Bifurcația furcii

În matematică, o bifurcație a furcii (sau bifurcația furcii ) este o bifurcație locală cu particularitatea de a fi simetrică. Această simetrie se datorează faptului că ecuațiile diferențiale ordinale care reprezintă bifurcațiile sunt funcții ciudate , adică - $f(-x)=f(x)$ ${\ displaystyle f (-x) = f (x)}$ ${\ displaystyle f (-x) = f (x)}$

Există două tipuri de bifurcații de furci, foarte diferite una de alta: supercritică și subcritică .

Bifurcația furcii supercritice

Bifurcația furcii supercritice. Liniile solide reprezintă puncte de echilibru stabile, în timp ce liniile întrerupte reprezintă puncte de echilibru instabile.

Forma normală a bifurcației furcii supercritice este:

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx-x^{3}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx-x ^ {3}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx-x ^ {3}}

Prin studierea câmpului vectorial ca $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ arată:

Câmpul vector al bifurcației furcii în formă supercritică

când parametrul este negativ există un singur punct de echilibru stabil în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .
S-a depășit valoarea critică $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ (unde există întotdeauna punctul de echilibru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ care are însă o stabilitate foarte slabă ) apar două noi puncte de echilibru stabil în corespondență cu punctele $x=\pm {\sqrt {r}}$ ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {r}}}$ ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {r}}}$ , în timp ce punctul $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ devine instabil.

Diagrama bifurcației arată că $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ este stabil pentru toți $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ negativ, în timp ce devine doar instabil $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ devine pozitiv. De asemenea pentru $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ se nasc două noi ramuri care respectă legile ${\sqrt {r}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {r}}}$ ${\ sqrt {r}}$ Și $-{\sqrt {r}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {r}}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {r}}}$ care dau diagramei forma clasică a unui trident sau furcă, de unde și numele.

Bifurcația furcii subcritice

Bifurcația furcii subcritice. Liniile solide reprezintă puncte de echilibru stabile, în timp ce liniile întrerupte reprezintă puncte de echilibru instabile.

Forma normală a bifurcației furcii subcritice este:

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx+x^{3}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx + x ^ {3}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx + x ^ {3}}

Studiul câmpului vectorial arată că:

Câmpul vector al bifurcației furcii în forma subcritică

Pentru $r<0$ ${\ displaystyle r <0}$ ${\ displaystyle r <0}$ există 3 puncte de echilibru: un anunț stabil $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ și doi instabili a $x=\pm {\sqrt {r}}$ ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {r}}}$ ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {r}}}$ .
În valoarea critică a $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ cele 3 puncte de echilibru se ciocnesc într-un singur punct instabil $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .
Pentru $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ există singurul punct de echilibru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , instabil.

Diagrama de bifurcație obținută este simetrică cu cea a celei supercritice, dar de această dată cu cele două ramuri hiperbolice instabile. Ramura $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ în schimb, rămâne stabil până la valoare $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ și apoi continuați instabil.

Bifurcația furcii subcritice modificată

În prezența unei bifurcații subcritice a furcii, pentru fiecare $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ are loc o explozie a populației a $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ oa $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ în funcție de condițiile inițiale și, dacă acesta este cazul $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , de perturbații.

Schema de bifurcație a forței subcritice modificate cu termen de gradul 5. Observați fenomenul histerezisului.

Întrucât din punct de vedere biologic nu are sens să se ia în considerare populațiile infinite, se adaugă un termen de grad superior pentru a înlătura imperfecțiunea modelului. Pentru simplitate, se alege termenul cu cea mai mică arctică. Acesta este de gradul al cincilea, și nu al patrulea, pentru a păstra simetria caracteristică bifurcațiilor asemănătoare furcii. În acest caz, forma normală va fi deci:

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx+x^{3}-x^{5}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx + x ^ {3} -x ^ {5}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx + x ^ {3} -x ^ {5}}

.

În timp ce la nivel local diagrama de bifurcație este aceeași cu cea a subcriticii clasice a furcii, ca și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ există o abatere a ramurilor simetrice ad $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ care, în plus, devin stabile. Această abatere apare, în forma normală, în valoarea critică a $r_{c}=-{\frac {1}{4}}$ ${\ displaystyle r_ {c} = - {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle r_ {c} = - {\ frac {1} {4}}}$ . Pentru această valoare există, în fiecare dintre cele două ramuri, o bifurcație locală de tipul nodului de șa .

De asemenea, din diagrama de bifurcație, este, de asemenea, posibil să vedeți un exemplu de histerezis . De fapt, prin creșterea valorii $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ am notat asta:

pentru $r<r_{c}$ ${\ displaystyle r <r_ {c}}$ ${\ displaystyle r <r_ {c}}$ populația rămâne echilibrată pe ramură $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ;
pentru $r_{c}<r<0$ ${\ displaystyle r_ {c} <r <0}$ ${\ displaystyle r_ {c} <r <0}$ populația rămâne aproape de $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , deoarece, deși există alte două ramuri stabile noi, sistemul nu le observă, decât dacă există perturbări mari ;
la $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ populația sare la una dintre ramurile stabile.

Prin scăderea ulterioară a valorii $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ observăm că:

pentru $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ populația rămâne în echilibru în ramura stabilă;
pentru $r_{c}<r<0$ ${\ displaystyle r_ {c} <r <0}$ ${\ displaystyle r_ {c} <r <0}$ , deși există un nou anunț stabil de sucursală $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , sistemul rămâne lângă ramura externă, cu excepția cazului în care există perturbări majore ;
pentru $r=r_{c}$ ${\ displaystyle r = r_ {c}}$ ${\ displaystyle r = r_ {c}}$ cele două ramuri stabile externe dispar și sistemul sare la valoarea populației $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Definiție formală

Având în vedere o ecuație diferențială

{\dot {x}}=f(x,r)

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, r)}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, r)}

cu $r\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$ , astfel încât:

\,f(-x,r)=-f(x,r)

{\ displaystyle \, f (-x, r) = - f (x, r)}

{\ displaystyle \, f (-x, r) = - f (x, r)}

adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție ciudată și

{\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\neq 0,\\[15pt]\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{o})\neq 0.\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (0, r_ {o}) = 0 și \ displaystyle {\ frac {\ partial ^ { 2} f} {\ partial x ^ {2}}} (0, r_ {o}) = 0 și & displaystyle {\ frac {\ partial ^ {3} f} {\ partial x ^ {3}}} (0, r_ {o}) \ neq 0, \\ [15pt] \ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} (0, r_ {o}) = 0, & \ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r \ partial x}} (0, r_ {o}) \ neq 0. \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (0, r_ {o}) = 0, & \ displaystyle {\ frac {\ partial ^ { 2} f} {\ partial x ^ {2}}} (0, r_ {o}) = 0 și & displaystyle {\ frac {\ partial ^ {3} f} {\ partial x ^ {3}}} (0, r_ {o}) \ neq 0, \\ [15pt] \ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} (0, r_ {o}) = 0, & \ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r \ partial x}} (0, r_ {o}) \ neq 0. \ end {array}}}

adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ să fie aproximativ în funcție de Taylor la mai puțin de al treilea ordin pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și de ordinul doi pentru $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în sens $\left(0,r_{0}\right)$ ${\ displaystyle \ left (0, r_ {0} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (0, r_ {0} \ right)}$ (În formele normale este considerat $r_{0}=0$ ${\ displaystyle r_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle r_ {0} = 0}$ ).

Conform acestor ipoteze, se spune că funcția admite o bifurcație asemănătoare unei furci la punct $\left(0,r_{0}\right)$ ${\ displaystyle \ left (0, r_ {0} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (0, r_ {0} \ right)}$ , care este de tipul

\left\{{\begin{matrix}\mathrm {supercritica} &\quad \mathrm {se} \quad {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})<0,\\\mathrm {subcritica} &\quad \mathrm {se} \quad {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})>0,\end{matrix}}\right.\,\,

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathrm {supercritical} & \ quad \ mathrm {se} \ quad {\ frac {\ partial ^ {3} f} {\ partial x ^ {3}}} (0, r_ {o}) <0, \\\ mathrm {subcritica} & \ quad \ mathrm {se} \ quad {\ frac {\ partial ^ {3} f} {\ partial x ^ {3}}} (0, r_ {o})> 0, \ end {matrix}} \ right. \, \,}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathrm {supercritical} & \ quad \ mathrm {se} \ quad {\ frac {\ partial ^ {3} f} {\ partial x ^ {3}}} (0, r_ {o}) <0, \\\ mathrm {subcritica} & \ quad \ mathrm {se} \ quad {\ frac {\ partial ^ {3} f} {\ partial x ^ {3}}} (0, r_ {o})> 0, \ end {matrix}} \ right. \, \,}

Bibliografie

Strogatz SH (1994), Dinamică neliniară și haos (Perseus Books, Cambridge)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke