Douăzeci de armonice cilindrice naturale, primele cinci din fiecare tip: J (albastru), Y (roșu), I (verde), K (violet)
În analiza matematică armonicele cilindrice , definite pentru prima dată de Daniel Bernoulli și redenumite ulterior de Bessel din care uneori iau numele (în mod incorect în ansamblu, ele sunt de fapt o subclasă a acestora), sunt soluțiile canonice {\ displaystyle y (x)} ecuațiilor Bessel :
- {\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {\ frac {dy} {dx}} + (x ^ {2} - \ alpha ^ {2}) y = 0}
pentru un număr arbitrar {\ displaystyle \ alpha} (reprezentând ordinea funcției). Deoarece conțin gama Euler , cel mai frecvent și mai important caz special este cel în care {\ displaystyle \ alpha} este un număr întreg {\ displaystyle n} , în care situația este considerabil simplificată cu factorialul, iar armonicile dobândesc alte proprietăți particulare. Se poate observa în primul rând (pentru paritatea funcției în {\ displaystyle \ alpha} ) acea {\ displaystyle \ alpha} Și {\ displaystyle - \ alpha} au aceeași soluție, pentru care este obișnuit să se definească în mod convențional două funcții Bessel diferite pentru aceste două ordine. Unul dintre domeniile în care sunt utilizate este teoria semnalelor , în special în domeniul modulației semnalelor pentru transmisii. Mai exact, armonicele cilindrice apar în dezvoltarea seriei Fourier a unui semnal modulat în frecvență (FM) sau a unui semnal modulat în fază (PM), când semnalul de intrare este un sinusoid.
Funcții Bessel
Soluția ecuației obișnuite se găsește în forma generală a seriei de putere crescătoare în {\ displaystyle x} :
- {\ displaystyle y (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n + b}}
unde să faceți reprezentarea unică, nu este restrictiv să solicitați acest lucru {\ displaystyle a_ {0} \ neq 0} . Derivatele vor fi apoi:
- {\ displaystyle y '(x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (n + b) x ^ {n + b-1}}
- {\ displaystyle y '' (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (n + b) (n + b-1) x ^ {n + b-2}}
Înlocuind în ecuație și colectând termenii cu aceleași puteri de {\ displaystyle x} , noi obținem:
- {\ displaystyle a_ {0} (b ^ {2} - \ alpha ^ {2}) x ^ {b} + a_ {1} ((b + 1) ^ {2} - \ alpha ^ {2}) x ^ {b + 1} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (a_ {n} + a_ {n + 2} ((b + n + 2) ^ {2} - \ alpha ^ {2 })) x ^ {n + b + 2} = 0}
pentru ca egalitatea să apară este necesar ca fiecare coeficient al puterilor {\ displaystyle x} este nul: de aceea avem sistemul infinit:
- {\ displaystyle a_ {0} (b ^ {2} - \ alpha ^ {2}) = 0, \ quad a_ {1} ((b + 1) ^ {2} - \ alpha ^ {2}) = 0 , \ quad a_ {n} + a_ {n + 2} ((b + n + 2) ^ {2} - \ alpha ^ {2}) = 0 \ quad (n \ in \ mathbb {N})}
Sistemul infinit poate fi dezmembrat în două părți pe baza criteriului parității lui {\ displaystyle n} :
- {\ displaystyle a_ {0} (b ^ {2} - \ alpha ^ {2}) = 0, \ quad a_ {2n} + a_ {2n + 2} ((b + 2n + 2) ^ {2} - \ alpha ^ {2}) = 0 \ quad (n \ in \ mathbb {N})}
- {\ displaystyle a_ {1} ((b + 1) ^ {2} - \ alpha ^ {2}) = 0, \ quad a_ {2n + 1} + a_ {2n + 3} ((b + 2n + 3 ) ^ {2} - \ alpha ^ {2}) = 0 \ quad (n \ in \ mathbb {N})}
Din moment ce se presupunea {\ displaystyle a_ {0} \ neq 0} , prima ecuație este crucială, deoarece implică acest lucru{\ displaystyle b = \ pm \ alpha} , și, prin urmare, oferă acces la soluția recursivă a sistemului uniform:
- {\ displaystyle a_ {2n + 2} = - {\ frac {a_ {2n}} {4 (n + 1) (b + n + 1)}} = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {a_ {0} \, \ Gamma (b + 1)} {4 ^ {n + 1} (n + 1)! \, \ Gamma (b + n + 2)}} \ quad (n \ in \ mathbb {N})}
unde apare funcția gamma a lui Euler , în timp ce cea ciudată este satisfăcută în acest moment numai dacă toate {\ displaystyle a_ {2n + 1} = 0} . Deci, soluțiile particulare se aplică:
- {\ displaystyle y_ {1} (x) = a_ {0} x ^ {\ alpha} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n }} {4 ^ {n} n! \ Gamma (\ alpha + n + 1)}}}
- {\ displaystyle y_ {2} (x) = a_ {0} 'x ^ {- \ alpha} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {4 ^ {n} n! \ Gamma (- \ alpha + n + 1)}}}
De obicei, în mod constant {\ displaystyle a_ {0}, a_ {0} '} valorile sunt atribuite:
- {\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {2 ^ {\ alpha} \ Gamma (\ alpha +1)}}}
- {\ displaystyle a_ {0} '= {\ frac {1} {2 ^ {- \ alpha} \ Gamma (- \ alpha +1)}}}
Graficul primelor trei funcții Bessel obișnuite naturale.
obținem astfel că soluția generală poate fi exprimată numai în funcția obișnuită Bessel (uneori numită primul tip, pentru a o deosebi de cele ale lui Neumann și Hankel), care este definită ca:
- {\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {\ alpha} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} ({\ frac {x} {2}}) ^ {2n}} {n! \ Gamma (\ alpha + n + 1)}}}
Se poate arăta cu ușurință că seria obținută este absolut și uniform convergentă în orice domeniu delimitat de {\ displaystyle \ alpha} și pe întregul plan complex al {\ displaystyle x} în afară de {\ displaystyle x = 0} (unde dacă {\ displaystyle \ Re \ alpha <0} are o singularitate de tip {\ displaystyle x ^ {\ Re \ alpha}} ). Acest lucru rezultă din criteriul Weierstrass : per {\ displaystyle | \ alpha | <N} Și {\ displaystyle | x | <d} valoarea absolută dintre termenii succesivi este mai mică decât {\ displaystyle 1} :
{\ displaystyle \ left | {\ frac {-x ^ {2}} {4n (\ alpha + n)}} \ right | \ leq {\ frac {d ^ {2}} {4n (nN)}} < 1}
de sine {\ displaystyle 4n ^ {2} -4Nn-d ^ {2}> 0} , adică de atunci {\ displaystyle n} este firesc dacă {\ displaystyle n> {\ frac {2N + {\ sqrt {4N ^ {2} + d ^ {2}}}} {4}}} , care nu depinde de {\ displaystyle \ alpha} Și {\ displaystyle x} : de aici funcția {\ displaystyle J} este analitic pentru toate valorile {\ displaystyle \ alpha} si pentru {\ displaystyle x} diferit de . Soluția generală devine:
- {\ displaystyle y (x) = C_ {1} J _ {\ alpha} (x) + C_ {2} J _ {- \ alpha} (x)}
În general {\ displaystyle J _ {\ alpha}} Și {\ displaystyle J _ {- \ alpha}} sunt liniar independente în {\ displaystyle x} , dar dacă {\ displaystyle \ alpha} este firesc că nu mai este adevărat. Intr-adevar {\ displaystyle \ Gamma (\ alpha) = (\ alpha -1)! \ quad (\ alpha \ in \ mathbb {N})} , iar primul {\ displaystyle \ alpha} termenii seriei de {\ displaystyle J _ {- \ alpha}} dispar ca fiind împărțiți de gama notoriu infinită de argumente negative. Deci începând de la termen {\ displaystyle (\ alpha +1)} -alea se obține:
- {\ displaystyle J _ {- \ alpha} (x) = ({\ frac {x} {2}}) ^ {\ alpha} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ {\ alpha + n} ({\ frac {x} {2}}) ^ {2n}} {(\ alpha + n)! \ Gamma (- \ alpha + \ alpha + n + 1)}} = (-1) ^ {\ alpha} ({\ frac {x} {2}}) ^ {\ alpha} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { n} ({\ frac {x} {2}}) ^ {2n}} {(\ alpha + n)! n!}} = (- 1) ^ {\ alpha} J _ {\ alpha} (x) \ quad (\ alpha \ in \ mathbb {N})}
Funcții Neumann
Graficul primelor trei funcții Neumann obișnuite naturale
Tocmai din cauza redundanței celor două funcții opuse Bessel de ordine naturală, este necesară introducerea unei a doua funcții care să înlocuiască una dintre cele două. Funcțiile Neumann sunt apoi introduse {\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)} (uneori denumit în mod necorespunzător la nivelul istoric al lui Bessel de al doilea tip ) că, ca o combinație liniară a celor două funcții opuse ale lui Bessel, tocmai:
- {\ displaystyle C_ {1} = \ cot (\ alpha \ pi)}
- {\ displaystyle C_ {2} = \ csc (\ alpha \ pi)}
ele constituie o alternativă la una dintre cele două, în mod convențional la a doua. O combinație liniară a funcției Bessel și a corespondentului Neumann formează astfel o soluție generală pentru orice {\ displaystyle \ alpha} , atât pentru ecuațiile obișnuite, cât și pentru cele modificate.
- {\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x) = {\ frac {J _ {\ alpha} (x) \ cos (\ alpha \ pi) -J _ {- \ alpha} (x)} {\ sin ( \ alpha \ pi)}}}
De fapt, conform regulii lui de l'Hôpital, limita pentru α care tinde la un număr întreg este:
- {\ displaystyle Y_ {n} (x) = \ lim _ {\ alpha \ to _ {n}} Y _ {\ alpha} (x) = \ lim _ {\ alpha \ to _ {n}} {\ frac {{\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} J _ {\ alpha} (x) \ cos (\ alpha \ pi) -J _ {- \ alpha} (x)} {{\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} \ sin (\ alpha \ pi)}}}
că dezvoltarea în serie a funcției Bessel corespunzătoare devine:
- {\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x) = {\ frac {2} {\ pi}} {\ frac {\ partial J _ {\ alpha} (x)} {\ partial \ alpha}} | _ { \ alpha = n} = {\ frac {2} {\ pi}} J _ {\ alpha} (x) (\ ln {\ frac {x} {2}} + \ gamma) +}
- {\ displaystyle - {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ alpha -1} {\ frac {(\ alpha -n-1)!} {n!}} ( {\ frac {x} {2}}) ^ {- \ alpha + 2n} - {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ {n} ({\ frac {x} {2}}) ^ {\ alpha + 2n}} {n! (\ Alpha + n)!}} \ Quad \ left (\ sum _ {k = 1 } ^ {\ alpha + n} {\ frac {1} {k}} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ right) \ qquad (\ alpha \ în \ mathbb {N})}
unde este {\ displaystyle \ gamma} este constanta Euler-Mascheroni .
Funcțiile Hankel
O reformulare suplimentară a două soluții liniar independente ale ecuației Bessel sunt funcțiile Hankel în două clase (cunoscute și ca funcții Bessel de al treilea tip) {\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x)} Și {\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x)} , definit de:
- {\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x) = J _ {\ alpha} (x) + iY _ {\ alpha} (x)}
- {\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x) = J _ {\ alpha} (x) -iY _ {\ alpha} (x)}
Importanța lor este mai mult un caracter teoretic decât de utilitate practică: satisfac numeroase simplități, în formele asimptotice sau reprezentări integrale, în sensul că un factor {\ displaystyle e ^ {if (x)}} , datorită formulei lui Euler . Prin urmare, acestea sunt utilizate pentru a exprima soluții care se propagă spre exterior și respectiv spre interior (sau invers, în funcție de convenția semnelor pentru frecvență ).
De fapt, ele pot fi rescrise conform definiției funcțiilor Neumann:
- {\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x) = {\ frac {J _ {- \ alpha} (x) -e ^ {- \ alpha \ pi i} J _ {\ alpha} (x)} {i \ sin (\ alpha \ pi)}}}
- {\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x) = {\ frac {J _ {- \ alpha} (x) -e ^ {\ alpha \ pi i} J _ {\ alpha} ( x)} {-i \ sin (\ alpha \ pi)}}}
de sine {\ displaystyle \ alpha} este întreg, trebuie să mergi la limită. În schimb, următoarele sunt valabile, indiferent de asta {\ displaystyle \ alpha} dacă este sau nu întreg: [1]
- {\ displaystyle H _ {- \ alpha} ^ {(1)} (x) = e ^ {\ alpha \ pi i} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x)}
- {\ displaystyle H _ {- \ alpha} ^ {(2)} (x) = e ^ {- \ alpha \ pi i} H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x)}
Ei admit următoarele reprezentări integrale pentru {\ displaystyle \ Re x> 0} : [2]
- {\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x) = {\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty + i \ pi} e ^ {x \ sinh t- \ alpha t} \, dt}
- {\ displaystyle H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x) = - {\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty -i \ pi} e ^ {x \ sinh t- \ alpha t} \, dt}
unde limita de integrare indică integrarea de-a lungul unei chenare care poate fi aleasă cu următorul criteriu: da {\ displaystyle - \ infty} lungă axa reală negativă, de la a {\ displaystyle \ pm i \ pi} de-a lungul axei imaginare și din {\ displaystyle \ pm i \ pi} la {\ displaystyle + \ infty} de-a lungul unei margini paralele cu axa reală. [3]
Armonice modificate
Sunt două soluții liniar independente ale ecuațiilor Bessel modificate: sunt valabile pentru {\ displaystyle x} complex , dar pentru {\ displaystyle x} imaginarele dobândesc proprietăți remarcabile ca și cele obișnuite pentru argumentele naturale. Funcțiile Bessel modificate sunt:
- {\ displaystyle I _ {\ alpha} (x) \ ,: = \, i ^ {- \ alpha} J _ {\ alpha} (ix)}
în timp ce funcțiile Neumann modificate sunt:
- {\ displaystyle K _ {\ alpha} (x): = {\ frac {\ pi} {2}} i ^ {\ alpha +1} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (ix)}
Spre deosebire de funcțiile obișnuite care sunt oscilante, {\ displaystyle I _ {\ alpha}} Și {\ displaystyle K _ {\ alpha}} diverg exponențial și se descompun exponențial . La fel și funcțiile obișnuite Bessel {\ displaystyle J _ {\ alpha}} , cele modificate {\ displaystyle I _ {\ alpha}} merg la zero în {\ displaystyle x = 0} pentru {\ displaystyle \ alpha> 0} și am ajuns în {\ displaystyle x = 0} pentru {\ displaystyle \ alpha = 0} . În mod similar, {\ displaystyle K _ {\ alpha}} diverg în {\ displaystyle x = 0} .
Forme asimptotice
Deoarece armonicile sunt definite prin serii divergente, este util să le studiem tendința asimptotică. Pentru subiecte mici {\ displaystyle 0 <x \ ll 1} , noi obținem:
- {\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) \ rightarrow {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {\ alfa}}
- {\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x) \ rightarrow \ left \ {{\ begin {matrix} {\ dfrac {2} {\ pi}} \ ln \ left ({\ dfrac {x} {2}} \ right) & {\ mbox {se}} \ alpha = 0 \\\\ - {\ dfrac {\ Gamma (\ alpha)} {\ pi}} \ left ({\ dfrac {2} {x}} \ dreapta) ^ {\ alpha} & {\ mbox {se}} \ alpha> 0 \ end {matrix}} \ right.}
unde este {\ displaystyle \ Gamma (\ alpha)} denotă funcția gamma a lui Euler .
Pentru subiecte mari, {\ displaystyle x \ gg 1} , armonicele obișnuite devin:
- {\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) \ rightarrow {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi x}}} \ cos \ left (x - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)}
- {\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x) \ rightarrow {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi x}}} \ sin \ left (x - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)}
Pentru {\ displaystyle x \ gg 1} armonicele modificate devin:
- {\ displaystyle I _ {\ alpha} (x) \ rightarrow {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi x}}} e ^ {x}}
- {\ displaystyle K _ {\ alpha} (x) \ rightarrow {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} e ^ {- x}}
Relația cu polinoamele Laguerre
În termeni de polinoame Laguerre generalizate {\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)}} și parametru arbitrar {\ displaystyle t} , funcțiile Bessel pot fi exprimate ca: [4]
- {\ displaystyle {\ frac {J _ {\ alpha} (x)} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {e ^ {- t}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {L_ {n} ^ {(\ alpha)} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4t}} \ right)} {n + \ alpha \ alege n}} {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}
Ecuația hipergeometrică confluentă
Funcția Bessel poate fi ușor obținută din forma Whittaker a ecuației hipergeometrice confluente în cazul particular în care {\ displaystyle k} este setat egal cu. Am avea așa {\ displaystyle c = 2a} și forma lui Whittaker va fi:
- {\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} v} {dx ^ {2}}} - \ left [{\ frac {1} {4}} - {\ frac {{\ frac { 1} {4}} - \ alpha ^ {2}} {x ^ {2}}} \ right] v = 0}
făcând astfel înlocuirea: {\ displaystyle x \ to 2ix} obținem ecuația Bessel ; soluțiile sale sunt prin construcție legate de soluțiile ecuației hipergeometrice confluente din relația:
- {\ displaystyle y _ {\ alpha} (x) \, = \, x ^ {\ alpha} e ^ {- ix} u (\ alpha + 1 / 2,2 \ alpha +1; 2ix)}
cu {\ displaystyle u} soluție generică a hipergeometricului confluent în care avem {\ displaystyle a = {\ frac {c} {2}} = \ alpha + {\ frac {1} {2}}}
Rețineți că, în cazul particular în care se află {\ displaystyle \ alpha = \ pm {\ frac {1} {2}}} ecuația Bessel are o soluție imediată și oferă:
- {\ displaystyle y (2ix) = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ sin x} {\ sqrt {x}}} \\\\ {\ dfrac {\ cos x} {\ sqrt {x}}} \ end {cases}}}
din aceasta putem ghici imediat că cel puțin anumite soluții ale ecuației Bessel vor avea o tendință oscilantă.
Notă
- ^ Abramowitz și Stegun, p. 358, 9.1.6 .
- ^ Abramowitz și Stegun, p. 360, 9.1.25 .
- ^ Watson, p. 178
- ^ Szegö, G. Orthogonal Polynomials, ed. A 4-a. Providence, RI: Amer. Matematica. Soc., 1975.
Bibliografie
- John D Jackson, Electrodinamica clasică , A. Barbieri (traducător), ediția a III-a, Zanichelli, 2001, pp. 109-113, ISBN 978-88-08-09153-6 .
- Milton Abramowitz și Irene Stegun Manual de funcții matematice (Dover, New York, 1964) (capitolele 9 , 10 , 11 )
- Isaac Todhunter Un tratat elementar despre funcțiile lui Laplace, funcțiile lui Lamé și funcțiile lui Bessel (Macmillan și co., New York, 1875)
- William Ellwood Byerly Un tratat elementar despre seria lui Fourier și armonicele sferice, cilindrice și elipsoidale cu aplicații la problemele din fizica matematică. (Ginn & Co., Boston, 1893) (capitolul 7)
- Andrew Gray și George Ballard Matthews Un tratat despre funcțiile Bessel și aplicațiile lor la fizică (Macmillan și co., New York, 1895)
- George Neville Watson Un tratat despre teoria funcțiilor Bessel (Cambridge University Press, 1922)
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe