Baza (geometrie)

În geometrie , o bază se referă la o anumită parte a unui poligon sau la o anumită față a unui solid . Inițial, termenul a fost folosit pentru a indica latura sau fața desenată orizontal în partea de jos, cu funcția, în sens metaforic, a bazei pe care „se sprijină” figura.

În anumite poligoane sau solide anume, termenul a dobândit apoi un sens mai specific și mai formal și este folosit pentru a indica una sau mai multe fețe sau fețe particulare (a căror particularitate depinde din când în când de figura în cauză, dar de obicei le distinge) clar din celelalte părți sau din celelalte fețe).

Sensul grafic

Este important de reținut că, de obicei, în geometrie - în special în mod modern - ilustrațiile sunt considerate ajutoare pentru înțelegere, nu elemente cheie ale raționamentului formal. A fortiori, orientarea în care o figură este reprezentată într-un desen este irelevantă pe hârtie pentru raționament.

Dacă în triunghiul descris ca în stânga vom numi latura AB „bază”, în același triunghi desenat ca în dreapta vom numi „baza” BC în schimb.

Cu toate acestea, există practici destul de consolidate, atât în publicații, la orice nivel, cât și în predarea frontală, de exemplu, cu utilizarea unei tablă, iar unul dintre cei mai înrădăcinați dorește ca poligoanele să fie desenate cu o latură inferioară decât toate celelalte. și orizontală.

Situația este similară pentru formele tridimensionale: în reprezentarea lor plană (în perspectivă sau axonometrie ), una dintre fețe este de obicei reprezentată sub celelalte și paralelă cu un plan orizontal ipotetic.

Având în vedere acest lucru, utilizarea termenului „bază” pentru a indica această latură poate fi explicată, deși specificația sa depinde numai de alegerea proiectantului.

Acest sens al termenului s-a răspândit și în situații în care poate fi considerat mai formal, adică atunci când este independent de un anumit design: cel mai faimos exemplu este următorul:

"Aria unui triunghi este egală cu lungimea bazei înmulțită cu lungimea înălțimii împărțită la 2."

Aceasta este o afirmație generală: a oricărui triunghi, odată ales - în mod arbitrar și indiferent de orice reprezentare - una dintre laturi și numindu-l „bază”, dacă luăm în considerare înălțimea relativă, putem calcula aria în acest fel.

Sensurile particulare

Unele poligoane și solide sunt reprezentate de obicei cu o orientare convențională: de exemplu, un triunghi isoscel simetric în jurul unei axe verticale sau un con cu vârful îndreptat în sus.

În virtutea acestor obiceiuri, pentru aceste și alte forme geometrice, o latură sau o față specificată de unele caracteristici a fost numită bază . De exemplu:

într-un triunghi isoscel, acesta va fi partea diferită de celelalte două
într-un trapez (geometrie) , cea mai lungă dintre cele două laturi paralele va fi numită „bază majoră”, iar cealaltă „bază minoră”
într-un cilindru (geometrie) sau într-o prismă , va fi una dintre cele două fețe paralele una cu cealaltă (și, în cazul prismei, cu mai mult de 4 laturi ^[1] )
într-o piramidă echilaterală , va fi fața care este un poligon regulat , în timp ce într-o piramidă generică cu mai mult de 4 fețe va fi fața cu mai mult de 3 laturi (deloc surprinzător, o piramidă se numește o bază pătrată sau pentagonală , etc.)
într-un con , va fi singura față plană
într-un con trunchiat sau într-o piramidă trunchiată , cea mai mare dintre cele două fețe paralele se va numi „bază majoră”, iar cealaltă „bază minoră” ^[2]

În mai multe dimensiuni

În ciuda dificultății evidente inerente reprezentării obiectelor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional - sau cel puțin lipsa convențiilor privind reprezentarea lor - conceptul de „bază” este uneori folosit și în geometria de dimensiune arbitrară, de exemplu atunci când se iau în considerare obiecte care sunt versiunea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -Dimensionalul figurilor plane sau solide.

De exemplu, în dimensiunea 4, produsul cartezian al unei sfere ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ pentru segment $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , sfera în sine poate fi considerată „bază”, sau mai precis următoarele două seturi:

$\{(x,y,z,0)\mid (x,y,z)\in {\mathcal {S}}\}$ ${\ displaystyle \ {(x, y, z, 0) \ mid (x, y, z) \ în {\ mathcal {S}} \}}$ ${\ displaystyle \ {(x, y, z, 0) \ mid (x, y, z) \ în {\ mathcal {S}} \}}$
$\{(x,y,z,1)\mid (x,y,z)\in {\mathcal {S}}\}$ ${\ displaystyle \ {(x, y, z, 1) \ mid (x, y, z) \ în {\ mathcal {S}} \}}$ ${\ displaystyle \ {(x, y, z, 1) \ mid (x, y, z) \ în {\ mathcal {S}} \}}$

Notă

^ În cazul cubului atunci, fiecare față poate fi ușor considerată o bază.
^ Observați asemănarea cu terminologia utilizată pentru trapezoide: nu este o coincidență faptul că prin disecarea unui con trunchiat sau a unei piramide trunchiate cu un plan vertical obținem un trapez - din care la rândul său solidul de rotație a axei perpendicular pe bază este un con trunchiat.

[1] În cazul cubului atunci, fiecare față poate fi ușor considerată o bază.

[2] Observați asemănarea cu terminologia utilizată pentru trapezoide: nu este o coincidență faptul că prin disecarea unui con trunchiat sau a unei piramide trunchiate cu un plan vertical obținem un trapez - din care la rândul său solidul de rotație a axei perpendicular pe bază este un con trunchiat.

[1]

[2]