Axiomele de închidere ale lui Kuratowski

În topologie și în ramurile matematice legate de aceasta, axiomele de închidere ale lui Kuratowski sunt un grup de axiome care pot fi utilizate pentru a defini o structură topologică pe un set . Ele sunt echivalente cu definiția mai comună bazată pe seturi deschise . Au fost introduse pentru prima dată de Kazimierz Kuratowski , într-o formă ușor diferită aplicabilă exclusiv spațiilor Hausdorff . ^{[ fără sursă ]}

Un grup similar de axiome poate fi utilizat pentru a defini o structură topologică prin exploatarea exclusivă a noțiunii duale de operator intern .

Definiție

Un spațiu topologic $(X,\operatorname {cl} )$ ${\ displaystyle (X, \ operatorname {cl})}$ ${\ displaystyle (X, \ operatorname {cl})}$ Este un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la care este asociată o funcție:

\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)

{\ displaystyle \ operatorname {cl}: {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (X)}

{\ displaystyle \ operatorname {cl}: {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (X)}

operator de închidere apel unde ${\mathcal {P}}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ este ansamblul părților din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Operatorul de închidere trebuie să îndeplinească următoarele proprietăți pentru toți $A,B\in {\mathcal {P}}(X)$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {P}} (X)}$

$A\subseteq \operatorname {cl} (A)\!$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ operatorname {cl} (A) \!}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ operatorname {cl} (A) \!}$ (Extensivitate)
$\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)\!$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (\ operatorname {cl} (A)) = \ operatorname {cl} (A) \!}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (\ operatorname {cl} (A)) = \ operatorname {cl} (A) \!}$ ( Idempotență )
$\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)\!$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (A \ cup B) = \ operatorname {cl} (A) \ cup \ operatorname {cl} (B) \!}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (A \ cup B) = \ operatorname {cl} (A) \ cup \ operatorname {cl} (B) \!}$ (Conservarea uniunii binare)
$\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing \!$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (\ varnothing) = \ varnothing \!}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (\ varnothing) = \ varnothing \!}$ (Păstrarea uniunilor nule)

Dacă a doua axiomă, cea a idempotenței, este relaxată (adică $\subseteq$ ${\ displaystyle \ subseteq}$ $\ subseteq$ in loc de $=$ ${\ displaystyle =}$ $=$ ), atunci un operator de închidere este definit de acest grup de axiome.

Legături cu topologia clasică

Inducerea unei topologii

Un punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ se spune că este închis cu privire la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $(X,\operatorname {cl} )$ ${\ displaystyle (X, \ operatorname {cl})}$ ${\ displaystyle (X, \ operatorname {cl})}$ de sine $p\in \operatorname {cl} (A)$ ${\ displaystyle p \ in \ operatorname {cl} (A)}$ ${\ displaystyle p \ in \ operatorname {cl} (A)}$

Prin definirea unui operator de închidere activat ${\mathcal {P}}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ o topologie (un set care conține toate seturile deschise ) este indusă în mod natural pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Un set $O\subset X$ ${\ displaystyle O \ subset X}$ ${\ displaystyle O \ subset X}$ se spune că este deschis dacă și numai dacă $\operatorname {cl} (X\setminus O)=X\setminus O$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X \ setminus O) = X \ setminus O}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X \ setminus O) = X \ setminus O}$ și să spunem $\tau :=\{O|O\;{\text{aperto}}\}$ ${\ displaystyle \ tau: = \ {O | O \; {\ text {open}} \}}$ ${\ displaystyle \ tau: = \ {O | O \; {\ text {open}} \}}$ . Cuplul $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ satisface axiomele definitorii ale unui spațiu topologic:

Setul gol și întregul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt deschise: $\emptyset ,X\in \tau$ ${\ displaystyle \ emptyset, X \ in \ tau}$ ${\ displaystyle \ emptyset, X \ in \ tau}$

Pentru extensivitate $X\subset \operatorname {cl} (X)$ ${\ displaystyle X \ subset \ operatorname {cl} (X)}$ ${\ displaystyle X \ subset \ operatorname {cl} (X)}$ și de atunci $\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)}$ noi stim aia $\operatorname {cl} (X)\subset X$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X) \ subset X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X) \ subset X}$ , prin urmare $\operatorname {cl} (X)=X\Rightarrow \operatorname {cl} (X\setminus \emptyset )=X\setminus \emptyset \Leftrightarrow \emptyset \in \tau$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X) = X \ Rightarrow \ operatorname {cl} (X \ setminus \ emptyset) = X \ setminus \ emptyset \ Leftrightarrow \ emptyset \ in \ tau}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X) = X \ Rightarrow \ operatorname {cl} (X \ setminus \ emptyset) = X \ setminus \ emptyset \ Leftrightarrow \ emptyset \ in \ tau}$ . Din conservarea uniunilor nule rezultă în mod similar că $X\in \tau$ ${\ displaystyle X \ in \ tau}$ ${\ displaystyle X \ in \ tau}$ .

Unirea arbitrară a seturilor deschise este o deschidere:

Este ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ o colecție de indici și ia în considerare uniunea dintre $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ unde este $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ este deschis pentru toată lumea $i\in {\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle i \ in {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle i \ in {\ mathcal {I}}}$ . Pentru legile lui De Morgan avem

A:=\bigcup \limits _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=X\setminus \bigcap \limits _{i\in {\mathcal {I}}}X\setminus A_{i}

{\ displaystyle A: = \ bigcup \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} A_ {i} = X \ setminus \ bigcap \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} X \ setminus A_ {i}}

{\ displaystyle A: = \ bigcup \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} A_ {i} = X \ setminus \ bigcap \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} X \ setminus A_ {i}}

asa de

X\setminus A=\bigcap \limits _{i\in {\mathcal {I}}}X\setminus A_{i}

{\ displaystyle X \ setminus A = \ bigcap \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} X \ setminus A_ {i}}

{\ displaystyle X \ setminus A = \ bigcap \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} X \ setminus A_ {i}}

.

\Rightarrow X\setminus A\subset X\setminus A_{i}\forall i\in {\mathcal {I}}

{\ displaystyle \ Rightarrow X \ setminus A \ subset X \ setminus A_ {i} \ forall i \ in {\ mathcal {I}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow X \ setminus A \ subset X \ setminus A_ {i} \ forall i \ in {\ mathcal {I}}}

\Rightarrow X\setminus A\cup X\setminus A_{i}=X\setminus A_{i}

{\ displaystyle \ Rightarrow X \ setminus A \ cup X \ setminus A_ {i} = X \ setminus A_ {i}}

{\ displaystyle \ Rightarrow X \ setminus A \ cup X \ setminus A_ {i} = X \ setminus A_ {i}}

Pentru conservarea uniunilor binare:

\Rightarrow \operatorname {cl} \left(X\setminus A\cup X\setminus A_{i}\right)=\operatorname {cl} (X\setminus A)\cup \operatorname {cl} (X\setminus A_{i})=\operatorname {cl} (X\setminus A_{i})

{\ displaystyle \ Rightarrow \ operatorname {cl} \ left (X \ setminus A \ cup X \ setminus A_ {i} \ right) = \ operatorname {cl} (X \ setminus A) \ cup \ operatorname {cl} (X \ setminus A_ {i}) = \ operatorname {cl} (X \ setminus A_ {i})}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ operatorname {cl} \ left (X \ setminus A \ cup X \ setminus A_ {i} \ right) = \ operatorname {cl} (X \ setminus A) \ cup \ operatorname {cl} (X \ setminus A_ {i}) = \ operatorname {cl} (X \ setminus A_ {i})}

\Rightarrow \operatorname {cl} (X\setminus A)\subset \operatorname {cl} (X\setminus A_{i})\forall i\in {\mathcal {I}}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ operatorname {cl} (X \ setminus A) \ subset \ operatorname {cl} (X \ setminus A_ {i}) \ forall i \ in {\ mathcal {I}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ operatorname {cl} (X \ setminus A) \ subset \ operatorname {cl} (X \ setminus A_ {i}) \ forall i \ in {\ mathcal {I}}}

\Rightarrow \operatorname {cl} (X\setminus A)\subset \bigcap \limits _{i\in {\mathcal {I}}}\operatorname {cl} (X\setminus A_{i})=\bigcap \limits _{i\in {\mathcal {I}}}X\setminus A_{i}=X\setminus A

{\ displaystyle \ Rightarrow \ operatorname {cl} (X \ setminus A) \ subset \ bigcap \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ operatorname {cl} (X \ setminus A_ {i}) = \ bigcap \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} X \ setminus A_ {i} = X \ setminus A}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ operatorname {cl} (X \ setminus A) \ subset \ bigcap \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} \ operatorname {cl} (X \ setminus A_ {i}) = \ bigcap \ limits _ {i \ in {\ mathcal {I}}} X \ setminus A_ {i} = X \ setminus A}

.

Prin urmare $\operatorname {cl} (X\setminus A)\subset \ X\setminus A.$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X \ setminus A) \ subset \ X \ setminus A.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X \ setminus A) \ subset \ X \ setminus A.}$ Pentru extensivitate rezultă că $X\setminus A=\operatorname {cl} (X\setminus A)$ ${\ displaystyle X \ setminus A = \ operatorname {cl} (X \ setminus A)}$ ${\ displaystyle X \ setminus A = \ operatorname {cl} (X \ setminus A)}$ .

Prin urmare, A este un open.

Intersecția unui număr finit de seturi deschise este un set deschis:

Este ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ o colecție finită de indici și fiți $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ deschis $\forall i\in {\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle \ forall i \ in {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle \ forall i \ in {\ mathcal {I}}}$ .