Arc (topologie)

În matematică , un arc (sau cale ) într-un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o funcție continuă din intervalul unitar $I=[0,1]$ ${\ displaystyle I = [0,1]}$ $I = [0,1]$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Arcurile stau la baza definiției grupului fundamental și, prin urmare, a topologiei algebrice .

Definiții

Punctul de plecare al arcului este $f(0)$ ${\ displaystyle f (0)}$ ${\ displaystyle f (0)}$ , în timp ce punctul final este $f(1)$ ${\ displaystyle f (1)}$ ${\ displaystyle f (1)}$ . De sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt două puncte ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (de asemenea, coincident), un „arc din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ "este un arc în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ al cărui punct de plecare este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și al cărui punct final este $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . De sine $x=y$ ${\ displaystyle x = y}$ $x = y$ , vorbim despre o cale închisă , sau un laț sau o capcană .

Observăm că un arc nu este doar un subset de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , dar o funcție din $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : pot exista diferite arce, dar cu același punct de început și de sfârșit și cu aceeași imagine.

Un spațiu topologic în care pentru fiecare cuplu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ de puncte există un arc care le are ca puncte inițiale și finale se spune că este conectat prin arcuri ; deoarece fiecare punct este conținut într-un subspatiu maxim conectat prin margini, fiecare spațiu topologic poate fi descompus într-un mod unic în componente conectate prin margini. Setul de componente conectate prin arcuri de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se notează cu simbolul $\pi _{0}(X)$ ${\ displaystyle \ pi _ {0} (X)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0} (X)}$ .

Compoziţie

Două arcade $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât $f(1)=g(0)$ ${\ displaystyle f (1) = g (0)}$ ${\ displaystyle f (1) = g (0)}$ pot fi compuse, dând naștere unui nou arc $h=f\ast g$ ${\ displaystyle h = f \ ast g}$ ${\ displaystyle h = f \ ast g}$ , care poate fi văzut ca arcul obținut călătorind mai devreme $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ atunci $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : formal, $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este funcția din $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât

h(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}

{\ displaystyle h (s) = {\ begin {cases} f (2s) & 0 \ leq s \ leq {\ frac {1} {2}} \\ g (2s-1) & {\ frac {1} {2}} \ leq s \ leq 1. \ end {cases}}}

{\ displaystyle h (s) = {\ begin {cases} f (2s) & 0 \ leq s \ leq {\ frac {1} {2}} \\ g (2s-1) & {\ frac {1} {2}} \ leq s \ leq 1. \ end {cases}}}

.

Această operație nu este asociativă : de fapt, $(f\ast g)\ast h$ ${\ displaystyle (f \ ast g) \ ast h}$ ${\ displaystyle (f \ ast g) \ ast h}$ Și $f\ast (g\ast h)$ ${\ displaystyle f \ ast (g \ ast h)}$ ${\ displaystyle f \ ast (g \ ast h)}$ au același sprijin, dar se deplasează cu „viteze diferite”: primul se deplasează $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ într-un timp ¼, atunci $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în altul ¼, e $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ în 1/2 timp; al doilea rulează în schimb $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la timp $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ iar celelalte două fiecare în timp $1/4$ ${\ displaystyle 1/4}$ $1/4$ .

Pentru a rezolva această problemă, echivalență omotop este introdus relația dintre arce, care, printre altele, permite arcele să fie re - parametrizate . Setul de căi închise cu un punct inițial $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , forma de homotopie, se numește grupul fundamental al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu bază $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , și este notat cu $\pi _{1}(X,x_{0})$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$ ; de sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este conectat prin margini atunci clasa de izomorfism a acestui grup nu depinde de punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ alegere.

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică