale lui Einstein · Formulare matematică · Resurse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$ $G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T _ {\ mu \ nu}$
Concepte fundamentale	Relativitate specială · Principiul echivalenței · Linia universului · Geometria Riemann
Fenomene	Problema Kepler · Obiective · Waves · -cadru glisarea · efect geodezic · Event Horizon · Singularity · Black Hole
Ecuații	Gravitatea liniarizată · Formalism post-newtonian · Ecuații de câmp ale lui Einstein · Ecuații Friedmann · Formalism ADM · BSSN formalism
Teorii avansate	Kaluza - Klein · Gravitația cuantică
Soluții	Schwarzschild · Reissner-Nordström · Gödel · Kerr · Kerr-Newman · Kasner · Taub-NUT · Milne · Robertson-Walker · Onde pp
Oamenii de știință	Einstein · Minkowski · Eddington · Lemaître · Schwarzschild · Robertson · Kerr · Friedman · Chandrasekhar · Hawking