Bifurcația nodului șa

În matematică , o bifurcație cu nod de șa este o bifurcație locală în care, pe măsură ce parametrul variază, punctele de echilibru sunt create sau distruse. Exemplul clasic al unui nod de șa este dat de ecuația diferențială

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=r+x^{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = r + x ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = r + x ^ {2}}

unde r este parametrul care poate presupune valori pozitive, negative sau nule.

De sine $r<0$ ${\ displaystyle r <0}$ ${\ displaystyle r <0}$ există două puncte de echilibru, unul stabil a $-{\sqrt {-r}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {-r}}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {-r}}}$ și unul instabil a $+{\sqrt {-r}}$ ${\ displaystyle + {\ sqrt {-r}}}$ ${\ displaystyle + {\ sqrt {-r}}}$ .
Cand $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ (punct de bifurcație) există exact un punct fix. Acest punct (care nu mai este hiperbolic) se numește punct de șa și provine din prăbușirea într-un singur punct al celor două puncte de echilibru văzute mai sus. Din acest motiv, păstrează caracteristicile de stabilitate din stânga și caracteristicile de instabilitate din dreapta.
De sine $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ punctele de echilibru dispar.

Din diagrama de bifurcație se poate observa că toate punctele de echilibru $x\geq 0$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ sunt instabili

Un alt exemplu de bifurcație în șa este dat de ecuația diferențială:

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=r-x^{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = rx ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = r-x ^ {2}}

În acest caz, se obțin rezultate care se reflectă în ceea ce s-a văzut mai sus cu privire la valoarea critică $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ adică:

nici un punct de echilibru pentru $r<0$ ${\ displaystyle r <0}$ ${\ displaystyle r <0}$ ;
un punct de echilibru semi-stabil (instabil la dreapta și stabil la stânga "") în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ pentru $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ ;
două puncte de echilibru pentru $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ , dintre care: unul instabil în $-{\sqrt {r}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {r}}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {r}}}$ și un grajd în ${\sqrt {r}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {r}}}$ ${\ sqrt {r}}$ .

Diagrama bifurcației reflectă și diagrama primei forme în raport cu punctul $\left(r=0,x=0\right)$ ${\ displaystyle \ left (r = 0, x = 0 \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (r = 0, x = 0 \ right)}$ .

Cele două parabole sunt numite forme canonice sau forme normale de bifurcații cu nod de șa, deoarece orice altă bifurcație de același tip poate fi trasată calitativ la una dintre cele două. Mai mult, alte tipuri de sisteme pot fi, de asemenea, studiate, în anumite intervale, ca și cum ar fi noduri de șa.

Terminologie

Nodul de șa de bifurcație (saddle-node în engleză ) este, de asemenea, cunoscut sub numele de bifurcație tangențială (bifurcație tangențială) sau pli de bifurcație (a plia, a îndoi). Datorită apariției și dispariției bruște a punctelor de echilibru pentru parametrii de pe cele două părți ale valorii critice, Ralph Abraham a inventat denumirea de bifurcație a cerului albastru (din expresia engleză out of the clear blue sky = întâmplător).

Un caz practic

Prin bifurcația nodului șa este posibil să se descrie blocarea anvelopelor în timpul unei frânări de urgență, de fapt curba care caracterizează aderența unei anvelope are o tendință pătratică. Când se aplică un cuplu de frânare pe roată, se creează două balanțe, dintre care doar una este stabilă, balanțele se apropie pe măsură ce cuplul de frânare crește până când se ciocnesc și dau naștere unui balans de șa. Valoarea cuplului de frânare pentru care se produce acest fenomen este valoarea maximă aplicabilă, dincolo de care ambele balanțe dispar și roata tinde să se blocheze.

Trecerea la haos

Trecerea la haosul sistemului are loc atunci când sistemul atinge valoarea critică a parametrului de control al sistemului. Tipul de tranziție la haos al tipului de sisteme precum „Saddle-Node” este definit ca un mecanism de intermitență și a fost teorizat de Pomeau și Manneville în 1980. Ceea ce se observă în acest tip de sisteme este, odată ce parametrul critic este depășit , există „explozii” haotice care apar în cadrul unui comportament regulat. Durata intervalelor regulate, în jurul valorii critice a parametrului, merge ca 1 / (r-rc) unde r este valoarea parametrului și rc este valoarea critică după care apar explozii haotice. Într-o diagramă de bifurcație, ceea ce vedem este că punctul fix stabil și cel instabil abordează abordarea valorii critice a parametrului până când se îmbină cu valoarea critică și dispar imediat după aceea.

Bibliografie

Strogatz SH (1994), Dinamică neliniară și haos (Perseus Books, Cambridge)
Cencini M., Cecconi F., Vulpiani A. (2010), "Haos" (World Scientific)

Elemente conexe

Portal de inginerie

Portalul de matematică

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke