Simetrie (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Simetrii axiale în figuri geometrice plane. Obiectul fără axe este „asimetric”.

În matematică , o simetrie este o operație care mișcă sau transformă un obiect, lăsând în același timp aspectul său neschimbat. Obiectul poate fi, de exemplu, o figură geometrică sau o ecuație . În general, simetriile unui obiect formează un grup , numit grup de simetrie .

Exemple de transformări sunt izometriile figurilor geometrice, cum ar fi poligoane sau poliedre (cum ar fi reflecții sau rotații ) sau permutările variabilelor într-o formulă sau ecuație.

Simetrie în geometrie

O simetrie a unei figuri geometrice este o transformare care lasă figura neschimbată. O astfel de definiție depinde de ceea ce se înțelege prin „figură geometrică” și „transformare” [1] .

În orice caz, „transformările” formează un grup cu operația de compoziție , iar simetriile formează un subgrup , numit grupul simetriilor figurii. Cu alte cuvinte, apar următoarele fapte:

  • între simetriile unui obiect, există întotdeauna identitatea : este transformarea care lasă toate punctele fixe;
  • compoziția a două simetrii este întotdeauna o simetrie;
  • o simetrie are întotdeauna un invers , care este încă o simetrie.
Axele de simetrie ale unor poligoane. Așii au întotdeauna un punct în comun.

Puncte fixe

Punctele fixe sunt punctele figurii geometrice care rămân staționare într-o simetrie. Dacă există un singur punct fix (așa cum se întâmplă, de exemplu, într-o rotație în plan), acesta se numește centrul de simetrie, în timp ce dacă punctele fixe formează o linie dreaptă (ca într-o reflecție în plan sau o rotație în spațiu) aceasta este axa simetriei. Unele transformări (cum ar fi traducerile ) nu au puncte fixe.

Toate acestea sunt adevărate în geometria euclidiană . Dacă, pe de altă parte, considerăm geometria proiectivă , în care spațiul euclidian este mărit cu entități geometrice necorespunzătoare (adică plasate la infinit), atunci translația, de exemplu, este o rotație în plan în jurul unui punct plasat la infinit într-o direcție ortogonal față de direcția traducerii.

O figură plană poate avea multiple axe de simetrie: în acest caz, toate se intersectează la un moment dat. De exemplu, un pătrat are 4 axe de simetrie, care se intersectează în centru.

O figură solidă, cum ar fi un poliedru , poate avea axe de simetrie (în prezența rotațiilor) sau planuri de simetrie (în prezența reflexiilor). De exemplu, un paralelipiped are cel puțin 3 axe de simetrie 3 și plane de simetrie.

Geometria euclidiană

În geometria euclidiană , o figură geometrică este orice subset al spațiului euclidian (de exemplu, planul sau spațiul tridimensional). Prin urmare, sunt figuri geometrice, de exemplu poligoane sau conice în plan sau poliedre în spațiu.

Rotația de 90 ° este o simetrie a pătratului. Prin compunerea acestuia de 2 sau 3 ori, se obțin rotații de 180 ° și 270 °. Apelând-o de 4 ori, se obține funcția de identitate .

Transformările geometriei euclidiene sunt izometrii : adică traduceri , reflexii , rotații și compoziții ale acestora. Fiecare dintre aceste transformări mișcă toate punctele spațiului și, în special, mișcă figura geometrică care este conținută în acesta.

De exemplu, printre simetriile unui pătrat găsim rotația în sensul acelor de ceasornic de 90 ° în jurul centrului și reflexia în jurul uneia dintre axele sale. Prin compunerea acestor două operații se obțin alte simetrii ale pătratului.

Grupul de simetrii ale unui poligon regulat cu lati este un grup mult studiat în algebră , numit grupul diedru . Are doi generatori : reflecție față de o axă și rotația în sensul acelor de ceasornic din grade. Compunerea simetriilor Și se obțin toate celelalte simetrii, care sunt de două tipuri:

  • rotație a grade, pentru unele întregi între Și ,
  • reflectare cu privire la una dintre axele figurii.

Grupul diedru, de obicei notat cu , este deci un grup finit de elemente. Nu este un grup abelian : de fapt elementele Și sunt simetrii diferite (ambele reflexii, dar cu axe diferite).

Cele 12 simetrii ale unui tetraedru se pot obține prin rotații.

Poliedre

Fiecare dintre cele cinci solide platonice are un grup de simetrii: aceste grupuri de simetrii sunt obiecte de importanță fundamentală în algebra și geometria modernă și se găsesc în multe contexte diferite. Două solide platonice duale au același grup de simetrii. Toate aceste grupuri de simetrii sunt finite și non-abeliene.

Grupul de simetrie al tetraedrului este cel mai mic dintre acestea. Fiecare permutare a vârfurilor tetraedrului se face exact printr-o singură simetrie, deci grupul este izomorf cu grupul simetric , care are elemente. Dintre acestea, 12 sunt realizabile prin rotații și corespund subgrupului alternativ , format din permutările uniforme.

Conics

Un cerc are o cantitate infinită de simetrii: rotațiile oricărui unghi în jurul originii și reflexiile cu privire la o linie arbitrară, trecând prin origine. Prin urmare, grupul de simetrii al unui cerc este infinit și este izomorf pentru grupul ortogonal .

O elipsă (care nu este o circumferință) are mult mai puține simetrii: simetrii Și în ceea ce privește axele și compoziția lor . Prin urmare, grupul de simetrii este format din 4 elemente , este abelian și izomorf pentru produsul direct a două grupuri ciclice de ordine .

O hiperbolă are același grup de simetrii, generate de reflexiile de pe cele două axe ale sale.

O parabolă are și mai puține simetrii: pe lângă identitate, o reflectare față de axa sa. Prin urmare, grupul de simetrii este izomorf pentru .

Dimensiune arbitrară

Grupul de simetrii al unei sfere in marime este grupul ortogonal special .


Simetria în algebră

O simetrie într-o expresie matematică (de exemplu o formulă sau o ecuație ) care conține variabile este o permutare a acestora, care lasă expresia neschimbată. De exemplu, în polinom fiecare permutare a variabilelor este o simetrie în timp ce se află în ecuație numai permutarea variabilelor Și este o simetrie.

De asemenea, în acest context, simetriile formează un grup, care este un subgrup al grupului simetric al tuturor permutațiilor variabilelor. Dacă expresia are un număr finit de variabile, acel grup este finit . O expresie aici este orice obiect matematic formal care depinde de unele variabile: de exemplu, chiar și o relație binară sau o matrice .

Exemple

Termenul „simetric” este utilizat în matematică în diverse contexte și denotă întotdeauna prezența unei simetrii particulare.

Simetriile și graficul funcțiilor

Având în vedere graficul funcției , se pot obține următoarele simetrii:

  • Graficul este simetric cu graficul lui în raport cu axa x
  • Graficul este simetric cu graficul lui în raport cu axa y
  • Graficul este simetric cu graficul lui cu privire la origine

Notă

  1. ^ Această definiție a simetriei este atât de generală încât a fost interpretată ca definiția fundamentală a geometriei în sens larg, de Felix Klein în programul său Erlangen din 1872 .

Bibliografie

  • ( EN ) Hermann Weyl , Simetrie. Reimprimarea originalului din 1952. Biblioteca de Științe Princeton. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989. viii + 168 pp. ISBN 0-691-02374-3
  • ( RO ) Mark Ronan, Symmetry and the Monster , Oxford University Press, 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Introducere concisă pentru cititor laic)
  • (RO) Marcus du Sautoy , Finding Moonshine: a Mathematician's Journey Through Symmetry, Fourth Estate , 2009
  • ( DE ) H. Schupp: Elementargeometries . UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2 , S. 35, 45

Elemente conexe

Controlul autorității LCCN ( EN ) sh2006001303
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică