În mecanica clasică , momentul de inerție (numit și moment polar sau moment deordinul doi sau mai puțin adecvat al doilea moment de inerție ) este o proprietate geometrică a unui corp, care măsoară inerția corpului pe măsură ce viteza sa unghiulară variază, o cantitate fizică utilizată în descrierea mișcării corpurilor în rotație în jurul unei axe. În mișcările de rotație, momentul de inerție joacă rolul pe care masa îl joacă în mișcările liniare. Are două forme: o formă scalară (adesea numită pur și simplu moment de inerție ), utilizată atunci când axa de rotație este exact cunoscută, și o formă de tensor mai generală (numită tensor de inerție ), care nu necesită cunoașterea axei de rotație.
Conceptul a fost introdus de Euler în cartea sa Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum în 1765 . Momentul de inerție al unui corp față de o axă dată descrie cât de dificilă este schimbarea mișcării sale unghiulare în jurul propriei axe. Există două definiții distincte ale momentului de inerție: momentul de masă de inerție , adesea utilizat în dinamică și de obicei notat cu {\ displaystyle I} , și momentul de inerție de suprafață , utilizat, de exemplu, în știința construcției și mai des denumit {\ displaystyle J} .
În sistemul internațional,unitatea de moment de inerție de masă este {\ textstyle \ mathrm {kg} \ cdot \ mathrm {m} ^ {2}} în timp ce pentru momentul de inerție de la suprafață este{\ textstyle \ mathrm {m} ^ {4}} .
Moment de inerție în masă
Momentul de inerție al masei este definit ca al doilea moment al masei în raport cu poziția. Este o funcție a geometriei obiectului examinat, în special a modului în care masa este distribuită în interiorul acestuia. De exemplu, luați în considerare două discuri (A și B) de aceeași masă. Discul A are o rază mai mare decât discul B. Presupunând că au grosimea și masa uniform distribuite, este mai dificil să accelerați discul A (modificați viteza unghiulară ), deoarece masa sa este distribuită în așa fel încât să fie mai departe decât axa sa de rotație: masa care este cea mai îndepărtată de axă trebuie să aibă, având fixată viteza unghiulară, o viteză mai mult tangențială și, prin urmare, mai multă energie decât masa care este mai aproape de centrul de rotație. În acest caz, discul A are un moment de inerție mai mare decât discul B.
Scafandri care își minimalizează momentul de inerție pentru a-și crește viteza de rotație
Momentul de inerție în forma sa scalară este util pentru rezolvarea a numeroase probleme, de exemplu, explică de ce diferite obiecte care se rostogolesc (cum ar fi sferele, cilindrii sau inelele) pe un plan înclinat cu frecare o fac cu accelerații diferite. De exemplu, un inel va rula mai lent decât un disc cu aceeași masă și rază. De fapt, masa inelului este situată departe de centrul de rotație și, prin urmare, la aceeași viteză, energia cinetică acumulată de corp este mai mare. Cu toate acestea, pentru probleme mai complicate în care se modifică axa de rotație, tratamentul scalar este inadecvat, de exemplu în giroscop , sateliți și toate obiectele a căror aliniere se schimbă.
Momentul de inerție al suprafeței
Momentul de inerție de suprafață al figurilor plane în raport cu o axă este frecvent utilizat în ingineria civilă și ingineria mecanică . De fapt, este direct corelat cu rezistența secțiunii unui element supus la îndoire în raport cu sarcinile ortogonale față de axa de referință. În practică, momentul de inerție este o mărime care indică rezistența unei figuri plane la rotire față de o axă de referință: cu cât este mai mare momentul de inerție, cu atât este mai mică capacitatea de rotire pe care o va arăta secțiunea.
Cazul tipic este cel al fasciculului . Dacă forțele de pe fascicul au direcția y , momentul de inerție al secțiunii se calculează în funcție de axa x (ortogonală la y ) care trece prin centrul de greutate al secțiunii fasciculului. În practică, cu același material , cu cât este mai mare momentul de inerție, cu atât grinda este mai rezistentă. Mai mult, cu cât materialul este mai departe de axa care trece prin centrul său de greutate, cu atât crește momentul de inerție. Pentru a realiza acest lucru, este suficient să rețineți că în următoarele formule pentru calcularea momentului de inerție înălțimea h a diferitelor figuri este cu exponent 3. Grinzile de oțel au adesea o secțiune I ( profile IPE sau NP) sau H (HE profiluri), tocmai pentru a exploata materialul cât mai mult posibil, plasându-l departe de centrul de greutate al secțiunii.
Momentul de inerție scalar
Forma scalară {\ displaystyle I} poate fi calculat pentru orice ax în formă de tensor {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}} folosind produsul dot :
{\ displaystyle I = {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} n_ {i} I_ {ij} n_ {j}}
Este {\ displaystyle {\ hat {z}}} axa de rotație fixă a unui sistem de n puncte materiale . Indicăm cu {\ displaystyle (r_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}} distanțele acestor puncte față de axa de rotație și cu {\ displaystyle m_ {i}} masele lor. În acest caz, momentul de inerție față de axă {\ displaystyle {\ hat {z}}} este definit ca:
{\ displaystyle I _ {\ hat {z}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}
Se poate observa că punctele materiale care sunt mai departe de axa de rotație oferă o contribuție mai mare. Folosind momentul de inerție este posibil să se exprime într-un mod simplu impulsul unghiular al unui sistem de {\ displaystyle n} particule care se comportă ca un corp rigid , adică în care distanțele reciproce dintre punctele materiale nu variază. Indicând cu {\ displaystyle v_ {i}}vitezele tangențiale ale particulelor și cu {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}viteza lor unghiulară , care este aceeași pentru toate punctele dacă corpul este rigid:
Este posibil să se extindă definiția momentului de inerție de masă și la un corp de volum rigid {\ displaystyle V} , dacă considerăm acest corp ca un sistem de puncte materiale, fiecare caracterizat printr-un volum {\ displaystyle \ Delta V} și o masă {\ displaystyle \ Delta m = \ rho \ Delta V} (unde este {\ displaystyle \ rho} este densitatea ); în acest caz contribuția momentului acestui element de volum la momentul total de inerție este dată de {\ displaystyle \ Delta I_ {z} = \ rho \ Delta Vr ^ {2}} (fiind {\ displaystyle r} distanța elementului de axa de rotație). Momentul de inerție se obține apoi prin adăugarea tuturor contribuțiilor și trecerea la continuu, adică pentru{\ displaystyle \ Delta V \ to 0} :
{\ displaystyle I _ {\ hat {z}} = \ int _ {V} \ rho r ^ {2} \ mathrm {d} V}
Dacă corpul este omogen (densitatea acestuia este deci o funcție constantă) și se caracterizează prin simetrii particulare, atunci calculul integralei este deosebit de simplu.
Tensor de inerție
Energia cinetică a unui corp rotativ se dovedește a fi o formă pătratică omogenă a componentelor vectorului de viteză unghiulară . În general, atunci va fi posibil să scrieți:
în care ne referim la însumarea cu privire la indicii repetați. Pentru a arăta asta {\ displaystyle I_ {ij}} este un tensorcovariant de ordinul doi, este necesar să se arate că se transformă ca vector de acest gen. Cu toate acestea, această verificare este banală, deoarece energia cinetică este scalară și, prin urmare, este invariantă sub o schimbare de coordonate:
sau asta {\ displaystyle I_ {ij}} este un tensor covariant de ordinul doi.
Același obiect poate avea momente diferite de inerție în funcție de axa de rotație. De exemplu, trei momente de inerție asociate celor trei axe cartesiene {\ displaystyle (x, y, z)} nu sunt neapărat aceleași datorită nesimetriei obiectului:
{\ displaystyle I_ {xx} = \;} moment de inerție de-a lungul liniei prin centrul de masă și paralel cu axa x
{\ displaystyle I_ {yy} = \;} moment de inerție de-a lungul liniei prin centrul de masă și paralel cu axa y
{\ displaystyle I_ {zz} = \;} moment de inerție de-a lungul liniei prin centrul de masă și paralel cu axa z
O sferă cu densitate constantă va avea momente egale indiferent de axa de rotație care trece prin centrul sferei. Pentru un cub {\ displaystyle I_ {xx} = I_ {yy} = I_ {zz}} dacă este aliniată cu axele.
Cantități {\ displaystyle I_ {xx}} , {\ displaystyle I_ {yy}} , {\ displaystyle I_ {zz}} ele fac parte din momentul tensorului de inerție {\ displaystyle I} ale cărei componente sunt definite ca:
pentru un sistem de {\ displaystyle n} puncte cu masa {\ displaystyle m_ {i}} identificate prin coordonate carteziene {\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})} . Deoarece acest tensor este o matrice simetrică reală, prin teorema spectrală este posibil să se găsească un sistem de coordonate carteziene (o bază ortonormală ) în raport cu care matricea este diagonală:
{\ displaystyle {\ bar {\ bar {I}}} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {3} \ end {bmatrix}}}
unde axele ( vectorii proprii ai matricei) se numesc axe și constante principale{\ displaystyle I_ {1}} , {\ displaystyle I_ {2}} Și {\ displaystyle I_ {3}} (valorile proprii) se numesc momente principale de inerție și sunt de obicei sortate în ordine crescătoare:
{\ displaystyle I_ {1} \ leq I_ {2} \ leq I_ {3}}
Apelarea vectorilor unitari de-a lungul axelor principale {\ displaystyle ({\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3})} ca rânduri ale matricei de identitate tridimensionale, rotația în jurul acelor axe principale de inerție pentru care momentul de inerție nu este nici maxim, nici minim, nu este stabilă. Pentru un solid de rotație omogen, axa de rotație este axa principală de inerție.
Momentul de inerție față de orice axă care trece prin centrul de masă poate fi exprimat și ca distanța de la centrul la care această axă intersectează suprafața unui elipsoid ale cărui semi-axe, orientate de-a lungul axelor principale, sunt lungi {\ displaystyle 1 / {\ sqrt {I_ {1}}}} , {\ displaystyle 1 / {\ sqrt {I_ {2}}}} , {\ displaystyle 1 / {\ sqrt {I_ {3}}}} . Acest elipsoid este numit elipsoid de inerție .
Utilizare în mecanică
Folosind tensorul {\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}} , se poate exprima:
Momentul cu privire la o axă {\ displaystyle z} , paralel cu altul {\ displaystyle c} care trece prin centrul de masă, se obține prin adăugarea momentului de inerție față de {\ displaystyle c} produsul masei corpului și al distanței pătrate între axe {\ displaystyle c} Și {\ displaystyle z} .
{\ displaystyle I_ {z} = I _ {\ text {cm}} + Md ^ {2}}
Teorema axei perpendiculare
Considerată o figură plană cu distribuție de masă bidimensională, atunci momentul de inerție în jurul axei perpendiculare pe planul pe care se află figura este egal cu suma momentelor de inerție din jurul axelor care definesc planul. [1] De exemplu, dacă figura se află pe planul xy :
{\ displaystyle {\ tfrac {1} {12}} M (a ^ {2} + b ^ {2})}
Momentul de inerție de masă pentru solidele omogene
Momentele de inerție, cu privire la axa de simetrie care trece prin centrul de masă, ale unor solide omogene remarcabile cu densitate volumetrică egală cu {\ displaystyle \ rho} .
Momentul de inerție al cilindrului
Luați în considerare un cilindru de masă {\ displaystyle M} , raza{\ displaystyle R} și înălțime {\ displaystyle H} , asa de {\ displaystyle M = \ rho \ pi R ^ {2} H} . Măsura elementului de volum generic este dată de {\ displaystyle Hr \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} r} iar momentul de inerție față de axa cilindrului este dat de:
{\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ hat {z}} & = \ int _ {0} ^ {R} \ rho r ^ {2} Hr2 \ pi \; \ mathrm {d} r \\ & = 2 \ pi \ rho H \ int _ {0} ^ {R} r ^ {3} \; \ mathrm {d} r \\ & = {\ frac {\ pi \ rho HR ^ {4}} { 2}} \\ & = {\ frac {1} {2}} MR ^ {2} \ end {align}}}
Momentul de inerție al conului
Pentru a calcula momentul de inerție al unui con, considerați momentul final ca suma momentelor de inerție a discurilor cu înălțime infinitesimală{\ displaystyle \ mathrm {d} z} , fixând originea sistemului de referință la vârful conului orientat în jos. Raza discului unic variază liniar cu variația de {\ displaystyle z} conform raportului{\ displaystyle R} , raza de bază, împărțită {\ displaystyle h} , înălțimea conului. Elementul infinitesimal de masă este calculat folosind {\ displaystyle \ rho} înmulțit cu volumulcilindrului de înălțime{\ displaystyle \ mathrm {d} z} . Prin integrarea momentului de inerție al discului de la 0 la {\ displaystyle h} obțineți rezultatul final.
{\ displaystyle \ mathrm {d} I = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \; \ mathrm {d} m \ qquad \ mathrm {d} m = \ rho \ pi r ^ {2} \; \ mathrm {d} z \ qquad r = {\ frac {R} {h}} z}
{\ displaystyle {\ begin {align} I & = {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {h} {\ frac {R ^ {4}} {h ^ {4 }}} z ^ {4} \; \ mathrm {d} z \\ & = {\ frac {\ rho \ pi R ^ {4}} {2h ^ {4}}} {\ frac {h ^ {5 }} {5}} \\ & = {\ frac {3M} {\ pi R ^ {2} h}} {\ frac {\ pi R ^ {4}} {2h ^ {4}}} {\ frac {h ^ {5}} {5}} \\ & = {\ frac {3} {10}} MR ^ {2} \ end {align}}}
Momentul de inerție al sferei
Momentul de inerție al unei sfere se obține prin adăugarea momentelor de inerție ale discurilor cu grosime infinitesimală{\ displaystyle \ mathrm {d} x} , fixând originea sistemului de referință în centrul sferei orientat în sus. Raza discului unic variază în funcție de funcția care descrie un arc de circumferință în primul cadran , de la un minim de 0, cu {\ displaystyle x = R} , raza sferei, la maximum{\ displaystyle R} la fel. Elementul infinitesimal de masă se obține folosind {\ displaystyle \ rho} înmulțit cu volumulcilindrului de înălțime {\ displaystyle dx} . Prin integrarea momentului de inerție al discului din {\ displaystyle -R} la {\ displaystyle R} obțineți rezultatul final.
{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathrm {d} I = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \; \ mathrm {d} m \ qquad & \ mathrm {d} m = \ rho \ pi r ^ {2} \; \ mathrm {d} x \\ & r = {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}} & \ rho = {\ frac {M} {{ \ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}}} \ end {align}}}
Luând în considerare doar definiția momentului de inerție și densitate {\ displaystyle \ rho} , momentul de inerție al unui paralelipiped, calculat în raport cu axa {\ displaystyle {\ hat {z}}} care trece prin centrul de greutate al paralelipipedului, este egal cu:
{\ displaystyle {\ begin {align} I & = \ int _ {V} \ rho r ^ {2} \ operatorname {\ mathop {\ mathrm {d} r}} ^ {3} \\ & = \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} \ int _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ int _ {- {\ frac {c} {2}}} ^ {\ frac { c} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y} \ mathop {\ mathrm {d} z} \ \ & = c \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} \ left [x ^ {2} y + {\ frac {y ^ {3}} {3}} \ right] _ { - b / 2} ^ {b / 2} \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = c \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} \ left (x ^ {2 } b + {\ frac {b ^ {3}} {12}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = c \ rho \ left [{\ frac {x ^ {3}} {3}} b + x {\ frac {b ^ {3}} {12}} \ right] _ {- a / 2} ^ {a / 2} \\ & = abc \ rho \ left ({\ frac {a ^ {2}} {12}} + {\ frac {b ^ {2}} {12}} \ right) \\ & = M \ left ({\ frac {a ^ {2}} {12} } + {\ frac {b ^ {2}} {12}} \ right) \ end {align}}}
Momentul de inerție al suprafeței pentru figurile geometrice plane
Momente de inerție la suprafață ale celor mai frecvente secțiuni
Momentele de inerție sunt calculate în raport cu axa barycentrală orizontală, adică axa {\ displaystyle x} , și, în special, cele ale dreptunghiului și triunghiului, de asemenea, în ceea ce privește o axă paralelă cu cea barcentrală prin intermediul teoremei Huygens-Steiner . Densitatea obiectelor trebuie considerată unitară.
{\ displaystyle J_ {11} = {\ frac {\ pi r ^ {4}} {4}}}
Elipsă:
{\ displaystyle J_ {11} = {\ frac {\ pi ab ^ {3}} {4}}}
Momentul de inerție al unui poligon
Luați în considerare un poligon{\ displaystyle {\ vec {P}}} conținut în planul xy , având n vârfuri de coordonate {\ displaystyle (x_ {i} \;, y_ {i})} , luăm în considerare și vectorii {\ displaystyle P_ {i} \ equiv (x_ {i} \;, y_ {i})} , prin formula zonei Gaussiene , se arată că numerotând vârfurile astfel încât vârful generic i să fie adiacent vârfului i + 1, aria este dată de:
dove con l'operazione {\displaystyle |{\vec {P_{i}}}\times {\vec {P_{i+1}}}|} si intende la norma con il segno del vettore risultante dal prodotto vettoriale tra {\displaystyle {\vec {P_{i}}}} e {\displaystyle {\vec {P_{i+1}}}} e inoltre per convenzione si assume che:
Analogamente per un prisma retto di altezza {\displaystyle h} avente come base un poligono contenuto nel piano xy avremo che i rispettivi momenti di inerzia sono:
Variazione dell'orientamento e delle dimensioni di una figura geometrica piana
Si vogliono presentare alcuni esempi per capire meglio come l'orientamento delle figure geometriche, e le loro dimensioni, entrano in gioco nel calcolo del momento di inerzia. Si prenda come esempio una delle figure geometriche più semplici, il rettangolo, assumendo un'area di 8 cm², con un lato di 2 cm e l'altro di 4 cm. Dapprima si prenda l'asse per il quale si vuole calcolare il momento di inerzia parallelo al lato di 4 cm e passante per il baricentro, poi si prenda un altro asse parallelo al lato di 2 cm, sempre passante per il baricentro.
Nel primo caso si ha {\displaystyle b=4} e {\displaystyle h=2} , per cui:
cioè un valore 4 volte maggiore rispetto al primo caso. Inoltre, mantenendo l'area del rettangolo sempre uguale a 8 centimetri quadrati e il lato più lungo ortogonale all'asse, si consideri ora un rettangolo di lati {\displaystyle b=1} e {\displaystyle h=8} (in pratica si è "stirato" il rettangolo di partenza mantenendo invariata l'area). Si ha:
cioè un valore 4 volte maggiore del secondo caso e 16 volte maggiore del primo, ottenuto sempre con un rettangolo di uguale area. Quanto appena detto si estende ovviamente anche ai corpi solidi.
( LA ) Leonhard Euler, Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata , Cornell University Library, 1º gennaio 1765, ISBN978-1-4297-4281-8 .
( EN ) Kane TR e Levinson DA, Dynamics, Theory and Applications , New York, McGraw-Hill, 1985.
( EN ) Beer Ferdinand P., E. Russell Johnston e Jr., Phillip J. Cornwell, Vector mechanics for engineers: Dynamics , 9th ed., Boston, McGraw-Hill, 2010, ISBN978-0-07-729549-3 .