Arcozină

În trigonometrie arcsinusul este definit ca funcția inversă a sinusului unui unghi . Funcția sinusoidală nu este bijectivă, prin urmare nu este posibil să avem inversul său, totuși este posibil să-i restrângem domeniul pentru a o face atât injectivă, cât și surjectivă și, prin urmare, inversabilă. Prin convenție, se preferă restricționarea domeniului funcției sinusoidale în interval $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$ $\ left [- {\ frac \ pi 2}, {\ frac \ pi 2} \ right]$ . ^[1]

Notaţie

În matematică, arcsinus poate fi indicată de una dintre notațiile arcsin, arcsin, asin, Asen, păcatul ^-1, ^-1 sen. Aceste ultime două notații, în concordanță cu notația pentru o funcție inversă ( f ^-1 ) și răspândită pe tastaturile diferitelor calculatoare, pot crea confuzie cu notația sin ² (x) , care pe lângă indicarea compoziției sin (sin (sin ( x)) este folosit pentru a indica pătratul (sin x) ² ; din acest motiv reciprocul sinusului unui unghi ( cosecantul său) este întotdeauna indicat cu (sin x) ^-1 . În diferite limbaje de programare și pe unele tastaturi de calculator, ASN formularele ASIN și ASN .

Proprietate

Graficul funcției y = arcsin (x)

Arcsine este o funcție continuă și strict în creștere, definită pentru toate valorile din interval $\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ $\ left [-1, 1 \ right]$ : ^[2]

\arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

{\ displaystyle \ arcsin: \ left [-1,1 \ right] \ rightarrow \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}

\ arcsin: \ left [-1,1 \ right] \ rightarrow \ left [- {\ frac \ pi 2}, {\ frac \ pi 2} \ right]

.

Graficul său este simetric în raport cu originea axelor carteziene, fiind $\arcsin x=-\arcsin \left(-x\right)$ ${\ displaystyle \ arcsin x = - \ arcsin \ left (-x \ right)}$ $\ arcsin x = - \ arcsin \ left (-x \ right)$ .

Derivata funcției arcsine este: ^[3] ^[4]

{\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ arcsin x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

{\ frac {d} {dx}} \ arcsin x = {\ frac {1} {{\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

.

Seria corespunzătoare de Maclaurin este: ^[5]

\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\cdots

{\ displaystyle \ arcsin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1} = x + {\ frac {1} {6}} x ^ {3} + {\ frac {3} {40}} x ^ {5} + {\ frac {5} {112 }} x ^ {7} + \ cdots}

{\ displaystyle \ arcsin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1} = x + {\ frac {1} {6}} x ^ {3} + {\ frac {3} {40}} x ^ {5} + {\ frac {5} {112 }} x ^ {7} + \ cdots}

.

Datorită simetriei deja descrise, relația este valabilă pentru argumentele negative, adică prin definiția unei funcții ciudate :

\arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x

{\ displaystyle \ arcsin \ left (-x \ right) = - \ arcsin x}

\ arcsin \ left (-x \ right) = - \ arcsin x

.

Mai mult, este posibil să combinați suma sau diferența a două arcsine într-o expresie în care arcsine apare o singură dată:

\arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}

{\ displaystyle \ arcsin x_ {1} \ pm \ arcsin x_ {2} = {\ begin {cases} X & \ pm x_ {1} x_ {2} \ leq 0 \ lor x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \\\ pi -X & x_ {1}> 0 \ land \ pm x_ {2}> 0 \ land x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}> 1 \\ - \ pi -X & x_ {1} <0 \ land \ pm x_ {2} <0 \ land x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}> 1 \ end {cases}}}

\ arcsin x_ {1} \ pm \ arcsin x_ {2} = {\ begin {cases} X & \ pm x_ {1} x_ {2} \ leq 0 \ lor x_ {1} ^ {2} + x_ {2 } ^ {2} \ leq 1 \\\ pi -X & x_ {1}> 0 \ land \ pm x_ {2}> 0 \ land x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} > 1 \ \ - \ pi -X & x_ {1} <0 \ land \ pm x_ {2} <0 \ land x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}> 1 \ end { cazuri}}

cu

X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)

{\ displaystyle X = \ arcsin \ left (x_ {1} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ pm x_ {2} {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2} }} \ dreapta)}

X = \ arcsin \ left (x_ {1} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ pm x_ {2} {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2}}} \ dreapta)

.

Sinusul arc al unei sume în intervalul în care este definit arcsinusul:

\arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)

{\ displaystyle \ arcsin (x \ pm y) = \ arcsin \ left ({\ sqrt {\ frac {1 + x ^ {2} -y ^ {2} - {\ sqrt {1 + x ^ {4} + y ^ {4} -2x ^ {2} y ^ {2} -2x ^ {2} -2y ^ {2}}}} {2}}} \ right) \ pm \ arcsin \ left ({\ sqrt { \ frac {1-x ^ {2} + y ^ {2} - {\ sqrt {1 + x ^ {4} + y ^ {4} -2x ^ {2} y ^ {2} -2x ^ {2 } -2y ^ {2}}}} {2}}} \ right)}

\ arcsin (x \ pm y) = \ arcsin \ left ({\ sqrt {{\ frac {1 + x ^ {2} -y ^ {2} - {\ sqrt {1 + x ^ {4} + y ^ {4} -2x ^ {2} y ^ {2} -2x ^ {2} -2y ^ {2}}}} {2}}}} \ right) \ pm \ arcsin \ left ({\ sqrt {{ \ frac {1-x ^ {2} + y ^ {2} - {\ sqrt {1 + x ^ {4} + y ^ {4} -2x ^ {2} y ^ {2} -2x ^ {2 } -2y ^ {2}}}} {2}}}} \ dreapta)

din care coboară:

\arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)

{\ displaystyle \ arcsin (2x) = 2 \ arcsin \ left ({\ sqrt {\ frac {1 - {\ sqrt {1-4x ^ {2}}}} {2}}} \ right)}

\ arcsin (2x) = 2 \ arcsin \ left ({\ sqrt {{\ frac {1 - {\ sqrt {1-4x ^ {2}}}} {2}}}} \ right)

\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)

{\ displaystyle \ arcsin \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = 2 \ arcsin \ left ({\ sqrt {\ frac {1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ { 2}} {4}}}}} {2}}} \ right)}

\ arcsin \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = 2 \ arcsin \ left ({\ sqrt {{\ frac {1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2} } {4}}}}} {2}}}} \ dreapta)

care sunt cazuri speciale de:

\arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)

{\ displaystyle \ arcsin (kx) = 2 \ arcsin \ left ({\ sqrt {\ frac {1 - {\ sqrt {1-k ^ {2} x ^ {2}}}} {2}}} \ right )}}

\ arcsin (kx) = 2 \ arcsin \ left ({\ sqrt {{\ frac {1 - {\ sqrt {1-k ^ {2} x ^ {2}}}} {2}}}} \ right)

pentru

0\leq kx\leq 1

{\ displaystyle 0 \ leq kx \ leq 1}

0 \ leq kx \ leq 1

Notă

^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p. 186
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 460
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 219
^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p. 295
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 239

Bibliografie

Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe arcsine

linkuri externe

( EN ) Arcoseno , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p. 186

[2] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 460

[3] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 219

[4] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p. 295

[5] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 239

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Rope Teorema · sani Teorema · cosinus teorema · drept de tangentele · cotangents Teorema · Pitagora · Formulele Prosthaphaeresis · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice