Arctangent
În trigonometrie arctangenta este definită ca funcția inversă a restricției funcției tangente la interval [1]
Numele poate fi derivat din expresia unuia dintre arcele a căror tangentă este măsura unghiului (de fapt radianii , unitate de măsură a funcției arctangente, corespund raportului dintre lungimea arcului de circumferință identificat de o dată unghiul și raza circumferinței în sine). Mai precis, s-ar putea spune că arctangenta lui este unghiul celei mai mici valori absolute a cărei tangentă este . Este necesar să se ia în considerare restricția funcției tangente la intervalul indicat anterior pentru a păstra inversibilitatea funcției.
Notaţie
Notatia matematica a arctangentei este sau ; scrisul este, de asemenea, obișnuit . În diferite limbaje de programare și pe tastaturile unor calculatoare, se ATAN
formularele ATAN
și ATN
.
Proprietate
- Arctangenta este o funcție definită pe setul de numere reale : [2]
- Imaginea sa este gama:
- Există limite finite la capetele domeniului:
- Funcția arctangentă este monotonă crescând strict:
- Este o funcție ciudată (deci graficul său este antisimetric):
și este elegant adică este continuu și există o derivată continuă a fiecărui ordin: [3]
Seria relativă MacLaurin (sau seria Taylor centrată în zero) este: [4]
este o serie Leibniz (deci convergentă) numai dacă
Este posibil să combinați suma sau diferența a două arctangenți într-o expresie în care arctangenta nu apare de mai multe ori:
in care
Avem și asta, pentru :
Există diferite moduri de a demonstra această egalitate. De exemplu, este suficient să se ia în considerare un triunghi dreptunghiular cu picioarele de lungime Și . Unghiul opus catetului în lungime va avea lățimea egală cu , în timp ce unghiul opus catetului în lungime va avea lățimea egală cu . Pentru teorema sumei unghiurilor interne ale unui triunghi, relația deține, așadar:
și apoi ajungem la:
Aplicații
- Într-un triunghi unghiular , amplitudinea în radiani a unui unghi acut este echivalentă all'arcotangente relația dintre catetul său opus catetus și adiacent [5] .
- Datorită proprietăților funcției arctangente, este posibil să se obțină formule și algoritmi foarte eficienți pentru calcularea cifrelor lui pi . Aceste formule sunt cunoscute sub numele de formule de tip Machin .
Notă
- ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.187
- ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . pp. 188-189
- ^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 219
- ^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 239
- ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . pp. 376-377
Bibliografie
- Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .
- Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 .
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe arctangent
linkuri externe
- (EN) Eric W. Weisstein, Arc Tangent , în MathWorld Wolfram Research.
- ( EN ) Eric W. Weisstein, Formule de tip Machin , în MathWorld , Wolfram Research.