De bază (algebră liniară)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , mai precis în algebra liniară , baza unui spațiu vectorial este un set de liniar independente vectori care generează spațiul. [1] În mod echivalent, fiecare element al spațiului vectorial poate fi scris într-un mod unic ca o combinație liniară a vectorilor care aparțin bazei. [2]

Dacă baza unui spațiu vectorial este compus dintr-un număr finit de elemente, atunci dimensiunea spațiului este finită. [3] În special, numărul elementelor bazei coincide cu dimensiunea spațiului. [4]

Definiție în cazul dimensiunii finite

Este un spațiu vector pe un câmp . Întregul de elemente ale este o bază de dacă ambele proprietăți sunt valabile: [2]

  • Purtători sunt liniar independente în , aceasta este relația:
este bifat numai dacă numerele toate sunt egale cu zero.
  • Purtători Genera , adică:
În special, pentru fiecare transportator din numerele sunt coordonatele sale în raport cu baza aleasă.

Se mai spune că transportatorii aparținând oricărei baze a ele constituie un subset maxim de vectori liniari independenți ai spațiului. [5] Aceasta înseamnă vectorii sunt astfel încât există astfel încât:

adică adăugarea la subsetul maxim al oricărui alt element al spațiului determină dependența liniară a elementelor subsetului. [6]

Prin urmare, o bază este compusă dintr-un număr minim de vectori generatori de spațiu. Un spațiu vectorial nontrivial cu un câmp infinit are baze diferite diferite.

Dimensiunea unui spațiu vectorial

Un spațiu vectorial în general nu are o singură bază, iar spațiile cu baze posibile infinite sunt de obicei tratate. Teorema dimensiunii pentru spațiile vectoriale afirmă că toate bazele posibile ale aceluiași spațiu au aceeași cardinalitate , adică sunt întotdeauna formate din același număr de vectori. [7] Acest număr are dimensiunea spațiului și vă permite să definiți spații în mod arbitrar mari. Mărimea spațiului este, de asemenea, egală atât cu numărul maxim de vectori independenți pe care îl conține, cât și cu numărul minim de vectori necesar pentru a genera spațiul în sine.

Existenţă

Oricare ar fi spațiul vectorial , este întotdeauna posibil să găsești o bază. Dovada necesită utilizarea lemei lui Zorn în cazul general, în timp ce în cazul particular al spațiilor generate finit există dovezi mai simple.

Luați în considerare colecția subseturi de liniar independent. Este imediat să deducem că includerea este o ordine parțială pe , și asta pentru fiecare lanț întregul este un majorant al acestuia (este liniar independent, deoarece este o uniune a elementelor unui lanț ordonate prin incluziune). Aplicând lema lui Zorn , există un set maxim independent liniar în . Asa de este o bază, de fapt dacă dar nu aparține apoi pentru maximul de întregul trebuie să fie dependent liniar, adică există scalari nu toate nule astfel încât

cu , deoarece dacă nu ar fi nimic, atunci și ceilalți ar trebui să fie, fiind elementele liniar independent. Prin urmare poate fi scris ca o combinație liniară finită de elemente ale , care pe lângă faptul că sunt liniar independenți generează . Asa de este o bază.

Coordonatele cu privire la o bază

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: coordonatele unui vector .

Pentru a exprima un vector într-un mod unic printr-o bază este necesar să se definească o ordonare în setul de vectori care alcătuiesc baza. O bază ordonată este o succesiune de vectori liniar independenți care generează spațiu. În special, dacă succesiunea de elemente este o bază ordonată a , atunci setul acestor vectori este o bază a . [8]

Fiecare transportator poate fi scris unic ca o combinație liniară a vectorilor de bază:

Setul de coordonate ale cu privire la baza dată vectorului: [8]

Acesta este vectorul care are ca componente coeficienții combinației liniare a vectorilor de bază prin care poate fi scris . Acest vector depinde de baza aleasă.

Harta care se asociază fiecărui vector coordonatele sale este un izomorfism al spațiilor vectoriale, adică este o aplicație liniară bijectivă . [9]

Baza canonică

Este un câmp. Întregul este un spațiu vectorial de dimensiune . Este definit ca baza canonică a setul de vectori: [1]

Fiecare transportator putem scrie apoi ca o combinație liniară a vectorilor de bază:

Vectorul:

este vectorul de coordonate al cu privire la baza canonică. [10] De obicei, un vector este identificat prin coordonatele sale în raport cu baza canonică, adică .

De exemplu, vectori și Sunt o bază de , de fapt fiecare vector este scris ca:

Generalizări în dimensiune infinită

Conceptul de bază în spații cu dimensiune infinită (în care există un set infinit de vectori liniar independenți) este mai problematic. Pentru aceste spații există două noțiuni de bază diferite: prima, numită bază Hamel , este definită algebric, în timp ce a doua, numită bază Schauder , necesită prezența unei topologii .

Baza Hamel

O bază Hamel pentru un spațiu vector Este un set de vectori liniar independenți [11] , parametrizați de un set ordonat de indici, astfel încât fiecare vector din este o combinație liniară a unui set finit al acestora.

În cazul în care este un set finit, definiția coincide cu cea dată anterior.

Mulțumită lemei Zorn, fiecare spațiu vectorial are o bază Hamel și, în plus, orice două baze Hamel ale aceluiași spațiu vectorial au aceeași cardinalitate , care este egală cu dimensiunea (Hamel) a spațiului vectorial. În cele din urmă, continuă să rămână adevărat că fiecare vector al spațiului este scris în mod unic ca o combinație liniară a vectorilor unei baze Hamel.

De exemplu, o bază Hamel pentru spațiul vectorial format din toate polinoamele cu coeficienți dintr-un câmp este dat de setul tuturor monomiilor:

De fapt orice polinom este o combinație liniară a unui set finit al acestora.

Mulțimea numerelor reale poate fi considerată un spațiu vectorial pe . Rezultă că orice număr real poate fi exprimat ca o combinație finită liniară de elemente luate dintr-un subset corespunzător de : acest subset nu poate fi finit sau numărabil de atunci are puterea continuumului (considerații similare se pot face luând în considerare ca spațiu vectorial pe ).

Baza Schauder

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: baza Schauder .

Mai general, pentru un spațiu topologic este posibil să se extindă definiția lui Hamel într-un mod diferit, acceptând sume infinite de vectori. Sensul acestor sume infinite este de fapt dat de noțiunile de limită ale unei secvențe și serii .

De sine este un spațiu vector topologic (de exemplu un spațiu Hilbert sau Banach ), un set ordonat a vectorilor liniar independenți este o bază Schauder (sau topologică ) dacă spațiul generat de aceștia este dens în . Cu alte cuvinte, dacă există un transportator din poate fi aproximat prin sume (finite) de vectori în și, prin urmare, ca limită a unei sume infinite a acestora:

unde este este un subset numeros .

Problema existenței bazei Schauder

Problema apare a existenței unei baze Schauder în spațiile Hilbert sau Banach. Răspunsul, în general, este negativ: de fapt, din definiția rezultă, în special, că un spațiu Hilbert sau Banach care are o bază Schauder trebuie să fie în mod necesar separabil (de fapt, de spațiul generat de , care este dens în este întotdeauna posibil să se extragă un subset dens și numărabil folosind combinații liniare cu coeficienți în )

Într-un spațiu Hilbert, noțiunea de bază ortonormală are o importanță deosebită: într-un spațiu Hilbert separabil, o bază ortonormală este o bază Schauder.

Existența unei baze Schauder într-un spațiu Banach nu este în general asigurată nici măcar adăugând ipoteza (în plus necesară) că este un spațiu separabil : un contraexemplu a fost furnizat în 1973 de Per Enflo . Teorema lui Stanisław Mazur arată că în fiecare spațiu Banach (dimensional infinit) există întotdeauna un subespai dimensional infinit care posedă o bază Schauder.

Existența unei baze Schauder ne permite să extindem unele teoreme [ fără sursă ] .

Cardinalitatea

Cele două noțiuni de baze sunt în general foarte diferite, iar cardinalitățile lor pot diferi și ele, ducând la două concepte diferite de dimensiune, numite dimensiunea Hamel și , respectiv, dimensiunea Schauder . Dimensiunea Hamel poate avea o cardinalitate mai mare decât cea a lui Schauder (deși ambele sunt infinite).

De exemplu, ambele spațiul funcțiilor continue reale definite pe interval . Acesta este un spațiu Banach cu norma :

Ca o consecință a teoriei seriei Fourier , o bază Schauder pentru este construit pornind de la funcțiile trigonometrice :

și are cardinalitate numărabilă. O bază Hamel, pe de altă parte, are cardinalitate de nenumărat și este mult mai dificil de construit (și rar folosit).

Notă

  1. ^ a b Hoffman, Kunze , p . 41 .
  2. ^ a b S. Lang , Pagina 44 .
  3. ^ Avem și faptul că, dacă baza este compusă dintr-un număr infinit de elemente, atunci dimensiunea este infinită, totuși această afirmație nu rezultă direct din definiție.
  4. ^ Hoffman, Kunze , p. 44 .
  5. ^ S. Lang , pagina 45 .
  6. ^ S. Lang , p . 47 .
  7. ^ S. Lang , pagina 49 .
  8. ^ a b Hoffman, Kunze , P. 50 .
  9. ^ Hoffman, Kunze , pagina 51 .
  10. ^ Hoffman, Kunze , pagina 49 .
  11. ^ Prin definiție este un set de vectori independenți dacă fiecare dintre subsetul său finit este format din vectori independenți.

Bibliografie

  • Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
  • (EN) PM Cohn, Algebra universală, Reidel (1981)
  • ( EN ) AI Mal'tsev, Sisteme algebrice , Springer (1973) (Traducere din rusă)
  • ( EN ) N. Bourbaki, Elements of math. Algebra: Structuri algebrice. Algebra liniară , 1, Addison-Wesley (1974) pp. Capitolul 1; 2

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică