Sticla Klein

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Scufundând sticla Klein înăuntru .
Model 3D (în format .stl ) al unei sticle Klein

În matematică , sticla Klein (numită și pielea lui Klein) este o suprafață nedirecțională , adică o suprafață pentru care nu există nicio distincție între „intern” și „extern”. Sticla Klein a fost descrisă pentru prima dată în 1882 de matematicianul german Felix Klein . Este strâns legată de banda Möbius și de imersiunile planului proiectiv real, cum ar fi suprafața Boy .

Descriere informală

Sticla

Imaginați-vă o sticlă cu o gaură în partea de jos. Acum extindeți gâtul sticlei, curbându-l pe sine, până când este introdus lateral în interiorul sticlei. Această operație necesită în spațiul tridimensional ca gâtul să perforeze peretele sticlei: efectuată, totuși, în spațiul euclidian cu patru dimensiuni. , operația se poate face fără a atinge peretele. În cele din urmă, conectați gâtul cu gaura din partea de jos.

Spre deosebire de un pahar, acest obiect nu are „margini” unde suprafața se termină brusc.

Numele de sticlă Klein pare să fi provenit dintr-o traducere incorectă a termenului german Fläche care înseamnă suprafață . Acest lucru a fost confundat cu cuvântul Flasche care înseamnă sticlă . Cu toate acestea, numele este considerat corect și în limba germană.

Patratul

Construcția nou schițată poate fi făcută mai riguroasă din punct de vedere geometric, cu tehnicile topologiei . Sticla Klein este spațiul topologic obținut prin identificarea marginilor opuse ale pătratului prezentat în figură, în funcție de orientarea dată de săgeți.

Klein Bottle Folding 1.svg

Prin lipirea laturilor conform celor două săgeți roșii, se obține suprafața verticală a unui cilindru . Celelalte părți au devenit acum două cercuri , care trebuie identificate de-a lungul săgeților albastre. Rezultatul este o sticlă Klein.

Klein Bottle Folding 1.svg Klein Bottle Folding 2.svg Klein Bottle Folding 3.svg Klein Bottle Folding 4.svg Klein Bottle Folding 5.svg Klein Bottle Folding 6.svg

Din punct de vedere topologic , nu este necesar să se efectueze manual toate identificările pentru a defini sau studia sticla Klein: aceasta este efectiv bine definită de descrierea inițială, cea a unui pătrat cu o anumită lege de identificare. În topologie se spune că sticla Klein este spațiul coeficient al pătratului, în raport cu o anumită relație de echivalență .

La fel ca multe alte spații topologice, sticla Klein nu poate fi complet vizualizat ca un subset al spațiului tridimensional: descrierea dată oferă o imersiune în spațiu, adică o funcție continuă

la valorile din spațiul euclidian , care este injectiv local, dar nu global: două cercuri distincte prezente în de fapt se vor suprapune în imagine .

Proprietate

Prin împărțirea sticlei Klein, se obține o bandă Möbius.
Imersiunea „figura 8” a sticlei Klein.

La fel ca banda Möbius , sticla Klein este un colector diferențial bidimensional neorientabil . Spre deosebire de banda Möbius, sticla Klein este un soi închis , adică este un soi compact, fără jantă. În timp ce banda Möbius poate fi reprezentată în spațiul euclidian tridimensional , sticla Klein nu poate (și de fapt în reprezentările grafice tridimensionale suprafața este forțată să se intersecteze undeva), dar poate fi reprezentată în spațiul euclidian cu patru dimensiuni .

Sticla Klein poate fi construită (în sens matematic) prin „lipirea” marginilor a două benzi Möbius. Dacă o sticlă Klein este împărțită în două de-a lungul planului său de simetrie , rezultatul este o bandă Mobius , prezentată în dreapta. Rețineți că intersecția afișată nu există cu adevărat. De fapt, este posibil să tăiați sticla Klein într-o singură bandă Möbius.

Sticla Klein are o caracteristică Euler egală cu 0.

Sticla Klein este singura excepție de la conjectura lui Heawood , o generalizare a teoremei celor patru culori . În special, șase culori (și nu patru) sunt suficiente pentru a colora orice sticlă Klein, asigurându-vă că suprafețelor adiacente nu li se atribuie aceeași culoare.

Parametrizare

Imersiunea "figura 8" a sticlei Klein are o parametrizare destul de simplă:

În această scufundare, circumferința de auto-intersecție (obținută pentru ) este un cerc cu o rază în plan . Parametrul exprimă unghiul în plan , Și specifică locația pe secțiunea în formă de 8.

Sticlă de sticlă Klein

Construcție geometrică

Luați în considerare „Figura 8” cu parametrizare cu .

Rotim această curbă în sensul acelor de ceasornic în jurul axei lui :

Ne deplasăm de-a lungul axei :

Efectuăm o rotație în sens invers acelor de ceasornic în jurul axei cu viteză unghiulară dublă comparativ cu precedenta:

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică