De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Atractorul Lorenz a fost primul exemplu de sistem de ecuații diferențiale cu dimensiuni reduse capabile să genereze un comportament haotic . A fost descoperit de Edward N. Lorenz de la Massachusetts Institute of Technology în 1963 .
Descriere
Prin simplificarea ecuațiilor de mișcare la derivatele parțiale care descriu mișcarea termică de convecție a unui fluid, Lorenz a obținut un sistem de trei ecuații diferențiale de primul ordin:
- {\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} & = \ sigma (yx) \\ {\ dot {y}} & = \ rho x-xz-y \\ {\ dot {z}} & = xy- \ beta z \ end {cases}}}
unde este: {\ displaystyle \ sigma} este numărul Prandtl e {\ displaystyle \ rho} este numărul Rayleigh . {\ displaystyle \ sigma} , {\ displaystyle \ rho} Și {\ displaystyle \ beta} sunt mai mari de 0, dar în majoritatea cazurilor {\ displaystyle \ sigma = 10} Și {\ displaystyle \ beta = {\ frac {8} {3}}} , in timp ce {\ displaystyle \ rho} este variabilă.
Deși ecuațiile, datorită trunchierii puternice, descriu bine fenomenul de convecție numai pentru {\ displaystyle \ rho \ approx 1} , sunt folosite ca model de dimensiuni reduse pentru comportamentul haotic , purtând parametrul {\ displaystyle \ rho} ecuației complet în afara regimului fizic adecvat. Dar dorind să obținem un model mai fidel pentru {\ displaystyle \ rho \ neq 1} , va fi necesar să se utilizeze ecuațiile în forma lor non-aproximativă:
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ nabla ^ {2} \ psi)} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} {\ frac {\ partial (\ nabla ^ {2} \ psi)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} {\ frac {\ partial (\ nabla ^ {2} \ psi)} {\ partial t}} + \ nu \ nabla ^ {2} (\ nabla ^ {2} \ psi) + g \ alpha {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial x}}}
- {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} & = - {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial x}} {\ frac {\ partial \ psi } {\ partial z}} + {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial z}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + k \ nabla ^ {2} \ theta + { \ frac {\ Delta T} {H}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} \\ & = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} \ left ({\ frac {\ partial \ theta} {\ partial z}} + {\ frac {\ Delta T} {H}} \ right) - {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial x}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} + k \ nabla ^ {2} \ theta \\\ end {align}}}
unde este {\ displaystyle g} este accelerația gravitației , {\ displaystyle \ alpha} coeficientul de dilatare termică , {\ displaystyle \ nu} vâscozitatea cinematică , {\ displaystyle \ kappa} conductivitate termică , {\ displaystyle \ theta} temperatura , e {\ displaystyle \ Psi} funcția curentă . Componentele vitezei {\ displaystyle \ mathbf {u} = (u, v)} sunt, prin urmare, definite ca {\ displaystyle u = {\ partial \ Psi \ over \ partial z}, w = - {\ partial \ Psi \ over \ partial x}} .
Obiectele geometrice de acest tip, reprezentative pentru mișcarea unui sistem haotic în spațiul de fază, sunt numite atractori ciudati .
Comportamentul haotic al ecuațiilor Lorenz: o mică diferență în condițiile inițiale a două sisteme dă naștere la două traiectorii foarte diferite.
Atractorul sistemului Lorenz are o dimensiune fractală și o dimensiune Lyapunov egală cu 2,06.
Bibliografie
- Edward Norton Lorenz , Fluxul neperiodic determinist , în J. Atmos. Știință , vol. 20, nr. 130, 1963.
Alte proiecte