Similitudinea de sine

Curba Koch are o asemănare de sine repetată la infinit de ori atunci când este mărită.

În matematică , un obiect auto-similar este exact sau aproximativ similar cu o parte a acestuia (adică una sau mai multe dintre părțile sale sunt interne omotetice pentru întreg). Multe obiecte din lumea reală, cum ar fi coastele , sunt asemănătoare statistic: părți ale acestor obiecte prezintă aceleași proprietăți statistice la multe scale ^[1] . Auto-similitudinea este o proprietate tipică a fractalilor .

Invarianța la scară este o formă exactă de auto-similitudine, unde la fiecare mărire există o parte a obiectului care este similară cu întregul. De exemplu, o parte a capsei Koch este atât simetrică, cât și invariantă la scară: poate fi mărită cu un factor de 3 fără a schimba forma.

Definiție

Un spațiu topologic compact X este auto-similar dacă există un set finit S de indici ai unui set de homeomorfisme care nu sunt suriettivi $\lbrace f_{s}\rbrace _{s\in S}$ ${\ displaystyle \ lbrace f_ {s} \ rbrace _ {s \ in S}}$ ${\ displaystyle \ lbrace f_ {s} \ rbrace _ {s \ in S}}$ pentru care

X=\cup _{s\in S}f_{s}(X)

{\ displaystyle X = \ cup _ {s \ in S} f_ {s} (X)}

{\ displaystyle X = \ cup _ {s \ in S} f_ {s} (X)}

De sine $X\subset Y$ ${\ displaystyle X \ subset Y}$ ${\ displaystyle X \ subset Y}$ , spunem că X este auto-similar dacă este singurul subset ne-gol al lui Y astfel încât ecuația anterioară este valabilă pentru $\lbrace f_{s}\rbrace _{s\in S}$ ${\ displaystyle \ lbrace f_ {s} \ rbrace _ {s \ in S}}$ ${\ displaystyle \ lbrace f_ {s} \ rbrace _ {s \ in S}}$ . O structură asemănătoare cu sine este formată de triada

{\mathfrak {L}}=(X,S,\lbrace f_{s}\rbrace _{s\in S})

{\ displaystyle {\ mathfrak {L}} = (X, S, \ lbrace f_ {s} \ rbrace _ {s \ in S})}

{\ displaystyle {\ mathfrak {L}} = (X, S, \ lbrace f_ {s} \ rbrace _ {s \ in S})}

Homeomorfismele pot fi iterate , dând naștere unui sistem de funcții iterate . Compoziția funcțiilor creează structura algebrică a monoidului . Când mulțimea S are doar două elemente, monoidul se numește monoid diadic . Monoidul diadic poate fi reprezentat ca un arbore binar infinit; mai general, dacă mulțimea S are p elemente, atunci monoidul poate fi reprezentat ca un copac cu numărul de coordonare p .

Automorfismele unui monoid diadic formează grupul modular . Automorfismele pot fi reprezentate ca rotații hiperbolice ale arborelui binar.

Exemple

Auto-similitudine în setul Mandelbrot afișat prin mărirea punctului Feigenbaum la (-1.401155189 ..., 0)

Imagine a unei ferigi care prezintă o afinitate de sine afină

Setul Mandelbrot este auto- similar în jurul punctelor Misiurewicz .

Auto-similitudinea are consecințe importante în proiectarea rețelei de calculatoare, deoarece traficul tipic de rețea are proprietăți de auto-similitudine. De exemplu, în ingineria telecomunicațiilor , secvențele de date din rețelele comutate de pachete par a fi auto-similare ^[2] . Această proprietate înseamnă că modelele simple care utilizează o distribuție Poisson sunt inadecvate și rețelele proiectate fără a lua în considerare asemănarea de sine sunt foarte susceptibile să funcționeze în mod neașteptat.

Plantele sunt obiecte auto-similare găsite în natură. Imaginea opusă este un exemplu, deși generat de computer, de auto-similitudine. Ferigile reale, cu toate acestea, sunt extrem de apropiate de similitudinea reală de sine.

Teoria turbulenței a lui Kolmogorov din 1941 se bazează pe presupunerea că câmpul de viteză al unui fluid turbulent posedă auto-similitudine (în sens statistic). Faptul că această teorie este capabilă să ofere anumite predicții corecte, în timp ce altele sunt greșite, indică faptul că această ipoteză este valabilă doar într-o primă aproximare. ^[3]

Notă

^ Benoît Mandelbrot , Cât timp este coasta Marii Britanii? Autosimilitate statistică și dimensiune fracționată
^ Leland și colab. „Despre natura auto-similară a traficului Ethernet”, IEEE / ACM Transactions on Networking , Volumul 2 , Numărul 1 (februarie 1994)
^ Frisch, U., Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, 1995.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de asemănare

linkuri externe

„Chevrons Copperplate” - Zoom al unui fractal asemănător

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Benoît Mandelbrot , Cât timp este coasta Marii Britanii? Autosimilitate statistică și dimensiune fracționată

[2] Leland și colab. „Despre natura auto-similară a traficului Ethernet”, IEEE / ACM Transactions on Networking , Volumul 2 , Numărul 1 (februarie 1994)

[3] Frisch, U., Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, 1995.

[1]

[2]

[3]