Axioma (matematică)

În matematică , toate și singurele enunțuri sunt numite postulate sau axiome care, deși nu sunt dovedite, sunt considerate adevărate. În general, acestea oferă punctul de plecare pentru delimitarea unui cadru teoretic, cum ar fi cel al teoriei mulțimilor , geometriei , aritmeticii , teoriei grupurilor sau în calculul probabilităților .

În logica matematică ideea de axiomă și dovadă este complet formalizată. Axiomele unei teorii propoziționale sau ale unei teorii de ordinul întâi sunt un set bine definit de formule care pot fi utilizate în teorie pentru a construi dovezi formale. În acest context, se face o distincție clară între cele două noțiuni de axiomă logică și axiomă non-logică .

Axiome logice

Același subiect în detaliu: Axiome logice .

Sunt formule valide , adică formule care sunt satisfăcute de fiecare model (adică de fiecare structură ) pentru fiecare atribuire a variabilelor. În termeni mai colocviali, axiomele sunt enunțuri care sunt adevărate în fiecare univers posibil, în cadrul oricărei interpretări posibile și cu fiecare atribuire de valori.

Pentru a afirma că o formulă este o axiomă logică, trebuie să știm că este validă. Prin urmare, ar trebui să fie necesar să se demonstreze adevărul său în fiecare model. Aceasta este în conflict cu noțiunea clasică de axiomă și constituie cel puțin unul dintre motivele pentru care, în logica matematică , axiomele nu sunt considerate ca afirmații în mod evident adevărate sau autoevidente .

Axiomele logice, fiind simple formule, sunt lipsite de orice semnificație; Ideea este că, atunci când sunt interpretate în orice univers, ele păstrează întotdeauna, indiferent de valorile atribuite variabilelor. Deci, această noțiune de axiomă este probabil cea mai apropiată de sensul pe care intenționăm să-l atribuim cuvântului: axiomele sunt adevărate, dincolo de orice.

Exemple

Un exemplu de axiomă, utilizat practic în fiecare sistem deductiv , este:

Axioma egalității.
$\forall x(x=x)$ ${\ displaystyle \ forall x (x = x)}$ $\ forall x (x = x)$

Pe acest exemplu (cu un aspect slab), astfel încât să nu cadă în vagitate și într-o cascadă nesfârșită de „noțiuni primitive”, există două posibilități: fie o noțiune precisă a ceea ce înțelegem prin semnul „=” (fie pentru ce contează, cu expresia „a fi egal”); sau trebuie folosită o utilizare pur formală și sintactică a simbolului „=”, iar logica matematică face exact acest lucru, delegând pe bună dreptate semnificația „=” teoriei axiomatice a mulțimilor .

Un alt exemplu mai interesant este:

Axioma de instanțiere universală. Având în vedere o formulă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ în limbajul de prim ordin $\,{\mathfrak {L}}$ ${\ displaystyle \, {\ mathfrak {L}}}$ $\, {\ mathfrak {L}}$ , o variabilă $\,x$ ${\ displaystyle \, x}$ $\, X$ și un termen $\,t$ ${\ displaystyle \, t}$ $\, t$ pentru care se poate înlocui $\,x$ ${\ displaystyle \, x}$ $\, X$ în $\,\phi$ ${\ displaystyle \, \ phi}$ $\, \ phi$ , formula
$\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ ${\ displaystyle \ forall x \ phi \ to \ phi _ {t} ^ {x}}$ $\ forall x \ phi \ to \ phi _ {t} ^ {x}$
este valabil.

Această axiomă afirmă pur și simplu că, dacă știm asta $\,\forall xP(x)$ ${\ displaystyle \, \ forall xP (x)}$ $\, \ forall xP (x)$ pentru unele proprietăți $\,P$ ${\ displaystyle \, P}$ $\, P$ Și $\,t$ ${\ displaystyle \, t}$ $\, t$ este un anumit termen în limbă (adică reprezintă un anumit obiect în structura cu care avem de-a face), atunci va trebui să putem afirma $\,P(t)$ ${\ displaystyle \, P (t)}$ $\, P (t)$ .

Un exemplu similar este:

Axioma generalizării existențiale. Având în vedere o formulă $\,\phi$ ${\ displaystyle \, \ phi}$ $\, \ phi$ în limbajul de prim ordin $\,{\mathfrak {L}}$ ${\ displaystyle \, {\ mathfrak {L}}}$ $\, {\ mathfrak {L}}$ , o variabilă $\,x$ ${\ displaystyle \, x}$ $\, X$ și un termen $\,t$ ${\ displaystyle \, t}$ $\, t$ pentru care se poate înlocui $\,x$ ${\ displaystyle \, x}$ $\, X$ în $\,\phi$ ${\ displaystyle \, \ phi}$ $\, \ phi$ , formula
$\phi _{t}^{x}\to \exists x\phi$ ${\ displaystyle \ phi _ {t} ^ {x} \ to \ există x \ phi}$ $\ phi _ {t} ^ {x} \ to \ există x \ phi$
este valabil.

Axiome non-logice

În cadrul unei teorii, ele sunt formule care joacă rolul ipotezelor specifice ale teoriei în sine. Analizele a două structuri diferite, de exemplu numere naturale și numere întregi, pot fi dezvoltate folosind aceleași axiome logice; axiomele non-logice au sarcina de a surprinde ceea ce este specific unei anumite structuri (sau unui fel de structură, cum ar fi grupurile algebrice ). Prin urmare, axiomele non-logice, contrar axiomelor logice, nu sunt tautologii. Se postulează un termen considerat adesea sinonim cu axiome non-logice.

Aproape fiecare teorie matematică modernă pleacă de la un sistem dat de axiome non-logice. S-a crezut că, în principiu, fiecare teorie ar putea fi axiomatizată în acest fel și ar putea fi formalizată până la un limbaj pur de formule logice. Această perspectivă s-a dovedit imposibilă.

De aici rezultă rolul axiomelor non-logice, care trebuie să constituie pur și simplu un punct de plecare într-un sistem logic. Deoarece acestea sunt fundamentale în dezvoltarea unei teorii, este în general adecvat ca în discursul matematic să fie numite pur și simplu axiomele teoriei, dar, trebuie reiterat, nu pentru a exprima că sunt afirmații adevărate sau chiar pentru a însemna că sunt presupuneri înzestrate cu adevăr. Un exemplu clar: în unele grupuri operația de multiplicare este comutativă , în altele nu.

Prin urmare, o axiomă este o bază elementară pentru un sistem logic formal și, împreună cu regulile de inferență, definește un sistem deductiv .

Exemple

Există numeroase teorii care se bazează pe propriul lor sistem de axiome non-logice:
Aritmetică, geometrie euclidiană , algebră liniară , analiză reală , topologie , teoria grupurilor , teoria mulțimilor , geometrie proiectivă , geometrie simplectică , algebre von Neumann , teoria ergodică , probabilitate și multe altele. Mai mult, noile teorii ale genului menționat anterior sunt propuse periodic și se formulează variantele lor; acestea pot fi interesante din diverse motive: ca fiind mai esențiale și mai concise sau, dimpotrivă, mai intuitive (chiar dacă cu prețul unei redundanțe); la fel de general sau invers ca mai specific și mai stricte.

Aritmetic

În tot acest formalism, axiomele lui Peano constituie cea mai larg adoptată axiomatizare a aritmeticii ; ele constituie un sistem de axiome non-logice suficient de bogate pentru a permite demonstrarea a numeroase fapte relevante ale teoriei numerelor; de asemenea, i-au permis lui Kurt Gödel să stabilească a doua sa teoremă a incompletitudinii

Adoptă limbajul $\,{\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ ${\ displaystyle \, {\ mathfrak {L}} _ {NT} = \ {0, S \}}$ $\, {\ mathfrak {L}} _ {{NT}} = \ {0, S \}$ unde este $\,0$ ${\ displaystyle \, 0}$ $\, 0$ este un simbol constant și $\,S$ ${\ displaystyle \, S}$ $\, S$ o funcție univariată, adică un operator unar. Postulatele sunt:

$\forall x\,\lnot (Sx=0)$ ${\ displaystyle \ forall x \, \ lnot (Sx = 0)}$ $\ forall x \, \ lnot (Sx = 0)$
$\forall x\forall y\,(Sx=Sy\to x=y)$ ${\ displaystyle \ forall x \ forall y \, (Sx = Sy \ to x = y)}$ $\ forall x \ forall y \, (Sx = Sy \ to x = y)$
$(\,(\phi (0)\land \forall x\,(\phi (x)\to \phi (Sx))\,)\to \forall x\,\phi (x)$ ${\ displaystyle (\, (\ phi (0) \ land \ forall x \, (\ phi (x) \ to \ phi (Sx)) \,) \ to \ forall x \, \ phi (x)}$ $(\, (\ phi (0) \ land \ forall x \, (\ phi (x) \ to \ phi (Sx))) \,) \ to \ forall x \, \ phi (x)$ pentru fiecare formulă $\,\phi$ ${\ displaystyle \, \ phi}$ $\, \ phi$ în $\,{\mathfrak {L}}_{NT}$ ${\ displaystyle \, {\ mathfrak {L}} _ {NT}}$ $\, {\ mathfrak {L}} _ {{NT}}$ care conține o variabilă gratuită.

O structură standard corespunde acestui sistem $\,{\mathfrak {N}}=<\mathbb {N} ,0,S>$ ${\ displaystyle \, {\ mathfrak {N}} = <\ mathbb {N}, 0, S>}$ $\, {\ mathfrak {N}} = <\ mathbb {N}, 0, S>$ in care $\,\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \, \ mathbb {N}}$ $\, \ mathbb {N}$ este interpretat ca mulțimea numerelor naturale, $\,S$ ${\ displaystyle \, S}$ $\, S$ ca funcție succesorală e $\,0$ ${\ displaystyle \, 0}$ $\, 0$ este desigur interpretat ca numărul 0.

Geometrie

Sistemul de axiome cel mai bogat în merit istoric și cel mai faimos este sistemul de 4 + 1 postulate ale lui Euclid . Se dovedește a fi incomplet și sunt necesare multe alte postulate pentru a da o bază solidă geometriei sale ( David Hilbert în Grundlagen der Geometrie a adoptat 23).

Expresia „4 + 1” este utilizată pentru că timp de aproape două milenii a existat credința că postulatul al cincilea (al paralelelor) (pentru un punct din afara unei linii drepte trece unul și doar o paralelă) a fost deductibil din primele patru. În prima parte a secolului al XIX-lea, al cincilea postulat sa dovedit a fi independent de primele patru. De fapt, este posibil să presupunem că nu există o paralelă pentru un punct extern unei linii date, sau că există una și una singură, sau chiar că există infinite. Aceste alegeri ne oferă forme alternative de geometrii caracterizate în special prin faptul că au suma unghiurilor interne ale unui triunghi, respectiv, mai mare, egal și mai mic decât un unghi plat; aceste trei geometrii se numesc geometrie eliptică , euclidiană și respectiv hiperbolică .

Analiză reală

Numerele reale , numerele la baza analizei reale , sunt introduse riguros cu axiomele unui câmp arhimedian real închis complet ; aceste axiome o definesc univoc, cu excepția unui izomorfism . Totuși, se întâmplă ca, pentru a exprima aceste proprietăți, să recurgeți la logica de ordinul doi . Teoremele Löwenheim-Skolem ne spun că, dacă ne limităm la logica primului ordin , fiecare sistem de axiome pentru reali admite alte modele și printre acestea există ambele mai mici decât cele reale și mai extinse. Unele modele de tipul al doilea sunt studiate în analiza non-standard .

Sisteme deductive

Logicienii numesc complexul formal constituit de un sistem un sistem deductiv $\,\Lambda$ ${\ displaystyle \, \ Lambda}$ $\, \ Lambda$ axiomelor logice, dintr-un sistem $\,\Sigma$ ${\ displaystyle \, \ Sigma}$ $\, \ Sigma$ a axiomelor non-logice și dintr-un set $\,\{(\Gamma ,\phi )\}$ ${\ displaystyle \, \ {(\ Gamma, \ phi) \}}$ $\, \ {(\ Gamma, \ phi) \}$ a regulilor de inferență . Se pune problema identificării unor astfel de sisteme. Teorema completitudinii lui Gödel afirmă că orice sistem deductiv cu un sistem consecvent non-logic de axiome este complet ,

de sine $\Sigma \models \phi$ ${\ displaystyle \ Sigma \ models \ phi}$ $\ Sigma \ models \ phi$ , asa de $\Sigma \vdash \phi$ ${\ displaystyle \ Sigma \ vdash \ phi}$ $\ Sigma \ vdash \ phi$ ;

cu alte cuvinte, pentru orice propoziție care este o consecință logică a $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ , există o deducere a enunțului însuși din $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ . În termeni chiar mai simpli, orice fapt care este adevărat pentru un sistem dat de axiome poate fi dovedit prin aceste axiome (prin intermediul unor reguli rezonabile de inferență).

Rețineți că diferența subtilă dintre această teoremă și următoarea la fel de faimoasă primă teoremă de incompletitudine a lui Gödel , care afirmă că niciun set recursiv format din axiome non-logice $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ a teoriei aritmeticii este completă , în sensul că există întotdeauna o afirmație aritmetică adevărată $\,\phi$ ${\ displaystyle \, \ phi}$ $\, \ phi$ astfel încât nici unul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ nici $\lnot \phi$ ${\ displaystyle \ lnot \ phi}$ $\ l nu \ phi$ poate fi dovedit (ceea ce este diferit de a spune că $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este dovedit fals - înseamnă pur și simplu ceea ce spune, din care nu poate fi dedusă $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ la $\lnot \phi$ ${\ displaystyle \ lnot \ phi}$ $\ l nu \ phi$ ) obținute din setul dat de axiome.

Astfel, pe de o parte, se opune noțiunea de completitudine a unui sistem deductiv și, pe de altă parte, de caracterul complet al unui set de axiome non-logice .

Morala este că orice fapt pe care îl putem deriva dintr-un sistem de axiome (logice sau non-logice) nu este necesar ca axiomă. Orice afirmație pe care nu o putem obține din axiome și din care nu putem obține nici măcar negația poate fi adăugată în mod rezonabil sistemului în cauză.

Considerații suplimentare

Matematicienii din trecut considerau geometria axiomatică ca un model al spațiului fizic și că nu ar putea exista decât un astfel de model. Ideea că ar putea exista sisteme matematice alternative nu a fost ușor de acceptat de matematicienii din secolul al XIX-lea , iar dezvoltatorii de sisteme precum algebra booleană au făcut eforturi elaborate pentru a le deriva din aritmetica tradițională. Galois chiar înainte de moartea sa timpurie a arătat că aceste eforturi au fost în mare parte irosite, dar că paralelele găsite între sistemele axiomatice ar putea fi realizate atunci când a rezolvat multe probleme geometrice clasice algebric. Ulterior, paralelele abstracte dintre sistemele algebrice s-au dovedit a fi mai importante decât detaliile și acest lucru marchează nașterea algebrei moderne .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate din sau despre axiomă

linkuri externe

Pagina axiomelor Metamath , la metamath.planetmirror.com . Adus la 24 februarie 2005 (arhivat din original la 5 martie 2005) .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 13734

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria mulțimilor
Seturi numerice	Natural · Întreg · Rațional · Real · Complex
Teoria naivă a mulțimilor (sau a lui Cantor )	Set gol · univers Împreună · Subset · Putere împreună · complement Împreună · Unire · Intersecție · Cuplu comandat · Produs cartezian · Paradoxul lui Russell · Paradox Burali-Forti
Teoria axiomatică a mulțimilor	Axioma · Axiome Peano · Zermelo teoria mulțimilor · teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel · axioma Choice · Zorn Lema · teoria mulțimilor Von Neumann-Bernays-Gödel