Axiomă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea definiției în matematică, consultați Axioma (matematică) .

În epistemologie , o axiomă este o propoziție sau un principiu care se presupune că este adevărat pentru că este considerat a fi evident sau pentru că oferă punctul de plecare pentru un cadru teoretic de referință.

Setul de axiome și concepte primitive constituie fundamentul, „punctul de plecare”, sau începutul, oricărei teorii deductive care se prezintă ca un sistem axiomatic (vezi dovada și proba matematică ).

O axiomă din câmpul geometric se numește postulat .

Un postulat diferă de o axiomă prin faptul că este introdus pentru a demonstra propoziții care altfel nu ar putea fi dovedite. Cu alte cuvinte, poate fi definit ca o „teorie ad hoc ” foarte simplă, acceptată datorită utilității sale. [1]

În matematică , termenul postulat, pe de altă parte, are semnificația mai precisă a axiomei non-logice , adică axioma specifică unei teorii matematice specifice. Axiomele și postulatele, prin însăși natura lor, nu sunt niciodată dovedite .

Dezvoltare istorica

Filozofia antică

Fiecare sistem deductiv pleacă de la un sistem de enunțuri, care poate fi definit generic ca premise ( protasis singular grecesc, latin praemissa ).

Aceste premise au fost distinse de filosofii greci (în special Aristotel , dar există și diverse progrese în profesorul său Platon , în diferite tipuri:

  • necesar
    • definiții (singular gr. horismos , lat. definitio )
    • axiome (gr. sing. axiōma )
  • nu este necesar
    • ipoteză (gr. sing. ipoteză )
    • postulate (gr. sing. aitēma , lat. postulatum )

Definițiile au fost considerate necesare, deoarece s-a considerat imposibil să se vorbească despre ceva fără să fi spus „despre ce a fost” lucrul despre care se vorbește.

Axiomele, pe de altă parte, au fost considerate necesare întrucât au enunțat adevăruri evidente pentru oricine, nu demonstrabile, dar totuși indubitabile. Ca adevăruri cunoscute de toți, ele erau considerate și noțiuni comune (Gr. Plur. Koinai ennoiai ), și așa sunt numite axiomele de către Euclid în Elementele sale.

Pe de altă parte, ipotezele și postulatele nu au fost considerate necesare, ci premise care ar putea fi asumate sau nu în funcție de scopurile și circumstanțele discursului.

În special, cei care au efectuat un anumit raționament au cerut interlocutorului să ia anumite postulate drept adevărate; nu era necesar ca el să creadă că sunt adevărate, dar i s-a cerut să urmeze raționamentul care s-a desfășurat atunci când se presupunea că sunt adevărate.

În ceea ce privește ipotezele, acestea au fost similare cu postulatele, cu diferența că cel care le-a asumat drept premise a făcut-o de obicei cu unele rezerve, fie pentru că au fost considerate adevărate de către interlocutor, dar nu de către cel care a realizat raționamentul, sau pentru că doreau să vadă la ce concluzii ar fi condus acele ipoteze, pentru a stabili apoi - pe baza acestor concluzii - dacă ipotezele vor fi respinse. Un exemplu tipic de luare de ipoteze apare atunci când interlocutorul afirmă ceva care nu se crede a fi adevărat și cineva se pune la dispoziție momentan pentru a obține implicații din acele ipoteze pentru a arăta că sunt implicații inacceptabile (de obicei pentru că sunt contradictorii, caz în care obținem așa-numita „ dovadă prin absurd ” a negării ipotezelor).

Logică modernă

În zilele noastre, logica matematică nu mai crede că se poate baza pe adevăruri necesare (sau neapărat evidente pentru oricine), iar în construcția unui sistem deductiv ne limităm la enumerarea într-un mod „neutru” a unei serii de premise pentru a vedea ce implicații pot se deduce din ele. Mai mult, niciun sistem deductiv nu încearcă să spună „care sunt” termenii pe care îi folosește, în sensul că încercarea milenară (de la care începuse construcția metafizicii) a fost renunțată pentru a da o definiție explicită a acestor termeni și noi el se limitează la punerea la punct a unui sistem de propoziții care utilizează acei termeni și din care pot fi obținute dovezi, crezând în acest fel că a dat o definiție implicită a acestor termeni.

Prin urmare, am renunțat complet la premisele pe care anticii le considerau „necesare”, adică definiții și axiome, și doar premisele „inutile”, care sunt postulate și ipoteze, au fost menținute. Dacă atunci considerăm că distincția dintre postulat și ipoteză are mai mult o valoare „polemică” în contextul schimbului dialectic dintre interlocutori, ne dăm seama că atitudinea „neutră” pe care logica contemporană ar dori să o asume este bine redată de ceea ce este presupus pur și simplu ca fiind adevărat fără nicio pretenție la confirmare și negare, iar acest concept coincide exact cu cel al postulatului .

Respectând aceste considerații generice, fiecare sistem deductiv ar trebui să se bazeze exclusiv pe postulate, renunțând definitiv la toate celelalte tipuri tradiționale de premise.

Cu toate acestea, aceasta nu este utilizarea care s-a impus și, într-adevăr, cele mai răspândite abordări în acest sens par să meargă într-o direcție complet diferită.

Premise logice și specifice

Unii autori încearcă să păstreze - chiar și din motive de continuitate lexicală - distincția tradițională dintre axiome și postulate, încadrând-o într-un context modern. În acest sens, este util să pornim de la distincția dintre afirmațiile logice de cele specifice . Enunțurile logice sunt cele care descriu în general proprietățile relațiilor logice (cuantificatori, conectivi etc.) și ca atare sunt considerate valabile pentru orice teorie deductivă; în schimb, propozițiile specifice sunt cele care descriu proprietățile termenilor specifici care sunt folosiți de o anumită teorie. De exemplu, dacă spunem că atunci când A implică B și A este adevărat, atunci B este, de asemenea, adevărat, afirmăm ceva referitor la „logică”, în timp ce dacă spunem că două puncte trec întotdeauna o singură linie, spunem ceva de „specific”, și în special ceva specific geometriei euclidiene de exemplu.

Deși - așa cum am spus - nici o afirmație nu poate fi considerată necesară sau evidentă, afirmațiile logice, fiind prezente în fiecare sistem deductiv, sunt cel puțin „universale”. În consecință, dintre toate premisele pe care se bazează un sistem deductiv, cele logice sunt cele care se pretează cel mai bine la păstrarea apelativului axiomelor , în timp ce cele specifice pot fi considerate postulate .

Această abordare este totuși foarte compatibilă cu un text clasic fundamental, deoarece acestea sunt elementele lui Euclid , în care „noțiunile comune” (koinai ennoiai), care , așa cum am spus, sunt axiomele textului, au cea mai mare parte o valoare universală, în sensul că ar putea fi plasate printre premisele oricărei discipline. Se afirmă, de exemplu, că două lucruri egale cu același lucru sunt egale între ele, că prin adăugarea și scăderea acelorași lucruri la aceleași lucruri se obține totuși aceleași lucruri și așa mai departe. Singura excepție este poate a patra dintre aceste noțiuni comune, care afirmă că lucrurile „coincidente” sunt egale între ele. Astăzi această „coincidență” este înțeleasă ca congruență a figurilor geometrice, astfel încât este specific geometriei să se afirme că două figuri geometrice sunt egale (sau în orice caz echivalente) dacă sunt congruente, adică dacă pot fi suprapuse una pe cealaltă prin mijloace de transformări care nu le „deformează”. (izometrii). Din acest punct de vedere, a patra noțiune comună a lui Euclid ar trebui considerată specifică geometriei, totuși se pare că Euclid a intenționat acest lucru în termeni mai generici și nu este o coincidență faptul că astăzi conceptul de congruență este răspândit în aproape toate domeniile matematicii, unde denotă în general un tip de echivalență. În ceea ce privește postulatele lui Euclid ( aitemata ), toate sunt specifice geometriei.

Deși abordarea prezentată mai sus este în ansamblu destul de compatibilă cu Elementele lui Euclid , nu este deloc compatibilă cu majoritatea opțiunilor de cuvinte moderne, cum ar fi cele care au fost impuse de la Principia de Newton și până la unul dintre textele de bază ale modernității. discipline deductive, precum Hilbert's Foundations of Geometry (1899).

De fapt, Newton definește faimoasele sale trei legi ale axiomelor mișcării, iar în rest apar doar printre premisele definițiilor. Prin urmare, în Newton, în afară de menținerea revendicării de a defini termenii, toate axiomele sunt în mod clar „specifice” fizicii.

În ceea ce îl privește pe Hilbert, el este fondatorul acelei abordări moderne care intenționează să renunțe la pretenția de a defini în mod explicit termenii, punând împreună un număr suficient de premise, astfel încât să permită deducerea teoremelor chiar și fără a avea nicio reprezentare mentală a acestui lucru. termenii se referă. Astfel Hilbert elimină definițiile cu totul crescând numărul de premise de la care să înceapă, după care numește toate aceste premise indiferent axiome și vorbește despre un sistem axiomatic pentru a indica orice sistem deductiv, în timp ce disciplina inerentă este definită generic ca axiomatică .

Formule și reguli de inferență

Din modul în care Newton, și în special Hilbert, utilizează această terminologie, pare să iasă dorința de a defini orice premisă pe care un sistem deductiv poate fi constituit o axiomă , renunțând complet la a vorbi de postulate .

Acest lucru este parțial adevărat, totuși trebuie remarcat și faptul că în premisele acestor texte apar doar cele pe care teoria modernă a sistemelor formale le-ar defini formule sau expresii care atribuie anumite proprietăți termenilor sau fac anumite relații să existe între doi sau mai mulți termeni . În schimb, printre aceste premise, regulile inferenței nu apar niciodată, adică acele premise care stabilesc în ce condiții anumite formule pot fi deduse din altele. Regulile inferenței sunt de fapt înțelese în mod obișnuit ca acele „principii fundamentale” pe care se bazează procesul deductiv și nu sunt incluse în premisele unui „sistem axiomatic” precum cel al lui Hilbert.

Astfel, deși alegerile lexicale ale lui Hilbert și ale altora par să indice dorința de a readuce fiecare premisă la o axiomă , o analiză mai atentă a structurii acestor sisteme pare să indice necesitatea de a rezerva acest termen doar pentru formule, excluzând regulile de inferență.

După ce am făcut acest lucru, dacă am decide să definim regulile inferenței ca postulate , deoarece acestea din urmă au în mare parte un caracter „logic”, am avea o răsturnare totală a primei abordări prezentate în punctul anterior, cea care este mai mult sau mai puțin compatibil cu lexiconul Elements of Euclid. Pentru a evita un astfel de contrast între diferitele opțiuni și, de asemenea, pentru că nu există un motiv valid pentru a defini singurele reguli de inferență ca postulate , preferăm să extindem conceptul de postulat la toate premisele unui sistem deductiv, fie ele logice sau specifice , sunt formule sau reguli de inferență, după care postulatele care nu sunt reguli de inferență sunt definite ca axiome .

Etimologie

Termenul axiomă derivă dintr-o importantă rădăcină indo-europeană reconstruită ca * ag- , care exprimă o serie de acțiuni care au legătură cu conducerea, tragerea, mișcarea și, mai general, acționarea concretă asupra obiectelor.

Din această rădăcină, latina a derivat verbul ago / agere , care menține un număr mare de semnificații și, în special, cele originale referitoare la plumb și a purta, în timp ce verbul italian derivat, act / act , exprimă mai mult decât orice altceva conceptul general și abstractul acțiunii. În greacă avem verbul analog agō / agein , care rămâne foarte aproape de sensul original și capătă și alte semnificații, inclusiv cel de a cântări un obiect pe cântar și, prin urmare, „evalua”. Din aceeași rădăcină folosită în acest ultim sens există și adjectivul axios , care inițial însemna „la fel de greu ca” și care a fost ulterior folosit pentru a conota ceea ce are la fel de multă valoare, demnitate și merit ca un anumit termen de comparație. Verbul corespunzător este axiō care denotă actul de a considera valabil, demn sau onorat pe cineva și ceva. În limbajul filosofic, acest verb a fost folosit de Platon și Aristotel pentru judecăți, cu sensul de a valida o anumită judecată și, prin urmare, de a o susține, de a-și afirma adevărul.

Acești termeni în ax- derivă probabil dintr-un adjectiv cu stem * ag-tj-o- (format în greacă arhaică sau chiar într-o fază anterioară), obținut prin adăugarea la stemul verbal * ag- sufixul adjectival -ti- și, prin urmare, tematica vocală -sau- . De fapt, în greacă eufonia consoană prevede că în cazuri ca acesta grupul tj se schimbă în s , după care există un grup g în care guturalul exprimat devine surd prin asimilare parțială cu sibilanta surdă care urmează și obținem exact ks , redat cu ortografia x .

Acum, din rădăcina unui verb sau adjectiv, greaca derivă substantive abstracte folosind diferite sufixe, dintre care cele mai utilizate în context teoretic sunt -ia și -ma (cu stem -mat- , din care derivă numeroasele adjective din -) matikos ). Primul exprimă calitatea abstractă asociată cu verbul sau adjectivul, în timp ce cel din urmă exprimă de obicei rezultatul acțiunii exprimate de verb. Aplicând aceste două sufixe la rădăcina ax- (sau la forma presupusă arhaică * ag-tj- ) obținem axia , care indică valoarea unui lucru sau demnitatea unei persoane și axiōma , care este ceea ce cineva este considerat demn , adică - în limbajul filosofic - judecata care a fost considerată valabilă.

Această derivare poate fi comparată cu cea a aitēma , care exprimă și rezultatul unei anumite acțiuni, dar de data aceasta acțiunea este cea exprimată de verbul aiteō , care denotă actul de a cere, a cere sau a cere. Prin urmare, aitēma este rodul unei „revendicări” sau „cereri”: interlocutorului i se cere tocmai să-și asume o anumită propoziție ca fiind adevărată. Pe latină, pe de altă parte, avem verbul postulo , care, deși are o origine etimologică diferită (derivă probabil din rădăcina * prek- , care exprimă actul de a întreba și a întreba), are exact același sens ca grecul menționat anterior. verb, pentru care traducerea exactă a aitēma este postulatum .

Notă

  1. ^ Penelope Maddy, Credând în axiome, I , în Journal of Symbolic Logic , vol. 53, nr. 2, iunie 1988, pp. 481-511, DOI : 10.2307 / 2274520 .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității GND ( DE ) 4204823-0
Filozofie Portal de filosofie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de filosofie