Autostat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În mecanica cuantică , eigenstate unei observabil este un vector propriu al operatorului asociat cu observabil. Având în vedere un sistem fizic observabil , acesta este asociat cu un operator autoadjunct și liniar al spațiului Hilbert : stările cuantice în care sistemul poate fi găsit sunt o combinație liniară a statelor proprii ale operatorului, care formează o bază a spațiului a lui Hilbert .

Definiție

Se numește autostat a unui observabil un vector propriu al operatorului asociat observabilului, care este deci o soluție a ecuației seculare :

.

Valoarea lui a care satisface această relație este un număr real și se numește valoarea proprie a operatorului , cărora le corespund una sau mai multe stări proprii .
Spectrul unui operator este setul valorilor proprii ale acestuia, care pot fi continue sau discrete sau parțial continue și parțial discrete. În cazul discret există în general un număr finit de valori proprii deci a vectorilor proprii asociați . În cazul continuu există o infinitate de valori proprii reprezentată de o funcție căreia îi sunt asociați vectorii proprii relativi . Fiecare dintre aceste stări proprii corespunde unei stări fizice în care, dacă am putea face o măsurare complet precisă a cantității A , am găsi una dintre valori sau .

În mecanica cuantică se postulează că toate valorile proprii reprezintă toate valorile posibile pe care le poate asuma A observabil. În consecință, vectorii săi proprii formează un set complet, în sensul că funcția de undă a unui sistem fizic poate fi dezvoltată în stări proprii ale oricărei variabile dinamice a sistemului.
În cazul discret avem:

în timp ce în cazul continuu:

unde este și respectiv sunt în general coeficienți complexi (de confundat cu valorile proprii ale unui observabil).

Autostate și măsurători ale observabilelor

Conform postulatului proiecției , actul de a măsura o cantitate observabilă a unui sistem face ca acesta să se prăbușească pe unul dintre propriile sale stări. Acest postulat nu admite o interpretare imediată: în general, un sistem fizic este o suprapunere a stărilor proprii ale unei anumite variabile dinamice a sistemului. Procesul de măsurare a acestei mărimi prăbușește funcția de undă într-unul din propriile sale stări. În timp ce starea dinaintea măsurătorii este (1) sau (1 '), după măsurare starea este perfect determinată, adică sistemul se află în a treia stare proprie:

A priori nu se știe în ce stat propriu funcția de undă se va prăbuși : fiecare stat propriu are deci o anumită probabilitate de a fi „ales” de funcția de undă după măsurarea efectuată. Această probabilitate este dată de coeficienți sau , sau mai degrabă prin modulele lor pătrate , care reprezintă amplitudini de probabilitate .

Cazuri speciale

Cele mai imediate cazuri apar atunci când operatorul A poate fi exprimat prin intermediul unei matrice hermitiene de dimensiune finită. În acest caz, statele proprii corespund vectorilor proprii ai matricei A care se întâlnesc în teoria matricilor obișnuite (finite). Sistemele fizice care pot fi atribuite acestui formalism sunt, de exemplu, cele în care este luat în considerare doar comportamentul de centrifugare al uneia sau al câtorva particule (ca și pentru considerațiile de bază pentru rezonanța magnetică nucleară ). În medie, pot fi luate în considerare sisteme complexe pentru care există un set numărabil și, prin urmare, discret, de valori proprii pentru cele mai importante cantități. Apoi, există sisteme și cantități care pot fi descrise numai cu operatori autoadjuncti al căror spectru este parțial discret și parțial continuu.

Stările proprii de energie (adică vectorii proprii ai operatorului hamiltonian care descrie sistemul) unui sistem conservator sunt deosebit de importante. Acești vectori reprezintă stările fizice cu energie definită în care sistemul poate rămâne neschimbat în timp; aceste stări sunt cele care descriu sistemele atomice și moleculare în condiții de stabilitate.

Exemplu: stări proprii de energie ale unei particule libere

Hamiltonianul care descrie o particulă liberă este:

Proprietățile proprii ale acestui sistem se obțin prin rezolvarea ecuației diferențiale :

(unde E reprezintă valorile proprii ale sistemului și, prin urmare, valorile de energie accesibile).

Există soluții infinite ale acestei ecuații, dar fiecare dintre ele poate fi dezvoltată într- o serie Fourier și, prin urmare, ne putem limita la studierea soluțiilor de tipul

care au valoare proprie

În acest caz, spectrul valorilor energetice accesibile sistemului este continuu, deoarece ecuația diferențială are o soluție pentru fiecare vector de undă .

Bibliografie

Elemente conexe

Cuantic Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică