Teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică și în special în logica matematică , teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel include axiomele standard ale teoriei mulțimilor axiomatice pe care, împreună cu axioma alegerii , se bazează toată matematica obișnuită conform formulărilor moderne. Acestea sunt denumite axiome Zermelo - Fraenkel ale teoriei mulțimilor sau sistem de axiome Zermelo-Fraenkel și prescurtate în ZF .

Axiomele sunt rezultatul lucrării lui Thoralf Skolem din 1922 , bazat pe lucrări anterioare ale lui Abraham Fraenkel în același an, care se bazează pe sistemul axiomatic dezvoltat de Ernst Zermelo în 1908 ( teoria mulțimilor lui Zermelo ).

Sistemul axiomatic este scris într-un limbaj de ordinul întâi ; are un număr infinit de axiome, deoarece se folosește o schemă de axiome . Un sistem finit alternativ este dat de axiomele von Neumann-Bernays-Gödel , care adaugă conceptul de clasă în plus față de cel al unui set ; este „echivalent” în sensul că orice teoremă cu privire la mulțimile care pot fi încercate într-un sistem poate fi testată în celălalt.

Inițialele ZFC indică sistemul formal dat de axiomele lui Zermelo - Fraenkel cu adăugarea axiomei de alegere : dată fiind o familie ne-goală de seturi ne-goale , există o funcție care face ca un element să corespundă fiecărui set din familie. „C” din acronim este inițiala de alegere ( alegere în engleză): din același motiv, axioma de alegere este adesea abreviată cu literele AC („A” înseamnă „ axiomă ”).

Limba

Limbajul ZF include:

  • simboluri pentru variabile: , , , , , , , ...
  • constante individuale:
  • simboluri pentru relațiile binare: ,
  • simboluri pentru conectivități logice, cuantificatoare și paranteze

Axiome

Axiomele ZF sunt:

  • Axioma extensionalității : două seturi sunt egale dacă și numai dacă au aceleași elemente.
  • Axioma setului gol : Există un set care nu conține niciun element.

Notăm astfel de A cu sau cu {} . [1]

  • Axioma perechii : Dacă A și B sunt mulțimi, atunci există un set care conține A și B ca unice elemente

Notăm un astfel de C cu {A, B} . [1]

  • Axioma sumei (sau uniunii) mulțimii : Pentru fiecare mulțime A , există o mulțime B care conține toate și numai elementele elementelor lui A.

Notăm un astfel de B cu sau cu . [1]

  • Axioma infinitului : Există un set A astfel încât este în A și ori de câte ori B este în A , ( B ∪ { B }) este în A.

Cel mai mic A care satisface această axiomă este de obicei indicat cu ω sau, deoarece respectă axiomele lui Peano , cu simbolul folosit de obicei pentru a indica un model generic al lui Peano: . [1]

  • Axioma setului de putere : Pentru fiecare mulțime A există o mulțime B , astfel încât elementele lui B să fie exact subseturile lui A.

Notăm un astfel de B , care se numește de obicei set de puteri sau set de părți ale lui A , cu . [1]

  • Axiomă de regularitate (sau axiomă de fundație): Fiecare set ne-gol A conține unele elemente B, astfel încât A și B sunt seturi disjuncte .
  • Axioma de separare (sau axioma subsetului): fie P ( x ) o proprietate . Apoi pentru fiecare mulțime A există un subset B care conține toate și numai elementele C din A pentru care P ( C ) deține.

Un astfel de set este de obicei notat cu [1] , prescurtat și în .

Aceasta este o schemă axiomatică, deoarece, la fel ca P , putem seta orice proprietate și, de fiecare dată când o facem, creăm formal o nouă axiomă.

  • Axioma de înlocuire : fie P ( B , C ) o proprietate. Dacă P este funcțional (fiecărui B îi corespunde unul și un singur C pentru care P ( B , C )), atunci dat fiind un set A există un set D care conține toate și numai imaginile elementelor lui A conform lui P (noi numiți imaginea lui B ca C astfel încât P ( B , C )).

Și aceasta, ca și cea precedentă, este o schemă axiomatică.

Coerența și importanța ZF

Deși majoritatea metamatematicienilor cred că aceste axiome sunt consistente (în sensul că nu derivă nicio contradicție din ele), acest lucru nu este dovedit. Mulți dintre ei consideră că sunt bazele matematicii obișnuite, iar coerența lor nu poate fi dovedită de matematica obișnuită, așa cum a demonstrat Gödel cu celebra sa a doua teoremă a incompletitudinii .

Cu toate acestea, coerența teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel poate fi dovedită presupunând existența unui cardinal inaccesibil mai mare decât .

ZF și ZFC

Încercarea reducționistă a logicienilor de a refunda toată matematica modernă pe o bază stabilită s-a ciocnit cu faptul că unele rezultate de bază importante nu pot fi demonstrate doar cu axiomele lui Zermelo. Prin urmare, este necesar să se adauge axioma alegerii , iar noul sistem formal rezultat se numește de obicei ZFC , unde „C” înseamnă „alegere”.

Coerența ZFC

În 1938 Kurt Gödel a construit un model bazat pe ZF în care axioma de alegere este validă (modelul este cunoscut sub numele de Universul seturilor construibile ).

În acest fel, el a demonstrat că, dacă ZF este consecvent, la fel este și ZFC (uniunea axiomelor ZF și axioma de alegere).

Pe baza acestei ipoteze și a ipotezei, de obicei considerată adevărată, că ZF este coerent, logicienii au văzut în ZFC posibilitatea de a întemeia toate matematica pe o bază stabilită, având în vedere că axioma alegerii este indispensabilă pentru a realiza toate o serie a rezultatelor foarte importante (cum ar fi existența unei baze pentru un spațiu vector dat). Din acest motiv, deși această axiomă duce și la rezultate contraintuitive (cum ar fi setul Vitali și paradoxul Banach-Tarski ), este de obicei considerată adevărată.

Cu toate acestea, a fost necesar să se aștepte până în 1964 pentru ca Cohen să demonstreze independența axiomei de alegere față de axiomele lui Zermelo - Fraenkel (adică dacă ZF este consecvent, ZF C, uniunea axiomelor ZF și negarea axiomei de alegere, este). În acest fel, el a demonstrat că într-adevăr ZF și ZFC nu sunt același lucru: dovada sa se bazează pe crearea unui model în care se țin toate axiomele ZF și negarea axiomei de alegere.

Notă

  1. ^ a b c d e f Posibilitatea atribuirii unui simbol unui set dat derivă din dovada, ușor de obținut în virtutea axiomei extensionalității, că acest set este unic.

Bibliografie

  • Alexander Abian , 1965. Teoria seturilor și aritmetica transfinită . WB Saunders.
  • Keith Devlin , 1996 (1984). Bucuria seturilor . Springer.
  • Abraham Fraenkel , Yehoshua Bar-Hillel și Azriel Levy , 1973 (1958). Fundamentele teoriei seturilor . Olanda de Nord. Ultimul cuvânt al lui Fraenkel despre ZF și ZFC.
  • Hatcher, William, 1982 (1968). Fundamentele logice ale matematicii . Pergamon.
  • Thomas Jech , 2003. Teoria seturilor : ediția a treia a mileniului, revizuită și extinsă . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
  • Kenneth Kunen , 1980. Teoria seturilor : o introducere în dovezile independenței . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
  • Richard Montague , 1961, „Închiderea semantică și axiomatizabilitatea non-finită” în Metode Infiniste . Londra: Pergamon: 45-69.
  • Patrick Suppes , 1972 (1960). Teoria setului axiomatic . Reeditare Dover. Poate cea mai bună expunere a ZFC înainte de independența AC și ipoteza Continuum și apariția cardinalilor mari. Include multe teoreme.
  • Gaisi Takeuti și Zaring, WM, 1971. Introducere în teoria setului axiomatic . Springer Verlag.
  • Alfred Tarski , 1939, „Pe subseturi bine ordonate ale oricărui set”, Fundamenta Mathematicae 32: 176-83.
  • Tiles, Mary, 2004 (1989). Filosofia teoriei seturilor . Reeditare Dover. Slab pe metateorie; autorul nu este matematician.
  • Tourlakis, George, 2003. Lectures on Logic and Set Theory, Vol. 2 . Cambridge University Press.
  • Jean van Heijenoort , 1967. De la Frege la Godel: o carte sursă în logica matematică, 1879-1931 . Harvard University Press. Include traduceri adnotate în engleză ale articolelor clasice ale lui Zermelo , Fraenkel și Skolem referitoare la ZFC .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică