Axiomele lui Peano

Axiomele lui Peano sunt un grup de axiome concepute de matematicianul Giuseppe Peano pentru a defini axiomatic ansamblul numerelor naturale . Un mod informal de descriere axiomelor poate fi următorul:

Există un număr natural, 0
Fiecare număr natural are un număr natural succesor
Numere diferite au succesori diferiți
0 nu este succesorul unui număr natural
Fiecare subset de numere naturale care conține zero și succesorul fiecăruia dintre elementele sale coincide cu întregul set de numere naturale (axioma de inducție)

Luăm 0 sau 1 în funcție de modelul numerelor naturale dorite. Pe lângă aceste axiome, Peano implică și axiomele logice care îi permit să opereze cu logică simbolică.

Semnificația matematică a axiomelor

În termeni mai precisi putem spune că structura dată de triada $(\mathbb {N} ,0,S)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, 0, S)}$ $({\ mathbb N}, 0, S)$ compus din ansamblul numerelor naturale $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ , Zero , și „succesor“ funcția $S:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ${\ displaystyle S: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$ $S: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}$ poate fi caracterizat până la izomorfisme (va fi mai clar în ce sens mai târziu) prin următoarele axiome ale lui Peano :

(P1) Există un număr $0\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {N}}$ $0 \ în {\ mathbb N}$
(P2) Există o funcție $S:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ${\ displaystyle S: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$ $S: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}$ (numit „succesor”)
(P3) $x\neq y$ ${\ displaystyle x \ neq y}$ $x \ neq y$ implica $S(x)\neq S(y)$ ${\ displaystyle S (x) \ neq S (y)}$ $S (x) \ neq S (y)$
(P4) $S(x)\neq 0$ ${\ displaystyle S (x) \ neq 0}$ $S (x) \ neq 0$ pentru fiecare $x\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {N}}$ $x \ in {\ mathbb N}$
(P5) dacă $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un subset de $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ astfel încât:
$0\in U$ ${\ displaystyle 0 \ în U}$ $0 \ în U$
$x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ implica $S(x)\in U$ ${\ displaystyle S (x) \ în U}$ $S (x) \ în U$
asa de $U=\mathbb {N}$ ${\ displaystyle U = \ mathbb {N}}$ $U = \ mathbb {N}$

Să analizăm funcția fiecărei axiome:

(P1) ne spune că setul $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ nu este gol prin specificarea unui element ();
(P2) afirmă existența unei funcții $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ( funcția succesorală ) a cărei mulțime $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ este domeniu .
(P3) spune asta $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o funcție injectivă ; acest lucru ne permite să excludem modele în care pornind de la și mergând în mod repetat de la un element la succesor se poate întoarce la un element deja vizitat și să rămână limitat într-un ciclu;
(P4) spune că nu este în imaginea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , acest lucru ne permite să excludem modele în care, prin iterarea funcției succesorale, putem realiza o buclă care revine la punctul de plecare; această axiomă cu cea anterioară exclude orice model cu un număr finit de elemente.
(P5), ultima axiomă a lui Peano, este, de asemenea, cunoscută sub numele de Principiul de inducție și este un instrument utilizat pe scară largă în probe . Întregul $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ de numere naturale este cel mai mic set care conține lo și care conține succesorul fiecăruia dintre elementele sale (adică, care este închis în raport cu funcția succesorului ). Această axiomă ne permite să excludem modelele în care elementele „intratoare” sunt prezente în afara secvenței infinite a succesorilor zero.

Unicitatea modelului, cu excepția izomorfismelor

Fiecare axiomă permite reducerea progresivă a gamei de modele posibile prin tăierea treptată a modelelor care sunt structural diferite de setul de numere naturale (cum ar fi setul gol sau seturile cu un număr finit de elemente sau structuri ciclice). Sunt cele cinci axiome suficiente pentru a exclude toate modelele „rele” și, prin urmare, caracterizează univoc structura numerelor naturale sau, poate, sunt necesare și alte axiome?

Sistemul Peano îl numim orice triadă $(X,x_{0},s)$ ${\ displaystyle (X, x_ {0}, s)}$ $(X, x_ {0}, s)$ care satisface axiomele:

(P1)

x_{0}\in X

{\ displaystyle x_ {0} \ în X}

x_0 \ în X

(P2)

x\in X\Rightarrow s(x)\in X

{\ displaystyle x \ în X \ Rightarrow s (x) \ în X}

x \ in X \ Rightarrow s (x) \ in X

(P3)

x\neq y

{\ displaystyle x \ neq y}

x \ neq y

implica

s(x)\neq s(y)

{\ displaystyle s (x) \ neq s (y)}

s (x) \ neq s (y)

(P4)

s(x)\neq x_{0}

{\ displaystyle s (x) \ neq x_ {0}}

s (x) \ neq x_ {0}

pentru fiecare

x\in X

{\ displaystyle x \ în X}

x \ în X

(P5) dacă

U

{\ displaystyle U}

U

este un subset de

X

{\ displaystyle X}

X

astfel încât:

$x_{0}\in U$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în U}$ $x_ {0} \ în U$
$x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ implica $s(x)\in U$ ${\ displaystyle s (x) \ în U}$ $s (x) \ în U$

asa de

U=X

{\ displaystyle U = X}

U = X

Prin urmare, un sistem Peano este un model valid al axiomelor lui Peano. Cel mai natural model pentru axiome este structura $(\mathbb {N} ,0,S)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, 0, S)}$ $({\ mathbb N}, 0, S)$ totuși, acesta nu este singurul care verifică axiomele. Un exemplu de alt sistem Peano decât $(\mathbb {N} ,0,S)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, 0, S)}$ $({\ mathbb N}, 0, S)$ cineva o ia ca pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ansamblul numerelor pare pozitive $\{2,4,6,...\}$ ${\ displaystyle \ {2,4,6, ... \}}$ $\ {2,4,6, ... \}$ , $x_{0}:=2$ ${\ displaystyle x_ {0}: = 2}$ $x_ {0}: = 2$ Și $s(x):=x+2$ ${\ displaystyle s (x): = x + 2}$ $s (x): = x + 2$ .

Un izomorfism între două sisteme Peano $(A,a_{0},s)$ ${\ displaystyle (A, a_ {0}, s)}$ $(A, a_ {0}, s)$ Și $(B,b_{0},t)$ ${\ displaystyle (B, b_ {0}, t)}$ $(B, b_ {0}, t)$ este o bijecție $f:A\to B$ ${\ displaystyle f: A \ to B}$ $f: de la A la B$ astfel încât:

trimite fiecare dintre cele două „zerouri” în cealaltă, adică $f(a_{0})=b_{0}$ ${\ displaystyle f (a_ {0}) = b_ {0}}$ $f (a_ {0}) = b_ {0}$
trimite elementele „următoare” în elementele „următoare”, adică $f(s(a))=t(f(a))$ ${\ displaystyle f (s (a)) = t (f (a))}$ $f (s (a)) = t (f (a))$ .

Cu aceste definiții este posibil să se determine că axiomele sunt suficiente pentru a da o caracterizare unică, adică nu există modele neizomorfe pentru structura numerelor naturale. Asta este ceea ce

Teorema categoricității: toate sistemele Peano sunt izomorfe pentru sistem $(\mathbb {N} ,0,S)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, 0, S)}$ $({\ mathbb N}, 0, S)$ .

Dovadă : un izomorfism între orice sistem Peano $(A,a_{0},s)$ ${\ displaystyle (A, a_ {0}, s)}$ $(A, a_ {0}, s)$ și sistemul $(\mathbb {N} ,0,S)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, 0, S)}$ $({\ mathbb N}, 0, S)$ avem în vedere bijecția $f:\mathbb {N} \to A$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ to A}$ $f: {\ mathbb N} \ to A$ definit de:

{\begin{aligned}0&\mapsto a_{0}\\1&\mapsto s(a_{0})\\2&\mapsto s(s(a_{0}))\\\vdots \\n&\mapsto s(s(...s(s(a_{0}))...))\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & \ mapsto a_ {0} \\ 1 & \ mapsto s (a_ {0}) \\ 2 & \ mapsto s (s (a_ {0})) \\\ vdots \\ n & \ mapsto s (s (... s (s (a_ {0})) ...)) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & \ mapsto a_ {0} \\ 1 & \ mapsto s (a_ {0}) \\ 2 & \ mapsto s (s (a_ {0})) \\\ vdots \\ n & \ mapsto s (s (... s (s (a_ {0})) ...)) \ end {align}}}

cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ compoziții de $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . $\square$ ${\ displaystyle \ square}$ $\ pătrat$

Independența axiomelor

Axiomele lui Peano sunt independente , adică niciuna dintre ele nu poate fi dovedită pornind de la celelalte. Vă puteți convinge cu ușurință de acest lucru căutând buldoexcavatoare $(X,x_{0},S)$ ${\ displaystyle (X, x_ {0}, S)}$ $(X, x_ {0}, S)$ că o anumită axiomă nu este satisfăcută, toate celelalte sunt satisfăcute e $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu este izomorf pentru mulțimea numerelor naturale:

Eliminând (P1), putem lua pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ setul gol ; dacă nu există elemente în ansamblu, celelalte axiome sunt trivial adevărate.
Prin eliminarea (P2), avem un model unde și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ rămân la fel, dar $X=\{0,1,2,3,4,5\}$ ${\ displaystyle X = \ {0,1,2,3,4,5 \}}$ $X = \ {0,1,2,3,4,5 \}$ este dat de numere mai mici decât $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ , și, prin urmare, gama de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este dat de $X\cup \{6\}$ ${\ displaystyle X \ cup \ {6 \}}$ $X \ cup \ {6 \}$ . Rețineți că în acest caz (P5) este adevărat, deoarece nu există un subset de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care conține lo și care este închisă față de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .
Prin eliminarea (P3), un model este cel în care $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compus din $\{0,1\}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$ $\ {0,1 \}$ , și S este funcția cu care se asociază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ maximul dintre $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .
Prin eliminarea (P4), un model este furnizat de restul claselor modulo n cu funcția succesor dată de $n\mapsto n+1$ ${\ displaystyle n \ mapsto n + 1}$ $n \ mapsto n + 1$ (formă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ).
Prin eliminarea (P5), putem lua de exemplu raționalele pozitive $\mathbb {Q} \!^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \! ^ {+}}$ ${\ mathbb Q} \! ^ {+}$ , păstrarea și părăsirea celei obișnuite ca funcție succesorală $n\mapsto n+1$ ${\ displaystyle n \ mapsto n + 1}$ $n \ mapsto n + 1$ .

Rol în logica matematică

Axiomele lui Peano aparțin logicii predicatelor de ordinul doi, deoarece a cincia axiomă (principiul inducției) necesită utilizarea unor cuantificatori pe subgrupuri de numere naturale.

Versiunea axiomelor lui Peano în logica de ordinul întâi se numește aritmetica lui Peano și joacă un rol foarte important în teoria calculabilității și logica matematică , deoarece îndeplinește condițiile de validitate ale teoremelor de incompletitudine ale lui Gödel .

Bibliografie

Giuseppe Peano , Arithmetices principia, nova methodo exposita , Turin, 1889.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Axioms of Peano , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică