Bifurcația Hopf

Bifurcația Hopf, valoarea proprie iacobiană în plan complex

În matematică , în special în studiul sistemelor dinamice și în teoria bifurcațiilor , vorbim despre bifurcația Hopf atunci când, la variația unui anumit parametru de control $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , un punct de echilibru își modifică stabilitatea în corespondență cu formarea unui ciclu limită (atractiv sau respingător).

Definiție

Spațiul de fază al formei canonice a Bifurcației lui Hopf

{\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}).

{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + (\ alpha + i \ beta) | z | ^ {2}).}

{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + (\ alpha + i \ beta) | z | ^ {2}).}

,

z\in \mathbb {C}

{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}

z \ in \ mathbb {C}

,

\lambda ,\alpha ,\beta \in \mathbb {R} .

{\ displaystyle \ lambda, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle \ lambda, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}.}

Caracterizarea formală a acestor puncte este destinată teoremei lui Hopf asupra bifurcațiilor:

Este

{\dot {x}}=f(x,\mu )

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, \ mu)}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, \ mu)}

un sistem de dimensiune $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ și fie $(x_{0},\mu _{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ mu _ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ mu _ {0})}$ un astfel de punct încât

$f(x_{0},\mu _{0})=0$ ${\ displaystyle f (x_ {0}, \ mu _ {0}) = 0}$ ${\ displaystyle f (x_ {0}, \ mu _ {0}) = 0}$
Jacobianul din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ $J_{f}(x_{0},\mu _{0})$ ${\ displaystyle J_ {f} (x_ {0}, \ mu _ {0})}$ ${\ displaystyle J_ {f} (x_ {0}, \ mu _ {0})}$ are o pereche de valori proprii imaginare pure $\lambda _{1,2}=\pm i\beta$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = \ pm i \ beta}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = \ pm i \ beta}$ și nici o altă valoare proprie cu zero parte reală .
Se aplică condiția de trecere $\left[{\frac {d\Re \left(\lambda _{1,2}\right)}{d\mu }}\right]_{\mu =\mu _{0}}\neq 0$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {d \ Re \ left (\ lambda _ {1,2} \ right)} {d \ mu}} \ right] _ {\ mu = \ mu _ {0}} \ nec 0}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {d \ Re \ left (\ lambda _ {1,2} \ right)} {d \ mu}} \ right] _ {\ mu = \ mu _ {0}} \ nec 0}$

Apoi în $(x_{0},\mu _{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ mu _ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ mu _ {0})}$ se naște o soluție periodică (ciclu limită) cu amplitudine și perioadă inițiale zero ${\frac {2\pi }{\beta }}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ beta}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ beta}}}$ . Ideea $(x_{0},\mu _{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ mu _ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, \ mu _ {0})}$ se spune despre bifurcația lui Hopf .

A treia condiție necesită ca valorile proprii $\lambda _{1,2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1,2}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1,2}}$ traversează axa imaginară. Prin urmare, cerem ca derivata părții reale a valorilor proprii în raport cu parametrul să nu fie zero, ceea ce ar însemna că partea reală ar rămâne zero chiar și pentru $\mu \neq \mu _{0}$ ${\ displaystyle \ mu \ neq \ mu _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mu \ neq \ mu _ {0}}$ .

O bifurcație Hopf poate fi supercritică sau subcritică . În primul caz, $\forall \mu \neq \mu _{0}$ ${\ displaystyle \ forall \ mu \ neq \ mu _ {0}}$ ${\ displaystyle \ forall \ mu \ neq \ mu _ {0}}$ există un atractiv stabil, în al doilea rând ciclurile sunt formate pentru $\mu <0$ ${\ displaystyle \ mu <0}$ ${\ displaystyle \ mu <0}$ si eu sunt $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ -limită (deci nu atrăgătoare) iar echilibrul este instabil pentru $\mu >0$ ${\ displaystyle \ mu> 0}$ ${\ displaystyle \ mu> 0}$ .

Elemente conexe

Teoria bifurcației

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Hopf Fork

Portal de inginerie

Portalul de matematică

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke