Potențială barieră

Reprezentarea unei bariere potențiale

În mecanica cuantică bariera potențială este un potențial de tipul:

V(x)={\begin{cases}0&x<-a\\V_{0}&-a\leq x\leq a\\0&x>a\end{cases}}

{\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0 & x <-a \\ V_ {0} & - a \ leq x \ leq a \\ 0 & x> a \ end {cases}}}

{\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0 & x <-a \\ V_ {0} & - a \ leq x \ leq a \\ 0 & x> a \ end {cases}}}

Produce un efect cuantic în raport cu un fascicul de particule care călătoresc în direcția pozitivă a axei x, unde per $x<-a$ ${\ displaystyle x <-a}$ ${\ displaystyle x <-a}$ si pentru $x>a$ ${\ displaystyle x> a}$ ${\ displaystyle x> a}$ particulele sunt libere și pentru $-a\leq x\leq a$ ${\ displaystyle -a \ leq x \ leq a}$ ${\ displaystyle -a \ leq x \ leq a}$ sunt supuși unui potențial constant $V_{0}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ . În timp ce în mecanica clasică particulele cu care ajung bariera potențială $E<V_{0}$ ${\ displaystyle E <V_ {0}}$ ${\ displaystyle E <V_ {0}}$ ricoșează de barieră și reiau mișcarea în direcția opusă, acest lucru nu este întotdeauna adevărat în mecanica cuantică.

Descriere

Ecuația Schrödinger unidimensională staționară este:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\cdot \psi (x)=E\cdot \psi (x)

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + V (x) \ cdot \ psi (x) = E \ cdot \ psi (x)}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + V (x) \ cdot \ psi (x) = E \ cdot \ psi (x)}

Potențialul împarte regiunea în trei zone (vezi figura): prima pentru $x<-a$ ${\ displaystyle x <-a}$ ${\ displaystyle x <-a}$ care este formal analog regiunii $x>a$ ${\ displaystyle x> a}$ ${\ displaystyle x> a}$ și regiunea $-a\leq x\leq a$ ${\ displaystyle -a \ leq x \ leq a}$ ${\ displaystyle -a \ leq x \ leq a}$ . Prin urmare, problema trebuie tratată în fiecare dintre cele trei zone separat și soluțiile trebuie apoi conectate în corespondență cu discontinuitățile potențialului:

{\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\cdot \psi (x)&x<-a,x>a\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V_{0}\cdot \psi (x)=E\cdot \psi (x)&-a\leq x\leq a\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) = E \ cdot \ psi (x) & x <-a, x> a \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2} }} \ psi (x) + V_ {0} \ cdot \ psi (x) = E \ cdot \ psi (x) & - a \ leq x \ leq a \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) = E \ cdot \ psi (x) & x <-a, x> a \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2} }} \ psi (x) + V_ {0} \ cdot \ psi (x) = E \ cdot \ psi (x) & - a \ leq x \ leq a \ end {cases}}}

Trebuie să căutăm soluții care aparțin $L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ și impuneți că acestea sunt continue cu prima derivată continuă în punctele de discontinuitate. Să rescriem ecuațiile:

{\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+k^{2}\psi (x)=0&x<-a,x>a\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-\lambda ^{2}\psi (x)=0&-a\leq x\leq a\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + k ^ {2} \ psi (x) = 0 & x <-a , x> a \\ {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) - \ lambda ^ {2} \ psi (x) = 0 & -a \ leq x \ leq a \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + k ^ {2} \ psi (x) = 0 & x <-a , x> a \\ {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) - \ lambda ^ {2} \ psi (x) = 0 & -a \ leq x \ leq a \ end {cases}}}

unde este $k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}}}$ Și $\lambda ^{2}={\frac {2m(|V_{0}|-E)}{\hbar ^{2}}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {2m (| V_ {0} | -E)} {\ hbar ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {2m (| V_ {0} | -E)} {\ hbar ^ {2}}}}$ . Aceste ecuații au soluție generală în termeni de exponențială complexă dată de:

{\begin{cases}\psi (x)=e^{ikx}+Ae^{-ikx}&x<-a\\\psi (x)=Be^{\lambda x}+Ce^{-\lambda x}&-a\leq x\leq a\\\psi (x)=De^{ikx}&x>a\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ psi (x) = e ^ {ikx} + Ae ^ {- ikx} & x <-a \\\ psi (x) = Be ^ {\ lambda x} + Ce ^ {- \ lambda x} & - a \ leq x \ leq a \\\ psi (x) = De ^ {ikx} & x> a \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ psi (x) = e ^ {ikx} + Ae ^ {- ikx} & x <-a \\\ psi (x) = Be ^ {\ lambda x} + Ce ^ {- \ lambda x} & - a \ leq x \ leq a \\\ psi (x) = De ^ {ikx} & x> a \ end {cases}}}

cu A, B, C, D coeficienți reali arbitrari care urmează să fie determinați prin impunerea condițiilor limită și unde am eliminat deja contribuția undelor regresive din regiune $x>a$ ${\ displaystyle x> a}$ ${\ displaystyle x> a}$ . Prin impunerea condițiilor de continuitate a funcției de undă și a primei sale derivate în puncte $x=\pm a$ ${\ displaystyle x = \ pm a}$ ${\ displaystyle x = \ pm a}$ avem:

{\begin{cases}e^{-ika}+Ae^{ika}=Be^{-\lambda a}+Ce^{\lambda a}\\ik\left(e^{-ika}-Ae^{ika}\right)=\lambda \left(Be^{-\lambda a}-Ce^{\lambda a}\right)\\Be^{\lambda a}+Ce^{-\lambda a}=De^{ika}\\\lambda \left(Be^{\lambda a}-Ce^{-\lambda a}\right)=ikDe^{ika}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} e ^ {- ika} + Ae ^ {ika} = Be ^ {- \ lambda a} + Ce ^ {\ lambda a} \\ ik \ left (e ^ {- ika} -Ae ^ {ika} \ right) = \ lambda \ left (Be ^ {- \ lambda a} -Ce ^ {\ lambda a} \ right) \\ Be ^ {\ lambda a} + Ce ^ {- \ lambda a} = De ^ {ika} \\\ lambda \ left (Be ^ {\ lambda a} -Ce ^ {- \ lambda a} \ right) = ikDe ^ {ika} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} e ^ {- ika} + Ae ^ {ika} = Be ^ {- \ lambda a} + Ce ^ {\ lambda a} \\ ik \ left (e ^ {- ika} -Ae ^ {ika} \ right) = \ lambda \ left (Be ^ {- \ lambda a} -Ce ^ {\ lambda a} \ right) \\ Be ^ {\ lambda a} + Ce ^ {- \ lambda a} = De ^ {ika} \\\ lambda \ left (Be ^ {\ lambda a} -Ce ^ {- \ lambda a} \ right) = ikDe ^ {ika} \ end {cases}}}

soluția acestui sistem duce la:

B={\frac {ik(\lambda +ik)e^{-(\lambda +ik)a}}{(k^{2}-\lambda ^{2})\sinh {(2\lambda a)}+2ik\lambda \cosh {(2\lambda a)}}}

{\ displaystyle B = {\ frac {ik (\ lambda + ik) și ^ {- (\ lambda + ik) a}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ {2}) \ sinh {(2 \ lambda a)} + 2ik \ lambda \ cosh {(2 \ lambda a)}}}}

{\ displaystyle B = {\ frac {ik (\ lambda + ik) și ^ {- (\ lambda + ik) a}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ {2}) \ sinh {(2 \ lambda a)} + 2ik \ lambda \ cosh {(2 \ lambda a)}}}}

C={\frac {ik(\lambda -ik)e^{(\lambda -ik)a}}{(k^{2}-\lambda ^{2})\sinh {(2\lambda a)}+2ik\lambda \cosh {(2\lambda a)}}}

{\ displaystyle C = {\ frac {ik (\ lambda -ik) e ^ {(\ lambda -ik) a}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ {2}) \ sinh {(2 \ lambda a)} + 2ik \ lambda \ cosh {(2 \ lambda a)}}}}

{\ displaystyle C = {\ frac {ik (\ lambda -ik) e ^ {(\ lambda -ik) a}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ {2}) \ sinh {(2 \ lambda a)} + 2ik \ lambda \ cosh {(2 \ lambda a)}}}}

A={\frac {(k^{2}+\lambda ^{2})\sinh(2\lambda a)e^{-2ika}}{(k^{2}-\lambda ^{2})\sinh {(2\lambda a)}+2ik\lambda \cosh {(2\lambda a)}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {(k ^ {2} + \ lambda ^ {2}) \ sinh (2 \ lambda a) e ^ {- 2ika}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ { 2}) \ sinh {(2 \ lambda a)} + 2ik \ lambda \ cosh {(2 \ lambda a)}}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {(k ^ {2} + \ lambda ^ {2}) \ sinh (2 \ lambda a) e ^ {- 2ika}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ { 2}) \ sinh {(2 \ lambda a)} + 2ik \ lambda \ cosh {(2 \ lambda a)}}}}

D={\frac {2ik\lambda e^{-2ika}}{(k^{2}-\lambda ^{2})\sinh {(2\lambda a)}+2ik\lambda \cosh {(2\lambda a)}}}

{\ displaystyle D = {\ frac {2ik \ lambda e ^ {- 2ika}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ {2}) \ sinh {(2 \ lambda a)} + 2ik \ lambda \ cosh {(2 \ lambda a)}}}}

{\ displaystyle D = {\ frac {2ik \ lambda e ^ {- 2ika}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ {2}) \ sinh {(2 \ lambda a)} + 2ik \ lambda \ cosh {(2 \ lambda a)}}}}

Calculăm coeficienții de transmisie și reflexie cu curentul de probabilitate :

T={\frac {J_{t}}{J_{i}}}=|D|^{2}={\frac {4k^{2}\lambda ^{2}}{(k^{2}-\lambda ^{2})^{2}\sinh ^{2}(2\lambda a)+4k^{2}\lambda ^{2}\cosh ^{2}(2\lambda a)}}={\frac {4k^{2}\lambda ^{2}}{(k^{2}+\lambda ^{2})^{2}\sinh ^{2}(2\lambda a)+4k^{2}\lambda ^{2}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {J_ {t}} {J_ {i}}} = | D | ^ {2} = {\ frac {4k ^ {2} \ lambda ^ {2}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ {2}) ^ {2} \ sinh ^ {2} (2 \ lambda a) + 4k ^ {2} \ lambda ^ {2} \ cosh ^ {2} (2 \ lambda a )}} = {\ frac {4k ^ {2} \ lambda ^ {2}} {(k ^ {2} + \ lambda ^ {2}) ^ {2} \ sinh ^ {2} (2 \ lambda a ) + 4k ^ {2} \ lambda ^ {2}}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {J_ {t}} {J_ {i}}} = | D | ^ {2} = {\ frac {4k ^ {2} \ lambda ^ {2}} {(k ^ {2} - \ lambda ^ {2}) ^ {2} \ sinh ^ {2} (2 \ lambda a) + 4k ^ {2} \ lambda ^ {2} \ cosh ^ {2} (2 \ lambda a )}} = {\ frac {4k ^ {2} \ lambda ^ {2}} {(k ^ {2} + \ lambda ^ {2}) ^ {2} \ sinh ^ {2} (2 \ lambda a ) + 4k ^ {2} \ lambda ^ {2}}}}

acest rezultat indică $T\neq 0$ ${\ displaystyle T \ neq 0}$ ${\ displaystyle T \ neq 0}$ , adică există o probabilitate diferită de zero ca particula sau fasciculul de particule să traverseze bariera potențială: există efectul tunel .

Bariera potențială dintre două particule poate fi sărită sau deschisă în moduri diferite.

Laureatul Nobel Szent-Györgyi a sugerat un exemplu de efect de tunel pentru a depăși bariera potențială, în biologie: enzimele au molecule care constau în general din grupuri precum gruparea metil , care are 3 protoni încărcați pozitiv, care în ele odată ce sunt capabili pentru a determina o atracție pe norul negativ de electroni al atomului supus reacției enzimatice.

Această deplasare a sarcinilor determină o distribuție asimetrică a norului electronic și formarea unui tunel (efect de tunel) cu caracteristici de sarcină electrică mai puțin negativă și, prin urmare, relativ pozitivă, în raport cu electronii unui alt atom care interacționează, care este astfel atras de formarea unei legături chimice suficient de stabile în ciuda nivelului scăzut de energie implicat în proces.

Elemente conexe

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică