Arg max

În matematică , arg max reprezintă argumentul maximului , ceea ce înseamnă setul de puncte ale unui argument dat pentru care o funcție dată atinge maximul : ^[1]

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\ |\ \forall y:f(y)\leq f(x)\}.

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x \ | \ \ forall y: f (y) \ leq f (x) \} .}

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x \ | \ \ forall y: f (y) \ leq f (x) \} .}

Cu alte cuvinte,

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x),

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x),}

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x),}

este setul de valori ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru care $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ atinge cea mai mare valoare $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . De exemplu, dacă $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $1-|x|$ ${\ displaystyle 1- | x |}$ ${\ displaystyle 1- | x |}$ , va atinge valoarea sa maximă $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ și numai în acel moment, atunci ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}$ ${\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, (1- | x |) = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, (1- | x |) = \ {0 \}}$ .

În mod echivalent, dacă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este maximul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , atunci arg max este setul de nivel al maximului său:

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=f^{-1}(M)=\{x\ |\ f(x)=M\}.

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x) = f ^ {- 1} (M) = \ {x \ | \ f (x) = M \ }.}

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x) = f ^ {- 1} (M) = \ {x \ | \ f (x) = M \ }.}

Dacă se ajunge la maxim pentru o singură valoare, atunci acel punct este denumit argumentul maxim, adică arg max este definit ca un punct, nu un set de puncte. Deci, de exemplu,

{\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}(x(10-x))=5,

{\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} (x (10-x)) = 5,}

{\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} (x (10-x)) = 5,}

(mai degrabă decât singletul $\{5\}$ ${\ displaystyle \ {5 \}}$ ${\ displaystyle \ {5 \}}$ ), deoarece valoarea maximă a $x(10-x)$ ${\ displaystyle x (10-x)}$ ${\ displaystyle x (10-x)}$ Și $25$ ${\ displaystyle 25}$ $25$ , care se obține prin $x=5$ ${\ displaystyle x = 5}$ ${\ displaystyle x = 5}$ . ^[2]

Cu toate acestea, în cazul în care maximul este atins în multe valori, arg max este un set de puncte.

Deci, unul are de exemplu

{\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \},

{\ displaystyle {\ underset {x \ in [0,4 \ pi]} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ cos (x) = \ {0,2 \ pi, 4 \ pi \} ,}

{\ displaystyle {\ underset {x \ in [0,4 \ pi]} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ cos (x) = \ {0,2 \ pi, 4 \ pi \} ,}

întrucât valoarea maximă a $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , care se obține prin $x=0,2\pi$ ${\ displaystyle x = 0,2 \ pi}$ ${\ displaystyle x = 0,2 \ pi}$ sau $4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$ . Pe întreaga linie reală, arg max este $\{2k\pi \}$ ${\ displaystyle \ {2k \ pi \}}$ ${\ displaystyle \ {2k \ pi \}}$ , cu $k\in \mathbb {Z} .$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}.}$

De asemenea, rețineți că funcțiile, în general, nu ating o valoare maximă și, prin urmare, în general nu au un argument maxim: ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x$ ${\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} \, x}$ ${\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} \, x}$ nu este definit, deci $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este nelimitat pe linia reală. Cu toate acestea, prin teorema Weierstrass (sau prin proprietățile spațiilor compacte ), o funcție continuă pe un compact acceptă un maxim și, prin urmare, un arg max.

Arg min

În mod similar, arg min reprezintă argumentul minimului și este definit într-un mod foarte similar. De exemplu,

{\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x),

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, min}}} \, f (x),}

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, min}}} \, f (x),}

sunt valorile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru care $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ atinge valoarea sa minimă $m .$ ${\ displaystyle m.}$ ${\ displaystyle m.}$

Proprietate

$\arg \max _{x}\{-f(x)\}=\arg \min _{x}f(x)$ ${\ displaystyle \ arg \ max _ {x} \ {- f (x) \} = \ arg \ min _ {x} f (x)}$ ${\ displaystyle \ arg \ max _ {x} \ {- f (x) \} = \ arg \ min _ {x} f (x)}$ .
Invarianța față de constantele aditive: $\arg \max _{x}\{f(x)+a\}=\arg \max _{x}f(x)$ ${\ displaystyle \ arg \ max _ {x} \ {f (x) + a \} = \ arg \ max _ {x} f (x)}$ ${\ displaystyle \ arg \ max _ {x} \ {f (x) + a \} = \ arg \ max _ {x} f (x)}$ pentru fiecare $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ R$ .
Invarianța față de constantele multiplicative pozitive: $\arg \max _{x}\{cf(x)\}=\arg \max _{x}\{f(x)\}$ ${\ displaystyle \ arg \ max _ {x} \ {cf (x) \} = \ arg \ max _ {x} \ {f (x) \}}$ ${\ displaystyle \ arg \ max _ {x} \ {cf (x) \} = \ arg \ max _ {x} \ {f (x) \}}$ pentru fiecare $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ .
Mai general, dacă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o funcție continuă strict monotonă ^[3] e $g(f(x))$ ${\ displaystyle g (f (x))}$ $g (f (x))$ atunci este bine definit

\arg \max _{x}\{g(f(x))\}=\arg \max _{x}\{f(x)\}.

{\ displaystyle \ arg \ max _ {x} \ {g (f (x)) \} = \ arg \ max _ {x} \ {f (x) \}.}

{\ displaystyle \ arg \ max _ {x} \ {g (f (x)) \} = \ arg \ max _ {x} \ {f (x) \}.}

Notă

^ Pentru claritate, ne referim la intrare ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) ca puncte și la ieșire ( $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ) ca valori ; comparați cu punctul critic .
^ Prin diferențiere, obținem $10-2x=0$ ${\ displaystyle 10-2x = 0}$ ${\ displaystyle 10-2x = 0}$ .
^ Prin strict monotonă înțelegem o funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Pentru claritate, ne referim la intrare ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) ca puncte și la ieșire ( $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ) ca valori ; comparați cu punctul critic .

[2] ^ Prin diferențiere, obținem $10-2x=0$ ${\ displaystyle 10-2x = 0}$ ${\ displaystyle 10-2x = 0}$ .

[3] Prin strict monotonă înțelegem o funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare.

[1]

[2]

[3]